“不同函數增長的差異”教學實錄

? 新疆生產建設兵團第二師華山中學 周振梅

1 教學分析

1.1 教學目標

(1)比較底數大于1的指數函數、對數函數與斜率大于0的一次函數增長的差異.

(2)由特殊到一般歸納出不同函數增長快慢的基本方法.

(3)通過三種函數在不同階段增長的快慢變化,卻在某點之后趨勢明顯,借以說明做事不為眼前,要立足長遠.

1.2 教學重難點

教學重點:學會比較不同函數增長快慢的一般方法.

教學難點:理解變化率在刻畫不同函數增長快慢的意義.

1.3 學情分析

2 教學過程設計

2.1 創設情境,引入新課

問題你有一筆資金用于投資,現有兩種投資方案供你選擇,這兩種方案的回報如下:

方案一:第一天回報5元,以后每一天比前一天多回報5元.

方案二:第一天回報2元,以后每天的回報比前一天翻一番.

如果讓你選擇,你會選擇哪種投資方案?

生:時間較長,我會選擇方案二;時間較短,我會選擇方案一.

師:為什么?

生:因為方案二的日回報增長量會比方案一快.

師:請列出7天的回報量進行比較.

師生活動:學生嘗試列出7天的日回報量和累計回報量.教師巡視觀察,請同學分享學習成果.

學生列出表1與表2.

表1 日回報量

表2 累計回報量

追問:有同學說時間短選方案一,時間長選方案二,時間長短的選擇在表格中有體現嗎?

生:由表2可知,前5天方案一的累計回報量高于方案二,但是5天以后方案二的累計回報量高于方案一,且方案二增加的速度越來越快.

追問:方案二的增加速度越來越快,從哪里體現?

生:由表1可看出,方案二日回報量的增加速度在5天后遠大于方案一,所以累計回報量就會更多.

追問:從日回報量的角度分析,有哪些函數模型?

方案一對應的函數模型是一次函數,方案二對應的函數模型是指數函數.

教師總結:一次函數和指數函數的增長方式存在很大差異,它們是不同類型現實問題具有不同增長規律的反映．把握了不同函數增長方式的差異,就可以根據現實問題的增長情況,選擇合適的函數模型刻畫其變化規律.

2.2 數形結合,探索新知

探究1：研究函數y=2x和y=2x,探索它們在區間[0,+∞)上的增長差異.

師生活動:小組合作探究,解決問題.

學生交流的問題大致如下:

(1)為什么在區間[0,+∞)上探究?

(2)以什么路徑展開研究?

(3)如何探究兩個函數的增長差異?

(4)如何用數學符號語言準確表述它們的增長差異?

生:(1)[0,+∞)有實際意義;(2)利用數形結合進行研究;(3)通過數據的計算及觀察圖形研究.

生:觀察表格和圖象可以發現——一次函數是一條直線,指數函數的圖象是一條曲線;共有兩個交點(1,2)和(2,4).當02時,指數函數的函數值大于一次函數相應的函數值;當1

追問:對于上述情況,還可以從哪個角度進行分析?

生:列表從數的角度分析增長速度.

追問:怎么刻畫增長速度?在物理中學習了平均速度,通常用Δv表示,那么怎么定義Δv?

生:物理課上,用平均速度來描述物體在一定時間內位移的改變量.平均速度是指在一段時間內,物體所經過的位移與這段時間的比值.通過比較不同時間段內的平均速度,可以刻畫出物體位置改變的速度,也就是增長速度.

師:數學中怎么刻畫增長速度?

生:用一定范圍內函數值的增加量刻畫增長速度.例如,自變量每間隔一個單位長度,一次函數y=2x的函數值相差2,指數函數的函數值差值則越來越大.

師:表3中,你能看出一次函數的增長速度嗎?

表3

生:一次函數的增長速度是一個定值,指數函數的增長速度一直在變大.

“形”的角度比較:在同一坐標系中畫出y=2x和y=2x的圖象(如圖1),演示y=2x與y=2x增加量的變化情況,提示學生觀察自變量的增加量相同時函數值的增量Δy的變化特征,如表3、表4所示:

圖1

表4

活動：請小組討論,歸納這兩個函數在[0,+∞)上的增長差異.

生:(1)函數y=2x與y=2x在[0,+∞)上都單調遞增,但它們的增長速度不同,而且不在一個“檔次”.

(2)隨著x的增大,y=2x的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.

(3)盡管在一定范圍內,2x<2x,但由于y=2x的增長速度最終會大于y=2x的增長速度,因此總會存在一個x0,當x>x0時,恒有2x>2x.

師:什么叫做“爆炸式增長”?它的增長速度有沒有特點?

生:它是翻倍式的增長.

師:能否推廣到一般情況?

生:一般地,指數函數y=ax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)的增長情況與上述情況類似.即使k值遠遠大于a值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會超過y=kx(k>0)的增長速度.

探究2：類比探究指數函數與一次函數的增長差異,你可以探究出對數函數與一次函數的增長差異嗎?

學生類比探究1探究對數函數與一次函數的差異.

師:你們組觀察得非常細致,從圖象交點個數及不同區間上兩個函數的函數值大小關系進行了總結.一次函數與指數函數的增長特點是什么?

生:一般地,雖然對數函數y=logax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數函數y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少,在一定范圍內,logax(a>1)可能會大于kx,但由于logax(a>1)的增長會慢于kx的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,恒有logax

生:仍然有.

師:對!現在我們分別研究了一次函數與指數函數、一次函數與對數函數的增長特點,如果把這三種函數放在一起研究,它們的增長差異是什么?

生:一次函數和對數函數相比,對數函數有一部分函數值大于一次函數,但是對數函數的增長速率越來越小,所以總有一個x0,當x>x0時,一次函數的函數值恒大于對數函數的函數值.一次函數和指數函數相比,因為指數函數的增長速率越來越大,會有一部分函數值小于一次函數的函數值,但也會像對數函數一樣存在一個x0,當x>x0時,指數函數的函數值恒大于一次函數的函數值.

教師總結:隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越大,會超過并遠遠大于y=kx(k>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此,總會存在一個x0,當x>x0時,有logax

師:我們比較了三種不同類型函數增長的快慢,那對于同類函數增長的快慢,應該如何去表示呢?

生:可以通過平均變化率去表示.

師:對于一般函數的增長快慢怎么去比較?

生:也是通過平均變化率.

師:那么我們可以通過平均變化率去比較任意兩個函數的增長快慢.

2.3 課堂練習

練習1如圖2中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現了古代中國精湛的制造技術．科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內注水,恰好用時30 s注滿,設注水過程中,壺中水面高度為h,注水時間為t,則下面選項中最符合h關于t的函數圖象的是( ).

圖2

生:此題問的是壺高和注水時間的變化,觀察圖形,發現這個壺底部的面積比較小,中部的面積比較大,上部的面積比較小.因為是勻速注水,所以高的變化情況是底部和上部增長快,中部增長慢,因此選擇A.

練習2已知三個變量y1,y2,y3隨變量x變化的數據如表5:

表5

則反映y1,y2,y3隨x變化情況擬合較好的一組函數模型是( ).

A．y1=x2,y2=2x,y3=log2x

B．y1=2x,y2=x2,y3=log2x

C．y1=log2x,y2=x2,y3=2x

D．y1=2x,y2=log2x,y3=x2

生:通過今天所學的知識,我們知道指數函數、冪函數及對數函數平均變化率的大小關系,然后觀察表格,發現y1,y2,y3的平均變化率依次遞減.因此選擇B.

練習3有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車,其跑車時間均為x小時,跑過的路程分別滿足關系式:f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2x-1,則5個小時以后跑在最前面的為( ).

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

生:觀察函數的形式,f1(x)是冪函數,f2(x)是一次函數,f3(x)是對數型函數,f4(x)是指數型函數,指數型函數平均變化速率是最大的,所以5個小時以后跑在最前面的是丁,故選D;還可以通過計算得當x=5.f4(x)最大,所以也選D.

2.4 課堂小結

本節課由特殊到一般、由具體到抽象研究了一次函數y=kx(k>0)、指數函數y=ax(a>1)及對數函數y=logax(a>1)在定義域上的不同增長方式.可以用一首詩來形容本節課:“指對線同時增加,比大小初不確定,喻開始波瀾不驚,待將來厚積薄發”.

請同學們賞析這首小詩和本節課的聯系.

生:這首詩與本節課內容緊密相關.詩中提到指數函數、對數函數和一次函數在區間(0,+∞)內都單調遞增,但最初的增長速度并不能確定未來的趨勢.指數函數的增長初緩慢后迅速,超越一次函數.以時間為x,成就為y,能力為平均變化率,時間、能力與成就如同指數函數,即使最初能力不出眾,隨著時間的推移,能力增長越來越快,未來成就也會越來越大.

師:謝謝,說得非常好!希望同學們因為喜歡數學而學習數學,也因為學習數學而更熱愛數學.下課!

注：掃圖3可觀看課堂視頻.

圖3

3 課堂反思

備課時,教師準備用幾何板演示三種函教模型的增長差異,這樣使得分析更直觀.實際上課的時候,由于給學生自主學習和討論交流的時間較充裕,學生自己總結出了三種函數模型的增長差異,所以沒有演示.這樣可能會使得結論的說服力不是很強,也失去了一些趣味性.在備課時應盡量宏觀考慮,力爭做到在有限的時間內取得更佳的教學效果.

語言不夠精煉,有些地方重復,有些地方表述不到位.既然給了學生小組討論的時間,就應該讓學生盡可能多展示他們自學和交流的結果,然后根據展示情況進行精講.沒有做到“以學定教”,浪費了一部分時間.

師生的交往互動沒有達到很好的狀態,雖然學生總體愿意回答,但是引導還不到位,應該更多使用幾何畫板和Excel處理數據,使教學增加趣味性和說服力.