韋恩圖：助力學生數學核心素養慢慢生長

南京師范大學附屬小學（210018） 潘 越

韋恩圖是數學中一種重視邏輯性的圖示工具，對于整理數學概念體系和區分易混淆概念起著重要作用。教材引入了韋恩圖（如圖1）來呈現加法模型，學生能通過韋恩圖建立加法模型，并且能夠在不同情境中應用該模型解決問題。那韋恩圖是否可以作為學生理解概念的有效工具，從而促進學生核心素養的發展？學生如何才能熟練運用韋恩圖？筆者對此進行了研究。

圖1

一、韋恩圖及其教學價值

（一）韋恩圖的定義

韋恩圖是一種通過封閉曲線直觀地表示集合及其關系的圖形。英國邏輯學家韋恩采用固定位置的交叉環形式及陰影來表示邏輯問題。在數學中，韋恩圖經常被用來表示集合或集合間的關系。在小學數學中，常見的韋恩圖有以下幾種類型（如圖2）。

圖2

韋恩圖兼具抽象與形象的雙重性質，能很好地體現數形結合的思想，它不是幾何學中的某一種圖形，而是一種把集合中的元素都包圍在圈內的直觀表示。因此，韋恩圖與封閉曲線的形狀、大小均無關，但考慮到數學的美感，通常會畫成圓形或者橢圓形。

（二）韋恩圖的主要功能

韋恩圖強調邏輯性，能夠直觀地體現事物與事物之間的關系。它具備以下三個主要功能。

1.分類解析

作為數形結合思想在小學教材中的應用，韋恩圖能幫助學生對數學對象進行直觀有效的分類，以及理解整體與部分、部分與部分之間的關系。

2.形象推理

數學是一門研究“關系”的學問，常常需要通過邏輯推理進行抽象的思維活動。韋恩圖可以將隱秘的邏輯關系直觀展現出來，幫助學生厘清線索，合理規劃推理的步驟。

3.語言轉譯

利用韋恩圖可以清晰地說明兩個事物之間的關系，同時可以將更多的概念整合在一起，降低了學生理解和表達的難度。

（三）韋恩圖助力學生開展數學認知活動

韋恩圖的三個功能夠助力學生數學認知活動的開展。韋恩圖可以直觀地呈現不同概念之間的關系，為發展學生的幾何直觀提供支持。在辨析韋恩圖的過程中，學生要通過分析和推理，從中抽象出研究對象的特性和共性，有助于發展推理意識。韋恩圖也可以建立不同的模型，為學生提供工具性的支持，使他們能夠個性化地表達自己的思想（如圖3）。

圖3

二、韋恩圖在教學中的實踐應用

韋恩圖在概念的理解和表達中具有獨特的優勢，它能夠形象直觀地表達易混淆概念之間的邏輯關系。然而，學生對韋恩圖的使用需要經過一定的學習和實踐。在教學中，教師可以引導學生經歷“識圖—用圖—構圖”的過程，真正幫助他們學會使用韋恩圖。

（一）識圖：與韋恩圖相識

1.借助已有經驗認識韋恩圖

教材沒有編排韋恩圖的內容，但學生在低年級時就已經積累了一些用圖示或文字表示關系的經驗。學生遇到韋恩圖時，就會將他們已有的經驗與之對接。例如，在學習加法數量關系時，學生會嘗試使用圖示來表示加法模型（如圖4）。

圖4

師：能說說哪個圖形是表示總量或分量的嗎？

生1：①號作品里的是大圓，②號作品里的是括線內的。

生2：兩個分量就是每個作品中較小的圖形。

師：對?、厶栕髌泛芙咏f恩圖的表征形式。什么形狀的圖形都可以，只是數學中更習慣用圓形或橢圓形來構建韋恩圖。

一些學生在用韋恩圖表示加法模型時可能會受到具體問題情境中數據大小的影響，認為兩個分量不應該平均分配。對此，教師要引導學生理解集合圈中圖形面積的大小和子集數量的多少并沒有直接的對應關系。同時，也要幫助學生理解“盡管圖示中只畫出了兩個分量，但韋恩圖同樣可以表示多個分量”的情況。這樣可以進一步讓學生感受到韋恩圖的抽象性和概括性。

2.利用韋恩圖呈現從屬關系

當下小學教材中包含了許多涉及從屬關系的概念，這也是學生在學習概念時最容易混淆的。例如，當學生學習“長方形和正方形”時，他們可能會注意到這兩者之間的緊密聯系，但往往忽略它們之間的區別。在教學中，教師可以引導學生思考如何用韋恩圖表示長方形和正方形之間的關系。

師：正方形和長方形誰更特殊？

生1：正方形更特殊，因為它的四條邊都相等，這與長方形不同。

生2：正方形有一些特征類似于長方形，但也有區別，兩個集合圈有交叉。

生3：那交叉的部分表示什么？

師：是否存在一個既是長方形又是正方形的圖形？

生4：不可能，因為正方形已經包含了長方形的所有特征，所以正方形也是長方形。

生5：也就是說，正方形應該被看作是一個小集合圈，被長方形的大集合圈所包含（出示圖5）。

圖5

小學數學中還有一些類似于“等邊三角形是特殊的等腰三角形”“整除是除盡的一種特例”等概念，使用韋恩圖（如圖6-1、圖6-2）也可以直觀地表示這些概念之間的關系。環狀韋恩圖有助于學生直觀地理解“從屬”關系，即大概念反映的是共性，小概念反映的是個性。這樣的理解可以幫助學生在未來學習新的概念時進行遷移。

圖6-1

3.使用韋恩圖進行分類梳理

在小學數學中常常借助分類來豐富一個概念的外延和內涵，分類解析是韋恩圖的一個重要功能，它能直觀有效地體現對數學對象的分類。例如，學生在學習三角形的過程中，將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形后，并使用韋恩圖（如圖7）來表示。這樣的圖示既能清晰地展示分類的結果，又能幫助學生理解分類思想，即按照一個標準對一類事物進行分類時，所分出的不同部分之間互不交叉，并且合在一起應等于原來的集合。

圖7

（二）用圖：與韋恩圖相知

1.在比較中進行辨析

在學生理解韋恩圖中表示兩個集合包含關系或交叉關系的含義后，教師可以引導學生想象韋恩圖并進行辨析。在比較、舉例論證之后，學生能夠建立符合邏輯的韋恩圖，并能夠解釋圖中不同區域表示的含義，進而思考現實世界的問題。

例如，在學生學習三角形按角的分類后，筆者利用問題“把所有三角形看作一個整體，銳角、直角和鈍角三角形都是這個整體的一部分，它們之間的關系可以怎樣表示呢？”引導學生用文字或者圖示來展示自己的想法。學生作品如圖8所示。

圖8

師：請說說你對這些作品的看法。

生1：這些作品都能體現三角形按角分有三類。

生2：②號作品中，三個圓環相交的部分代表什么？一個三角形可以既是銳角三角形又是直角三角形，還是鈍角三角形嗎？

生3：三種三角形之間不應該有交叉，就像③號作品一樣。

生4：從③號作品的大集合圈中去除三個小圓環后，剩下的圖形表示什么？

生5：三種類型已經涵蓋了所有的三角形，所以應該填滿大集合圈（出示圖9）。

圖9

生6：④號作品實際上就是一幅韋恩圖，只是用大三角形來表示集合圈。

2.在追問中合理推理

在學習三角形的分類時，除了按角分類，學生還學習了按邊分類。對于等腰三角形和等邊三角形，教師可以引導學生借助韋恩圖來明確它們之間的關系。

師：三角形按邊分是不是就像按角分一樣，將三角形的大集合一分為二？

生1：不是，這兩類三角形沒有覆蓋所有的三角形，只是比較特殊的情況。

生2：而且它們不是并列關系，而是從屬關系。

生3：三角形按邊分應該有兩類，一類是一般三角形，一類是等腰三角形，而等腰三角形中又包含了特殊的等邊三角形。（出示圖10）

圖10

借助韋恩圖可以推理得到這兩種三角形屬于從屬概念。通過教師的不斷追問，學生發現，按邊分除這兩類外還有一般三角形，這樣才能覆蓋三角形集合。經過這樣的辨析過程，學生可以進一步感悟到韋恩圖是具有強邏輯性的一種圖示，并在辨析中逐步積累自主構建韋恩圖的經驗與方法。

3.在連續思考中豐富內涵

既然按角和邊都可以對三角形進行分類，教師還可以順勢引導學生思考兩種分類方法之間有什么樣的聯系，是否可以將這兩幅韋恩圖疊在一起，疊在一起后是否就是對類別數量的簡單累加？

師：按角分可以分成三類，按邊分可以分成兩類，合并的話是不是就是分成五類？

生1：兩種分類方法的標準不同，不能只簡單累計。

生2：這兩種分法是有共性的，都對三角形完整的集合進行了分類，可以進行疊加。

師：從哪個角度先建立聯系呢？

生3：我們可以先按角分類，構建出完整的三角形集合，然后將等腰和等邊三角形添加進去。

生4：等邊三角形肯定在銳角三角形的區域。

生5：等腰三角形有可能出現在多個區域，它是大環中的一個小環，而等邊三角形則是這個小環中更小的環，且只能落在銳角三角形區域中。（出示圖11）

圖11

師：非常好的觀點！這個問題引發了我們對分類方法的思考和辨析。按角和按邊分類方法雖然都可以合理區分三角形，但在重疊和類別數量方面，它們并不是簡單的累加關系。

再如學生學習了“因數和倍數”的單元后，知道非0自然數按照是否為2的倍數可以分為奇數和偶數，用韋恩圖表示如圖12-1 所示；按照因數的個數也可以分為質數、合數和1，也可以用圖12-2表示。兩個韋恩圖合并后還可以產生新的圖示（如圖12-3），從中不難看出質數有可能是奇數，也有可能是偶數，從而豐富了學生對數的理解。

圖12-1

連續思考可以幫助學生將各知識點聯系起來，為學生更加清晰地進行推理提供工具性的支持，培養學生的推理意識，發展學生的核心素養。

（三）構圖：與韋恩圖相惜

1.鼓勵學生自主繪圖

在學生學習和理解韋恩圖后，教師可以鼓勵他們繪制韋恩圖，并將其應用到不同的學習領域中。這樣可以培養學生的應用意識，并使學生在創作中發揮創造性，靈活地表達現實世界。

在學生學習了加法模型后，筆者開展了“乘法數量關系”的教學：從具體的情境出發，引導學生在解決真實問題的過程中歸納出“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”等乘法數量關系。隨后，筆者引導學生思考如何用圖示來表示這些乘法數量關系。圖13 展示了一個學生個性化地構建乘法數量關系圖示的過程。

圖13

通過圖示的驅動，學生對從份數有限到份數無限、從每份量不同到每份量相同，再到長方形面積的計算的乘法數量關系有了深刻的理解。

2.按序畫圖形成結構

韋恩圖的特點是各部分之間沒有嚴格的界限，它更強調集合中一類事物的增長和漸變，各部分互相重疊、互相包容。韋恩圖可以呈現知識層次，幫助學生梳理單元甚至小學階段的知識體系，促進學生核心素養的發展。

比如，在六年級對“數”的板塊進行整體復習時，教師可以將數的相關概念建立起聯系，引導學生建構模型。

師：我們在小學階段學習了哪些數呢？

生1：整數、負數、分數、小數，還有百分數。

師：如何按照數的含義對數進行分類？

生2：可以先用韋恩圖將分數和小數表示出來，然后將它們放到“數”的集合中。

生3：另外，分數也分正分數和負分數，我們所研究的真分數和假分數都屬于正分數。

生4：還有整數和0，需要分開。

生5：整數與分數、百分數、小數之間雖然能相互轉換，但在含義上它們之間并沒有交集。

生6：按照數的含義來分類，可以先分別繪制整數及分數的韋恩圖，再將其放至數的集合圈中（如圖14），從而建立起數的模型。

圖14

……

3.組合使用個性表達

比如，在復習“圖形與幾何”板塊時，可以將平面圖形和立體圖形放在圖形的集合全圈中（如圖15），從而建立起圖形的模型。

圖15

韋恩圖可以幫助學生理解數學的系統性。根據不同的分類方式，韋恩圖的呈現形式也會相應改變。在建立板塊之間的聯系時，教師要鼓勵學生將韋恩圖與列表、樹狀圖、金字塔圖等圖示工具結合使用，以發展學生的模型思維。

韋恩圖強調邏輯性，同時能夠直觀地展示概念之間的關系，因此被引入小學教材中。然而，并不是所有的關系都適合使用韋恩圖表示。面對數學知識體系，教師要在構圖之前明確構圖的目的，通過不斷辨析加強學生的數學思維，真正推動他們核心素養發展。