基于教材,追根溯源
——三次方程根與系數的關系及其應用

? 安徽省臨泉第一中學 潘宏俊

高中數學試題中,經常會碰到一些“三次”問題(主要涉及三次方程或三次函數等).涉及此類的“三次”問題,設置的思維方式就是利用“降次”,將“三次”問題巧妙轉化為“二次”問題,借助數學思維的轉化,往往導致解題過程比較繁瑣,運算量比較大,給問題的分析與解決造成困難.

有時利用相應的三次方程根與系數的關系來分析與解決此類“三次”問題,處理起來更加直接有效,簡化數學運算,因此,基于高中數學教材中的“閱讀與思考”欄目,充分挖掘其應用顯得尤為必要.

1 追根溯源

一些高考試題、競賽試題的命題背景、知識應用等,都是源于教材,來自教材中的例(習)題,或基于教材的“思考”“閱讀與思考”等欄目,通過合理創設,進一步加以轉化、深入、變形、拓展與提升,實現問題的應用.

〔人民教育出版社2019年人教A版《數學(必修第二冊)》第七章“復數”第81頁閱讀與思考——代數基本定理〕設實系數一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)在復數集C內的根為x1,x2,x3,可以得到

以上對應的三次方程根與系數的關系,就是三次方程的韋達定理,是二次方程的韋達定理的深入與拓展,為高考命題與競賽命題提供了更多的場景與應用.

2 應用例析

三次方程根與系數的關系,即韋達定理,在解決一些“三次”問題中有奇效,可以很好地優化解題過程,提升解題效益.

2.1 代數式的求值問題

例1(2021年全國高中數學聯賽福建賽區預賽)若x1=1,x2=1-i,x3=1+i(i為虛數單位)為方程x3+ax2+bx+c=0的三個解,則a+b-c=______.

分析：根據題設條件,結合三次方程根與系數的關系,正確建立三次方程對應系數的方程組,進而求解對應系數的值,為相應代數式的求值提供條件.

解析：依題意,利用三次方程根與系數的關系,可得

解得a=-3,b=4,c=-2.

所以a+b-c=-3+4+2=3.故填:3.

點評：在已知三次方程的三個根或三次函數零點的基礎上,經常可以直接利用三次方程根與系數的關系,建立對應系數與三個根或零點之間的關系式,對于確定系數值、代數式的值以及與之相關問題的應用等,都可以起到很好的作用.

2.2 系數范圍的確定問題

例2(2020屆“超級全能生”浙江省高三3月模擬C卷)已知a,b∈R,函數f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有兩個零點,則a+b的取值范圍是( ).

A.(-∞,0) B.(-∞,-1)

分析：根據題設條件,設出三次函數的兩個非零的零點,利用三次方程根與系數的關系,建立相應的關系式,通過消參把參數a,b均表示為關于x1的關系式,并確定x1的取值范圍,進而通過構造函數,結合函數的單調性來確定相應函數的最值問題.

解析：由于函數f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有兩個零點,而f(0)=1,因此可設函數f(x)的兩個非零的零點分別為x1,x2(不失一般性,不妨設x1

利用三次方程根與系數的關系,可以得到

故選擇:D.

點評：在未知三次方程的三個根或三次函數的零點相關問題中,經常借助對應根或零點的設置,方便利用三次方程根與系數的關系,綜合待定系數法、等量代換等思維方式,合理化歸與轉化,為相關參數(或參數式)的取值范圍求解指明方向,思路直接流暢,方法簡潔明了,操作簡單快捷.

2.3 三次方程的應用問題

例3(2023年北京大學測試卷)方程組x+y+z=4,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=10的解的個數為( ).

A.0 B.3

C.6 D.其他三個選項均不對

分析：根據題設條件,直接求解三次方程組存在非常大的困難,而利用三次方程根與系數的關系,分別確定三個數的和、三個數兩兩乘積的和以及三個數的積,將問題轉化為與三個數相對應的三次方程問題,利用三次方程的確定以及對應根的求解來轉化與應用,轉變視角,迂回解決.

解析：依題意,由(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=6+2(xy+yz+zx)=16,可得xy+yz+zx=5.

又由x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=4×(6-5)=4,可得xyz=2.

點評：高次方程(三次及以上)的綜合應用問題,其基本解題思路就是化歸與轉化以及“除次”處理.而涉及三次方程的綜合應用問題,可以直接利用三次方程根與系數的關系來達到目的,關鍵在于構建三次方程以及對應系數與根之間的關系,巧妙創設聯系,構建對應的方程或關系式.

2.4 綜合應用的判定問題

例4(2023屆廣東省深圳市高三第一次調研數學試題)(多選題)已知函數f(x)=x(x-3)2,若滿足f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

C.a+b>2 D.abc的取值范圍是(0,4)

分析：根據題設條件,利用導數求出函數的單調區間和極值,結合函數的大致圖象確定f(x)-t=0的三個根的取值范圍,利用三次方程根與系數的關系加以綜合與應用,進而判定與之相應的綜合應用問題.

解析：由f(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x,借助求導處理,得f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).令f′(x)=0,解得x=1或x=3,所以函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,1)和(3,+∞),單調遞減區間為(1,3).又f(3)=0,f(1)=f(4)=4,則對應f(x)的圖象如圖1所示.

圖1

設f(a)=f(b)=f(c)=t,數形結合可知0

而f(x)-t=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-6x2+9x-t,利用三次方程根與系數的關系,可得a+b+c=6,abc=t∈(0,4),故選項B,D正確.

又3

故選擇答案:BCD.

點評：在解決一些涉及三次方程或函數的綜合應用問題中,合理變形,巧妙轉化,將對應問題巧妙化歸為相應的三次方程或函數問題,進而利用三次方程根與系數的關系來綜合應用.這是解決問題的關鍵所在,也是問題的重要切入點之一.

3 教學啟示

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,基于數學教材的高考命題成為一個熱點與基本點,數學教材也逐漸成為高考命題的一個重要依托與“源題庫”.因此,要合理回歸教材,從教材中的基本知識點入手,深入挖掘教材的典型例(習)題以及一些相關欄目等,都可以為深度學習與復習備考提供有益的材料,在教與學的過程中要加以高度重視.