球形物體空氣阻力大小與速率關系的研究

賈子朋

本期點評專家

張永強? 正高級教師，湖南省十佳科技教師。科普中國2021年十大科普人物獎獲得者，全國校園發明創意大賽、湖南省青少年科技創新大賽、湖南省創新編程與智能設計大賽、湖南省科學調查體驗活動評審專家組成員。

本研究主題來自人教版高一物理必修一冊“課題研究”，書中樣例以懸掛重物、緩慢下落的氣球為研究對象，在研究的過程中不斷增加重物的質量，并且忽略了空氣阻力對重物的影響。我校高一年級開展研究性學習的時候，物理老師將其列入高一研究性學習課題清單，并要求使用和教材不同的研究對象和實驗方法。

經過閱讀文獻和學習，我以可控制電磁鐵的光電計數器為主要裝置，研究光滑金屬小球自由下落過程中，所受空氣阻力與運動速率的定量關系。具體方法為：由牛頓第二定律列出運動方程，推導阻力與速度的系數公式，通過實驗數據計算系數值并分析結論。

一、理論推導

光滑金屬小球在短距離內下落的速率相對較慢，可認為它受到的空氣阻力和運動速率成正比。設空氣阻力為f，某一點的瞬時速率為v，空氣阻力與速率的系數k=? ?，根據牛頓第二定律可得

通過積分解得

進而得到

公式（2）表明，只要測出m（小球質量）、v（小球過測量點的速率）、t（小球到測量點的時間），即可計算系數k。

二、考慮空氣阻力的自由落體位移公式

推導考慮在當前空氣阻力系數的條件下，自由落體下落位移（距離）與時間的關系。由公式（1）得

令y為經時間t時球體已經下落的位移，求得

三、探究過程

（一）實驗設計

實驗裝置如圖1所示。

組裝實驗器材，用水平尺將支架調至基本垂直狀態。將重錘自電磁鐵垂下，微調支架和光電門的位置，讓垂線遮擋光電門。把小球吸在電磁鐵正下方，上光電門緊貼小球下端（不接觸）。

關閉電磁鐵電源，小球做自由落體運動，光電計數器自動計算小球經過兩個光電門的遮擋時間和經過兩個光電門所用時間。重復多次實驗。保持上光電門的位置不變，改變下光電門位置，重復步驟3至步驟5多次。最后計算空氣阻力系數k。

作者有話說：我使用簡單易得的實驗裝置、簡潔清晰的理論推導完成了本課題的研究。該研究鍛煉了我的物理基礎分析和實驗操作能力，對學習微積分也有很大的幫助，尤其讓我深切地認識到微積分在物理學研究中的重要作用。

（二）基礎數據

經測量，小球質量0.017 kg，直徑0.0163 m。用高德地圖工具查知實驗所在地緯度，用地理緯度與海拔高度計算重力加速度的近似值g≈9.809 12 m/s2。

由于小球經過光電門時姿態不可控，不會剛好以軸線對準光電門光線，遮光距離并非小球直徑。我假定在多次實驗的情況下，遮光的平均距離與直徑為黃金分割關系，估算得出遮光距離l=0.010 073 m。

（三）實驗數據

表1 是經過3輪、每輪重復5次后記錄的實驗數據。

公式（2）中時間t是小球從靜止下落到下光電門的時間，實驗裝置只能給出小球經過兩個光電門的時間t落2。上光電門距初始位置非常近，忽略空氣阻力的影響，由勻加速運動的速度公式v=at，計算得t落1約為30.96 ms。表2為實驗計算結果。

（四）數據分析

根據表2每輪實驗數據計算得到的阻力系數k不同，分析有如下原因：通過標尺讀數記錄的光電門位置有誤差；吸附小球時可能因觸碰導致金屬片支架形變，改變了實際下落距離；遮光距離用黃金分割關系估算；計算小球從靜止到第1個光電門時間時忽略了空氣阻力；光電計數器、電子秤、電子游標卡尺等儀器本就存在誤差。

綜上，對表2中的阻力系數k求算數平均值沒有價值，所以我嘗試計算它們的調和平均數，計算求得k=15.1639。將各項數據代入公式（3）可以得到表3。

使用k計算的下落距離與實際測量值非常接近，至此認為：“空氣阻力和小球的運動速率成正比”這一假設成立。

四、結論與展望

（一）研究結論

我假定空氣阻力與球體運動速率成正比，根據牛頓第二定律和自由落體公式建立方程，得出阻力系數與速率的函數關系，自己設計裝置進行研究，得到了較滿意的結果。經比較，金屬小球自由落體時所受重力與空氣阻力的大小差一個數量級，這是因為在測量重力加速度時忽略了空氣的阻力。

（二）展望

球體在空氣中運動時受到的阻力還與表面結構、空氣密度等有關，可選用其他一個或多個變量進行研究。另外，研究高速運動的球體時提出的假設應有所不同，理論推導過程更復雜，需重新設計實驗裝置。

專家點評

這是一篇內容豐富、數據分析細致、語言表達流暢的研究報告。作者在科學思維和寫作能力方面展現出良好的素養。主要體現在理論分析部分條理清晰，對實驗誤差進行了合理分析。研究內容具有一定的創新性，不完全按照教科書范例，而是進行了改進；文章書寫格式規范，語句表達流暢，語言組織能力強。

建議作者在部分公式符號使用上更加規范。增加實驗重復輪次，使統計分析更充分；縮減文章篇幅，讓內容組織更緊湊。

（欄目編輯? 秦銀銀）