求導換元破三角,必要探路亦可為
——2023全國甲卷理科第21題解法探究和變式拓展

? 四川省雙流中學 李小波 曹軍才 洛 嘎

1 試題呈現

(1)當a=8時,討論函數f(x)的單調性;

(2)若f(x)

2023年全國高考數學甲卷導數題目,以三角函數為背景,巧妙結合導數和三角函數,通過對導函數的分析,解決函數的單調性、不等式恒成立等問題,深入考查分類討論、化歸與轉化思想,考查學生思維的條理性、嚴謹性.同時,突出素養和能力的考查,考查學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養,助力創新人才的選拔.下面從三個視角、七種思路對本試題進行解析.

2 解法探究

2.1 第(1)問的解法探究

2.2 第(2)問的解法探究

視角一：直接分類討論.

思路1：分類討論.

再令h(x)=4x3+2x-6,x∈[0,1],則h(x)在[0,1]上單調遞增,于是h(t)

討論如下:

綜上所述,實數a的取值范圍是(-∞,3].

評注：對函數g(x)求導后,為便于分析導函數的正負,通過適當的換元化歸為函數S(t),再研究函數S(t)的單調性及取值范圍,根據S(t)的取值范圍,確定分類討論的標準,分類討論即可.此種解法中分類討論標準的確定自然合理,學生易于理解操作.

視角二：先探必要性.

思路2：必要性探路一——端點效應.

評注：此種方法是觀察到g(0)=0,g(x)在原點右側附近要恒成立,利用端點效應,則函數g(x)在x=0處的瞬時變化率即g′(0)要大于或等于零,得到問題成立的一個必要條件,這樣可將實數a的取值范圍限定在a≤3,再對充分性進行驗證即可.

思路3：必要性探路二——不等式放縮.

(ⅰ)當a≤0時,顯然成立.

思路4：必要性探路三——重要極限.

視角三：參變分離.

思路5：曲直分離——單調性結合凹凸性分析.

圖1

思路6：參變分離之完全分離.

圖2

圖3

3 變式拓展

為了充分發揮高考真題在教考銜接中的導向作用,將真題的教學價值最大化,在教學過程中不應只停留在題目的解析上,而更應該對題目進行適當的變式.下面基于此題的結構特點,作一些變式探究與拓展.

4 結語

近年來,為了有助于創新人才的選拔,高考試題越來越注重對學生核心素養的考查,試題在反套路、反機械刷題上下足了功夫,因此想通過題海戰術取得高分的時代已經一去不復返了,這提醒教師在平時的教學中需做好教考銜接.一方面,要關注高考真題,通過真題把握教學方向,充分發揮高考試題的教學價值.另一方面,要努力追求高效課堂,課堂上除了傳授知識外,更要以學生為中心,以提高學生的核心素養為目的,培養學生深度思考、自主探究能力,為學生的可持續發展和終身學習奠定基礎.