循需·循徑·循聯(lián)：小學生推理意識培養(yǎng)的結(jié)構(gòu)化路徑
——以“三角形的內(nèi)角和”的教學實踐為例

浙江海寧市實驗小學（314499） 盧 特

在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（全文簡稱《課程標準》）中，推理意識是核心素養(yǎng)在小學階段的主要表現(xiàn)之一。數(shù)學推理包括合情推理和演繹推理兩種形式，二者相輔相成，在數(shù)學發(fā)展過程中，常常強調(diào)讓學生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的過程，進而形成講道理、有條理的思維習慣，培養(yǎng)學生的推理意識。推理促使理性精神的形成，推理意識體現(xiàn)著一種學習過程。

下面筆者以“三角形的內(nèi)角和”一課的教學實踐為例，闡述培養(yǎng)推理意識的實施路徑。

一、循需而謀：找準思維生長點，引發(fā)數(shù)學推理

數(shù)學推理教學要直面學生的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，找準思維的生長點，從推理原點設(shè)計問題情境，有意識地引發(fā)認知沖突，以此激發(fā)思維上的矛盾，讓學生對知識產(chǎn)生強烈的學習需求，啟發(fā)學生進行自主探究，引發(fā)數(shù)學推理活動。

（一）初次實踐，突破已有認知

真正的學習并不僅是把書本知識教給學生，而是讓學生學會學習。教學要立足學生的實際情況，以分析與研究學生學情為基礎(chǔ)，讓數(shù)學教學真正地站穩(wěn)兒童立場，回歸教育本真。

筆者結(jié)合教材內(nèi)容和自己的教學經(jīng)驗，實施了“三角形的內(nèi)角和”第一次試教，主要有如下環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，出示三角形，讓學生猜一猜三角形內(nèi)角和的度數(shù)；環(huán)節(jié)二，組織學生探究，引導(dǎo)學生使用量一量、拼一拼和折一折的方法，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論；環(huán)節(jié)三，利用“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論進行鞏固練習。

這樣的設(shè)計遵循了教材的編排思路，但在教學實踐中，存在以下問題。

教學起點把握不準。在環(huán)節(jié)一，當教師拋出問題“這個三角形的內(nèi)角和是多少度？”時，有學生很快回答“180°”，導(dǎo)致其他學生對這一內(nèi)容的探索欲不高。在環(huán)節(jié)二，學生都得出了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，整個環(huán)節(jié)，沒有學生得出不同結(jié)果或提出疑問。由此說明，學生對“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論不陌生，對探究任務(wù)沒什么興趣。

缺少對學習素養(yǎng)的培養(yǎng)。探索與掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”這個數(shù)學結(jié)論具有重要意義，從數(shù)學內(nèi)容來看，它是學生對三角形認識的深化，任意形狀、大小的三角形，內(nèi)角和始終是一個定值，這個結(jié)論對學生來說應(yīng)該很有吸引力，更重要的是，這一內(nèi)容對于培養(yǎng)學生推理意識有著非常重要的價值。但在第一次課堂實踐中，缺乏像“所有三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？”“除了量、折、拼，還有哪些方法也可以驗證三角形的內(nèi)角和是180°？”這樣具有推理價值的思考，學生的學習只停留在對知識技能的掌握和理解上，表現(xiàn)出探究欲低、思維停滯等情況，缺乏探究精神的培養(yǎng)。

（二）基于前測，主動鏈接思考

真實有效的教學基于教師對學生知識起點的深刻把握，鑒于對第一次教學實踐的分析與思考，為了更好地了解學生的學情，筆者對本校四年級某班的44名學生進行了前測，問題和結(jié)果如下。

前測問題：有兩個形狀相同、大小不同的三角形（圖略），請比較這兩個三角形內(nèi)角和的大小。

前測結(jié)果：參加測試的44人中，僅有10人認為這兩個三角形的內(nèi)角和相等且都是180°，有34 人認為大三角形的內(nèi)角和更大。

前測結(jié)果分析：雖然許多學生都知道“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結(jié)論，但是，多數(shù)學生不知道這個結(jié)論是如何產(chǎn)生的，也不知道如何證明或驗證。因此，當學生面對兩個形狀相同、大小不同的三角形時，大與小的對比讓學生對“已知結(jié)論”產(chǎn)生了懷疑，部分學生會依據(jù)思維定式說出“三角形大，內(nèi)角和就大”，這也恰恰說明了學生的“已知”，只是表面的“已知”，他們對知識的認識不牢固、不堅定。

基于以上分析，筆者把教學目標定位在驗證上，而不是定位在獲取結(jié)論上，即著重說明“為什么三角形的內(nèi)角和是180°”。

【教學片段1】

師：關(guān)于三角形的內(nèi)角和，你們已經(jīng)知道了什么？

生1：三角形的內(nèi)角和是180°。

生2：在學習用量角器量角時，老師說過三角形的內(nèi)角和是180°。

師：（課件呈現(xiàn)不同的三角形）這些三角形的大小、形狀完全不一樣，難道內(nèi)角和都是180°嗎？

（有學生說都是180°，有學生質(zhì)疑。）

第一個問題，了解學情，讓學生提出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，充分暴露已知。第二個問題，啟發(fā)學生思考，在這些三角形的視覺沖擊下，學生對先前的“已知”產(chǎn)生了疑惑，有效激發(fā)了學生學習的欲望，引發(fā)數(shù)學推理活動。

二、循徑而行：捕捉思維沖突點，發(fā)展合情推理

合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，常用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論。兒童的思維具有直覺性，缺乏分析和推理的過程，往往會直接把“猜想”當“結(jié)論”來使用，這樣不利于學生對推理本質(zhì)的理解。在教學“三角形的內(nèi)角和”時，教師可以結(jié)合四年級學生的認知特點，在課堂上捕捉“用操作實驗的方法，仍然可能存在誤差”的思維沖突點，引導(dǎo)學生尋找驗證“三角形的內(nèi)角和是180°”的不同路徑。

（一）直面疑問，理性分析思考

面對內(nèi)角度數(shù)未知的三角形，學生想到用“量角法”和“剪拼法”來驗證，但這兩種方法都屬于操作驗證，誤差無法避免。教師可以引導(dǎo)學生研究“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論，思考如何避免誤差。促使學生進一步研究，尋找更為科學嚴謹?shù)尿炞C方法。

【教學片段2】

（教師讓學生任意畫一個三角形，獨立測量后匯報結(jié)果。）

師：請看大家的結(jié)果，同學們得出的三角形內(nèi)角和有的是178°，有的是183°，還有的是……“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論好像不成立呀？

生1：這些答案都很接近180°，有可能是誤差造成的。

生2：我覺得測量只能說明有可能是180°。

師：測量容易產(chǎn)生誤差，你們還有其他辦法探究三角形的內(nèi)角和嗎？利用課前老師請你準備的三角形研究一下吧。

生3：我們把三角形三個內(nèi)角剪下來拼在一起，拼成一個平角，因為平角是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

生4：用剪拼的方法，角與角之間會有縫隙，不能保證剛剛好是180°。

師：測量法有誤差，剪拼法也有誤差，還有沒有更好的方法？

……

教師給予學生足夠的探究時間和空間，設(shè)計長線驗證路徑。路徑一，讓學生自己畫三角形，自己測量、計算。路徑二，讓學生通過剪拼將角轉(zhuǎn)化為平角驗證。教師沒有直接幫助學生校正結(jié)果，而是把誤差作為引子，引導(dǎo)學生尋找更為科學嚴謹?shù)尿炞C方式。

（二）動態(tài)拓展，建立內(nèi)在聯(lián)系

學生先后經(jīng)歷了“量角法”和“剪拼法”兩次動手操作活動后，發(fā)現(xiàn)兩種方法仍舊難以避免誤差。這就促使學生再次深度思考：還有沒有更直觀、更精準的方法？在學生思考后，教師通過“轉(zhuǎn)筆法”，讓學生深刻體會從靜態(tài)到動態(tài)的數(shù)學研究方法，使其在直觀操作的基礎(chǔ)上拓寬思路，獲得理性思考的啟迪，培養(yǎng)空間想象能力。

【教學片段3】

師：其實只要利用一支鉛筆也能說明三角形的內(nèi)角和是180°，你們聽說過嗎？

（學生表示懷疑，教師播放微課。）

師：原來的筆尖朝著右，“量”了三個角之后，筆尖朝左了，這說明了什么？

生1：鉛筆旋轉(zhuǎn)了一個平角，平角是180°，說明三角形的內(nèi)角和是180°。

生2：但是這也是用操作的方法來驗證，在操作的過程肯定也會有誤差。

學生經(jīng)歷了“量角法—剪拼法—轉(zhuǎn)筆法”三次操作驗證的過程，進行了三次合情推理。雖然沒有找到嚴密的推理方法，但在三次推理活動中，學生直面學習中的沖突點和疑惑點。尋找更加嚴謹?shù)尿炞C方法，它們這正是學生推理意識培養(yǎng)所需要的。

三、循聯(lián)而用：緊扣思維延伸點，生發(fā)演繹推理

演繹推理是指從已有的事實和確定的命題出發(fā)，通過規(guī)則推斷結(jié)果的思維方式，主要功能是驗證猜想或類比結(jié)論的正確性。小學數(shù)學教學中，演繹推理更傾向于應(yīng)用已驗證過的結(jié)論解決實際問題。學生在經(jīng)歷三次合情推理后，發(fā)現(xiàn)“測量法”“剪拼法”和“轉(zhuǎn)筆法”在驗證“三角形的內(nèi)角和是180°”的嚴謹性方面都存在不足。由此驗證“三角形的內(nèi)角和是180°”的演繹推理呼之欲出。

（一）搭建階梯，拓展知識認知

在學生經(jīng)歷了用操作性的方式驗證“三角形的內(nèi)角和是180°”后，教師引導(dǎo)學生重新經(jīng)歷推理驗證過程，以適度拓展學生的認知。讓學生的學習逐步從合情推理走向演繹推理，從形象走向抽象，經(jīng)歷驗證三角形內(nèi)角和的全過程。在培養(yǎng)學生的幾何直觀能力的同時，也讓學生感悟用演繹推理驗證結(jié)論的嚴謹性。

【教學片段4】

師：我們知道長方形的內(nèi)角和是360°，沿著對角線剪開，可以分成兩個完全相同的直角三角形，那么每個直角三角形的內(nèi)角和就是多少？

生1：360°÷2=180°，這樣就驗證了直角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：利用直角三角形的內(nèi)角和，怎么驗證銳角三角形的內(nèi)角和？

生2：在銳角三角形中畫一條高，分成兩個直角三角形，它們的內(nèi)角和都是180°，相加得360°。但其中兩個直角拼成的平角并不是大三角形的內(nèi)角，要減去180°，所以銳角三角形的內(nèi)角和還是180°。

師：我們用同樣的方法，可以驗證鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

教師啟發(fā)學生借助長方形的內(nèi)角和推理出直角三角形的內(nèi)角和是180°。接著引導(dǎo)學生運用“直角三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論推導(dǎo)出銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和，學生經(jīng)歷了“長方形的內(nèi)角和—直角三角形的內(nèi)角和—非直角三角形的內(nèi)角和”的推理過程，在獲得知識的同時，積累了演繹推理的經(jīng)驗，幫助學生養(yǎng)成了良好的探究精神。

（二）精設(shè)練習，豐盈推理體驗

教師可通過創(chuàng)設(shè)綜合性的練習，讓學生在不斷嘗試和挑戰(zhàn)中產(chǎn)生思維碰撞，讓其所學知識從零散狀、碎片式走向整體化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

【教學片段5】

師：信封里有一個三角形，現(xiàn)在只知道三角形其中一個內(nèi)角是30°，這會是個什么三角形？怎樣求另外兩個內(nèi)角？

生1：可能是一個直角三角形，其中一個角的度數(shù)是90°，剩下一個角的度數(shù)是180°-90°-30°=60°。

生2：可能是一個等腰三角形，有兩個角的度數(shù)都是30°，剩下一個角的度數(shù)是180°-30°-30°=120°。

生3：如果這個三角形是等腰三角形，30°這個角也可能是三角形的頂角，那么另外兩個角的度數(shù)都是（180°-30°）÷2=75°。

……

有效的學習離不開教師精心設(shè)計的練習，筆者設(shè)計了這樣綜合性的練習，隨著對“這會是個什么三角形”的深入分析和討論，學生發(fā)現(xiàn)可以用分類的方法解決，體會到全面思考問題的重要性。學生在解決問題的過程中，把三角形的內(nèi)角和定理與三角形的特征聯(lián)系起來，綜合使用知識解決問題，拓寬了思維空間，發(fā)展了推理意識。

推理意識的培養(yǎng)，要聚焦學生思維的關(guān)鍵點，學生思維的生長點是學生已有的知識經(jīng)驗，思維的沖突點是學生驗證結(jié)果時產(chǎn)生的質(zhì)疑，思維的延伸點是學生對新知與已知的轉(zhuǎn)化。課堂中循著學生的思維，引導(dǎo)學生經(jīng)歷從已知的數(shù)學事實出發(fā)進行驗證推理的過程，讓學生學習如何運用已有的數(shù)學知識進行解釋與說理，以此培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神。