LN函數核截面隱式敏感性系數計算方法

胡 馗,馬續波,張 辰,劉 莎,陳義學

(華北電力大學 核科學與工程學院,北京 102206)

伴隨核能的發展,新的反應堆堆型被不斷提出,這些堆型包括鉛基快堆、熱管堆、空間堆以及混合譜反應堆等。新型反應堆由于工程實踐有限及系統自身的反應堆物理特點,導致反應堆物理計算存在較大不確定度。這些物理特點主要指中子能譜較硬,中子主要集中在中高能區,而在中高能區的截面測量誤差相對較大,由此導致系統的有效增殖因數的不確定度主要來自于核截面[1]。研究核截面引起的反應堆物理計算的不確定度方法對新型反應堆的設計具有重要意義。

針對核數據引起的反應堆物理計算的不確定度大小,國內外也進行了大量研究,也包括基于最新評價核數據的驗證[2],開發了大量的程序,這些程序包括TSUNAMI-1D/3D、SUFR、SCALE-SS、DINOSAUR、MCNP、SURE、UNICORN[3-10]等。敏感性系數的隱式效應與共振自屏截面的處理方法相關,而由于共振自屏計算往往復雜,由此也導致敏感性系數的隱式效應也變得比較復雜。比如針對壓水堆問題,可以采用求解連續能譜慢化方程或者改變有效共振積分表的方法考慮隱式效應[11]。針對熱堆,由于中子慢化需要經過共振自屏效應強烈的中能區,隱式敏感性效應比較顯著,在計算敏感性系數的時候,需要考慮隱式效應。而對于快能譜反應堆(快堆),雖然從理論上講,隱式效應不是很顯著[11],但一直沒有很好的方法進行敏感性系數的隱式效應的計算。基于本底截面迭代的共振自屏處理方法在很多反應堆物理程序中都有廣泛應用[12],本文針對該共振自屏處理方法提出一種新的隱式敏感性系數計算方法,該方法只需要根據本底截面計算結果就可以計算得到隱式敏感性系數。在此基礎上,采用基準題對提出的隱式敏感性系數計算方法進行驗證,對比MCNP的計算結果。

1 隱式敏感性系數計算理論

快能譜反應堆截面制作方法有多種,其中一種為利用連續點截面考慮共振自屏制作得到多群截面,然后利用多群截面進行組件或棒柵元計算,考慮幾何效應及能譜泄漏影響計算得到多群中子通量密度和中子通量密度矩,或直接進行連續點截面計算中子通量密度或通量矩,然后進行并群得到少群截面,最后進行少群截面的堆芯計算。堆芯計算的響應量相對于少群截面的敏感性系數在之前的相關文獻中進行了詳細研究[4],但針對組件計算的敏感性系數引入的隱式敏感性則很少,且沒有多群相對于連續點截面的相對敏感性系數的計算理論。本文把響應量相對于連續點截面的敏感性系數分為兩個部分,分別是多群截面相對于連續點截面的敏感性系數Sσg,σ(E)和響應量相對于多群截面的敏感性系數SR,σg,總的敏感性系數SR,σ(E)計算式為:

SR,σ(E)=SR,σgSσg,σ(E)

(1)

其中:σg為每個能群的平均截面;σ(E)為連續能量點截面。

由于隱式敏感性系數計算與共振自屏截面計算相關,首先討論多群截面相對于連續點截面的相對敏感性系數。根據反應率守恒,多群截面的計算公式為:

(2)

其中:σx,g(T)為溫度為T的第g能群的反應類型為x(x可能是裂變、輻射俘獲、彈性散射等)的平均截面;σx(E,T)為反應類型為x的連續點截面;φ(E)為連續能量中子能譜。對于非共振核素,如果對連續點截面做擾動,由于截面并不對能譜形狀造成影響,因此,擾動后的截面和擾動前的截面的關系為:

σ′x(E,T)=(1+δx,g)σx(E,T)

Eg≤E≤Eg-1

(3)

(1+δx,g)σx,g(T)

(4)

其中:δx,g為群截面的擾動量,一般為1%[11];ΔEg為g能群的能群寬度。由于溫度在共振自屏處理前已處理完成,為敘述方便,下面的公式推導均在給定溫度下進行,不再標溫度T。由式(5)可見,相當于直接對超細群截面的每個能群做擾動。如果對于共振核素,在窄共振近似下,中子能譜可表示為:

(5)

(1+δx,g)σx,g(σ′0)

(6)

其中,δt,g為由于x截面的擾動而造成總截面的擾動量。截面隨本底截面的變化規律類似于LN函數[13],如采用LN函數對本底截面進行插值,則為:

σx,g(σ1)=Aglnσ0+Bg

(7)

其中,

(8)

由于正擾動和負擾動計算超細群截面相對于連續點截面的隱式敏感性系數Sσg,σ(E)為:

(9)

(10)

2 計算流程

利用式(9)、(10)進行敏感性系數和不確定度計算的流程如圖1所示。由圖1可見,多群截面的相對于連續點截面的敏感性系數可根據本底截面的計算結果給出,然后再與擾動多群截面得到的敏感性系數一起,即可計算得到總的敏感性系數。在不確定度分析程序SUFR中增加了對多群截面擾動功能,擾動后的截面再用MGGC2.0中一致性PN方法或其他堆芯程序計算系統的有效增殖因數。另外在截面處理程序中增加了計算隱式敏感性系數中Cg參數的模塊,通過此模塊計算多群截面相對于連續點截面的敏感性系數。

圖1 少群截面的敏感性系數的計算流程Fig.1 Calculation process of sensitivity coefficient for few-group cross-section

3 計算結果

為計算隱式敏感性,采用一無限大基準題模型,基準題模型中僅包括了對快能譜反應堆不確定度分析具有重要影響的6種核素(表1)。計算軟件采用了截面處理軟件MGGC2.0[14-15]或堆芯計算軟件。MGGC2.0程序是一款專門為快譜或混合譜反應堆制作少群截面的軟件,通過求解超細群的輸運方程計算中子通量密度和中子通量密度矩,然后進行并群得到少群截面。MGGC2.0中采用了求解一致性PN方程加上臨界搜索的方法求解反應堆堆芯中子能譜,利用本底截面迭代的方法求解有效自屏截面。

表1 基準題核子密度Table 1 Atomic density of isotopes in benchmark

3.1 多群截面隱式敏感性系數

共振自屏效應是反應物理計算中的重點,NJOY2016在制作多群截面時,采用了隨溫度和本底截面σ0變化的截面。使用時,可采用各種方法求解與幾何和核素相關的本底截面σ0,然后再去之前的截面本底網格中插值得到問題相關的有效自屏截面。在敏感性分析中,由于某核素截面發生變化,導致中子能譜發生變化,進而引起敏感性系數發生變化稱為隱式敏感性。本文把能譜變化與本底截面σ0聯系起來,進而計算截面隱式敏感性。具體實施步驟為:首先利用NJOY2016程序制作了超細群(2 082能群)的MATXS格式多群截面,多群截面隨溫度和本底截面變化,溫度選取了300、600、900、1 200、1 500、1 800、2 100 K共7個溫度點,本底截面選取1.0×1010、1.0×107、1.0×105、1.0×104、1.0×103、1.0×102、10、1.0、5.0×10-1、1.0×10-1b,共10個本底截面。MGGC2.0針對所研究的問題進行本底截面迭代,計算式(10)中的Ag和σx,g(T,σ0),然后利用式(9)可計算得到核素每個反應道的每個超細群的敏感性系數。圖2～5分別給出了239Pu、238U、56Fe和23Na的超細群有效共振自屏截面和相應的每個反應道每個能群截面的相對敏感性系數Sx,g。

圖2 239Pu核素有效共振自屏截面和相對于連續點截面的敏感性系數Sx,gFig.2 Effective self-shielding cross-section of 239 Pu and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖3 238U核素有效共振自屏截面和相對于連續點截面的敏感性系數Sx,gFig.3 Effective self-shielding cross-section of 238U and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖4 56Fe核素有效共振自屏截面和相對于連續點截面的敏感性系數Sx,gFig.4 Effective self-shielding cross-section of 56Fe and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖5 23Na核素有效共振自屏截面和相對于連續點截面的敏感性系數Sx,gFig.5 Effective self-shielding cross-section of 23Na and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

由圖2可見,在沒有共振的能量區間,每個能群截面的相對敏感性系數等于1.0。在共振峰密集的能群區間,每個能群截面的相對敏感性系數Sx,g均在1.0附近,能群截面的相對敏感性系數均明顯小于1,最大的可到0.7。由于能群截面的相對敏感性系數在共振的能區明顯小于1,這樣將會使得考慮隱式敏感性系數后,響應量相對于超細群的敏感性系數會減小。由于每個核素的共振能區的位置不一樣,每個超細群相對敏感性變化明顯的能區也有明顯差別,如239Pu和238U變化較明顯的能區在10～10 000 eV,但56Fe的變化較明顯的能區為104～107eV,主要是因為56Fe的共振峰集中在這個能量區間。但對于23Na,在共振能區,能群截面的相對敏感性系數較56Fe要更接近1.0。由于是超細群能群結構,23Na的共振峰均能很好地被描述,在超細群的共振峰內部,共振自屏效應較弱。這也說明,共振自屏的強弱跟能群結構也有很大關系,如果能群寬度越寬,每個能群中包括的共振峰數目越多,則該能群的共振自屏效應越強。

3.2 考慮隱式效應的keff敏感性系數

前面計算得到每個核素每個反應道每個能群的相對敏感性系數可應用于任何響應量。為驗證前面計算的每個能群截面的相對敏感性系數的正確性,選用有限增殖因數作為響應量,計算keff相對于多群以及少群截面的相對敏感性系數,采用了MCNP連續點截面計算的結果作為基準。MCNP程序計算基于ENDF/B-Ⅶ.1,每代粒子數為100 000個,粒子代數為400代,舍掉前100代。

不考慮隱式效應的keff相對敏感性系數計算方法:利用NJOY程序制作得到多群MATXS格式數據庫,采用MGGC2.0通過本底截面迭代計算得到各個核素的不同反應道的有效自屏截面,然后利用SUFR程序對每個多群分別進行正負擾動,然后再利用MGGC2.0或堆芯計算程序做輸運計算,得到系統的keff相對于每個核素每個細群的相對敏感性系數SR,σg。利用響應量相對于每個細群的相對敏感性系數SR ,σg以及式(9)計算得到多群相對于連續點截面的相對敏感性系數Sσg,σ(E),兩者相乘可得到考慮隱式效應的細群的敏感性系數。考慮隱式效應和不考慮隱式效應兩種情況的少群敏感性系數計算公式分別為式(11)、(12)。

(11)

(12)

圖6～10分別給出了238U輻射俘獲、239Pu裂變、239Pu輻射俘獲、56Fe輻射俘獲和23Na輻射俘獲反應道少群截面keff的相對敏感性系數。由圖6～10可見,考慮隱式效應的細群的相對敏感性系數與不考慮隱式效應的細群的相對敏感性系數隨能量的變化趨勢與MCNP的計算結果吻合較好,細群相對于連續點截面的相對敏感性系數Sσg,σ(E)對細群相對于keff的相對敏感性系數起到了修正的作用。這種修正作用對于不同核素,作用的能群位置和大小也會有所變化。為更清楚表示隱式效應的修正作用,表2給出了少群截面相對于keff的總敏感性系數對比。由表2可見,除239Pu裂變反應道,考慮隱式敏感性系數后的結果與MCNP吻合更好,少群截面相對于keff的總敏感性系數均有明顯改進。對于239Pu裂變反應道,由圖7可見,不考慮隱式效應的敏感性系數本身均較MCNP計算結果偏低,而隱式效應的修正進一步使原來的敏感性系數更低,所以相比于MCNP的結果偏離方向與其他計算結果稍有不同,該偏離方向可能跟不同反應道的共振自屏效應不同,而Bondarenko本底截面方法中只對總截面迭代,由此可能造成不精確,有待進一步研究分析。

表2 少群截面相對于keff的總的敏感性系數對比Table 2 Comparison of total sensitivity coefficients respect to keff for different isotopes

圖6 238U輻射俘獲反應道少群keff的相對敏感性系數Fig.6 Relative sensitivity coefficients of keff of 238U capture

圖7 239Pu裂變反應道少群keff的相對敏感性系數Fig.7 Relative sensitivity coefficients of keff of 239Pu fission

圖8 239Pu輻射俘獲反應道少群keff的相對敏感性系數Fig.8 Relative sensitivity coefficients of keff of 239Pu capture

圖9 56Fe輻射俘獲反應道少群keff的相對敏感性系數Fig.9 Relative sensitivity coefficients of keff of 56Fe capture

圖10 23Na輻射俘獲反應道少群keff的相對敏感性系數Fig.10 Relative sensitivity coefficients of keff of 23Na capture

3.3 不確定度計算

利用少群的敏感性系數計算上述反應道的keff的不確定度大小,對比考慮隱式敏感性與不考慮隱式敏感性的差別。不確定度的計算方法:將并群得到的考慮隱式敏感性和不考慮隱式敏感性的相對敏感性系數,利用式(13)計算得到keff響應量的不確定度,比較結果以MCNP為基準。本模擬中采用了每代10 000個例子,活躍帶為300代,非活躍帶為100代,keff=1.465 08,統計誤差為0.000 23。

(13)

表3 不同反應道相對于keff的不確定度Table 3 Comparison of total uncertainty of keff for different isotopes

4 結論

為更精確計算核截面數據引起的反應堆物理計算結果的不確定度,提出了一種新的隱式敏感性系數計算方法。利用該方法可計算多群截面相對于連續點截面的敏感性系數,進而考慮截面的隱式效應。并通過基準題對本文提出的隱式效應敏感性系數計算方法進行驗證,采用MCNP計算結果作為基準解,分析響應量keff的計算結果,238U輻射俘獲、239Pu輻射俘獲、56Fe輻射俘獲和23Na輻射俘獲反應道的結果顯示:考慮隱式效應的多群的相對敏感性系數與不考慮隱式效應的細群的相對敏感性系數隨能量的變化趨勢跟MCNP的計算結果基本一致,可顯著改善相對敏感性系數的計算精度。采用多群截面計算,在共振自屏效應強烈的能群,隱式效應修正最大可達50%。針對少能群截面,考慮隱式效應與不考慮隱式效應計算得到的keff總相對敏感性系數和不確定度均有明顯提升。以上計算結果說明了本文提出的隱式敏感性系數計算方法的可行性。

針對239Pu裂變反應,改進不明顯可能跟Bondarenko本底截面迭代處理共振自屏方法本身有關。在Bondarenko方法中,為考慮共振自屏對中子能譜的影響,需根據實際核素成分和幾何計算出本底截面,然后再去總截面網格中插值進行本底截面迭代,一直到總截面收斂。該方法的明顯缺點是,不同反應道的共振自屏可能不一樣,傳統的Bondarenko本底截面只對總截面做迭代,而不對其他反應道處理,這樣就有可能導致利用總截面迭代出來的共振自屏因子對應用于其他反應道時,可能會造成一定偏差。但通過總截面的本底截面迭代雖不能對所有核素所有反應道均能較好考慮共振自屏,但對大多數核素的主要反應道,計算結果有所改善。若要精確計算,將來需進行連續點截面才能更好考慮共振自屏效應和靈敏度系數的隱式效應。