齊型空間上加權(quán)Besov空間與Triebel-Lizorkin空間的Tb定理

劉金瑞,鄭濤濤,肖燕梅

(浙江科技大學(xué) 理學(xué)院,杭州 310023)

1 預(yù)備知識(shí)

為了說(shuō)明研究的主要結(jié)果,我們首先回顧一些必要的定義。

定義1[8]稱(X,ρ,μ)為Coifman與Weiss意義下的齊型空間,如果ρ是一個(gè)滿足以下條件的擬度量: 1)ρ(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;2)ρ(x,y)=ρ(y,x);3)對(duì)任意的A≥1,有ρ(x,y)≤A[ρ(x,z)+ρ(z,y)],且正則測(cè)度μ滿足倍測(cè)度條件,即

0≤μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))。

(1)

Macías等[9]證明了擬度量ρ可以被另一擬度量d替換,其中擬度量ρ和d在X上誘導(dǎo)的拓?fù)涫且恢碌?且

μ(B(x,r))≈r。

(2)

其中對(duì)于00和0<θ<1。對(duì)于x,x′,y∈X,d有如下的正則性條件:

|d(x,y)-d(x′,y)|≤Cd(x,x′)θ[d(x,y)+d(x′,y)]1-θ。

(3)

在本研究中,齊型空間(X,d,μ)特指測(cè)度μ滿足式(2) 和擬度量d滿足式 (3) 的齊型空間。

我們研究與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的加權(quán)Besov空間和加權(quán)Triebel-Lizorkin空間的Tb定理,首先回顧仿增長(zhǎng)函數(shù)和權(quán)函數(shù)的定義。

定義2[6]232有界復(fù)值函數(shù)b稱為仿增長(zhǎng)函數(shù),若對(duì)任意的方體Q?X,存在正常數(shù)C和δ及子方體Q′?Q,使得δμ(Q)≤μ(Q′)和

(4)

記Mb為對(duì)應(yīng)的乘法算子,即Mbf=bf。

(5)

Mω(x)≤Cω(x),t=1。

(6)

式(6)中:M為X上的Hardy-Littlewood極大函數(shù),在這種情況下,定義ω∈At(X)。

在此基礎(chǔ)上為了定義與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的加權(quán)Besov空間和加權(quán)Triebel-Lizorkin空間,我們需要引入與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的檢測(cè)函數(shù)和分布及恒等逼近的定義。

定義4[11]設(shè)0<β,γ≤θ,稱函數(shù)f為以x0∈X為中心,r>0為半徑的(β,γ)型檢測(cè)函數(shù),若f滿足:

(7)

(8)

3)對(duì)于所有的x∈X,有

若f是以x0∈X為中心,r>0為半徑的(β,γ)型檢測(cè)函數(shù),則記f∈Gb(x0,r,β,γ)。f在Gb(x0,r,β,γ)中的范數(shù)定義為

(9)

(10)

對(duì)于某些g∈Gb(β,γ),定義

bGb(β,γ)={f∶f=bg}。

(11)

與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的恒等逼近定義如下:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

現(xiàn)在我們來(lái)定義與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的加權(quán)齊次Besov空間和加權(quán)齊次Triebel-Lizorkin空間。

(17)

(18)

(19)

(20)

為了得到與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的加權(quán)齊次Besov空間和加權(quán)齊次Triebel-Lizorkin空間的Tb定理,需要給出齊型空間上齊次標(biāo)準(zhǔn)核Calderón-Zygmund奇異積分算子及弱有界的定義。

定義7[13-14]稱定義在{(x,y)∈X×X:x≠y}上的連續(xù)復(fù)值函數(shù)K(x,y)為齊次標(biāo)準(zhǔn)核,若存在常數(shù)ε∈(0,θ]和C>0使得:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

為了介紹本研究的主要結(jié)果,我們需引入以下符號(hào)

定義9[16]稱Calderón-Zygmund奇異積分算子T具有弱有界性,記為T∈WBP,若存在常數(shù)η∈(0,1]和C>0,對(duì)于所有的x∈X使得

(26)

接下來(lái)闡述Christ在文獻(xiàn)[17]中給出的下述構(gòu)造,它對(duì)齊型空間函數(shù)理論的發(fā)展起著關(guān)鍵的作用。

基于引理1需引入如下的離散型Calderón再生公式:

(27)

(28)

(29)

且

(30)

2 主要結(jié)果及證明

在證明此定理之前,需建立與仿增長(zhǎng)函數(shù)相關(guān)的加權(quán)Besov空間和加權(quán)Triebel-Lizorkin空間的Plancherel-Plya特征刻畫,以表明函數(shù)空間的范數(shù)獨(dú)立于恒等逼近的選取。

(31)

(32)

(33)

(34)

在證明引理3及引理4之前,先回顧兩個(gè)重要的引理:

(35)

(36)

引理3及引理4證明。由引理2及引理5有

若1/(1+s)

考慮p>1和t/(1+ε)1時(shí),由加權(quán)Fefferman-Stein向量值極大不等式, Minkowski不等式,H?lder不等式,以及(a+b)n≤an+bn(0

最后一個(gè)不等號(hào)的成立基于以下事實(shí):

當(dāng)t/(1+ε)

由t/(1+ε)

由1/p≥1,用H?lder不等式,有

進(jìn)而有

最后一個(gè)不等號(hào)的成立基于以下事實(shí):

式(31)得證。有關(guān)式(32)、式(33)及式 (34)的證明與其類似,在這省略了細(xì)節(jié)。

接下來(lái)引入如下幾乎正交估計(jì)的引理,這對(duì)本文主要定理的證明起著重要作用。

(37)

式(37)中:0<ε′<ε。

對(duì)于1/(1+s)

考慮p>1和t/(1+s)1時(shí),由加權(quán)Fefferman-Stein向量值極大不等式、Minkowski不等式、H?lder不等式,以及(a+b)n≤an+bn(0

最后一個(gè)不等號(hào)的成立基于以下事實(shí):

當(dāng)t/(1+s)

當(dāng)t/(1+s)

由1/p≥1,用H?lder不等式,有

進(jìn)而有

最后不等式的成立基于以下事實(shí):

定理1得證。

下面用加權(quán)Fefferman-Stein向量值極大不等式,有

最后一個(gè)不等式的成立基于以下事實(shí):

和

定理2得證。