核心素養導向的高中數學建模活動
——以“雨中行”教學為例

◎ 李志鵬

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱《2020 修訂版課標》）將數學建模作為高中六大數學核心素養之一，培養學生用數學的眼光分析和解決生活中實際問題的能力。數學建模單列為高中數學內容的一個主題，卻與函數、幾何與代數、概率等知識緊密聯系，起到整合、融會、運用的作用。數學建模是學生必備的關鍵能力，也是學生適應今后社會發展的需要。［1］

在“雙新”背景下，數學建模的教學不應成為數學應用問題求解的教學，而要讓學生感受生活中實際問題和數學應用題的區別。實際問題在解決過程中會出現諸多干擾因素和不確定因素，甚至問題和條件可能都是不明確的，學生需要在建模過程中自主探究。我們期望通過數學建模的學習，逐步培養學生將實際問題轉化為可以解決的數學問題的能力，在此基礎上，領悟數學建模的價值和意義。

如何以學生為中心、關注學生素養的發展開展數學建模活動、落實教學基本要求，本文以“雨中行”一課為例進行了初步探索。

一、數學建模活動教學分析

對剛接觸數學建模學習的學生，教師應當選取學生熟悉的生活情境。在雨中淋雨行走，大多數學生可能體驗過，但他們不一定會深入思考減少淋雨量的策略，這就能激發學生的好奇心和探究熱情。考慮到學生的數學知識儲備，雨中行問題主要涉及簡單的函數模型，在合理假設的基礎上，學生現有的數學知識可以解決該問題，因此選擇“雨中行”作為數學建模活動的課題。

（一）教材分析

本節課是滬教版高中數學教材必修第四冊第一部分數學建模活動案例中的最后一課。教材完整地呈現了數學建模的各環節，搭建了較完備的探究框架，但較之前的課例保留了更多空白以便于學生自行探究、思考和分析，對于剛學習數學建模的學生提出了更高的要求。

教材中出現了較多的幾何模型抽象與函數模型推導，是學生不易于理解的，有必要重新設計教學環節幫助學生理清問題，克服學習過程中的畏難情緒。

（二）學情分析

學生在第一階段已經學習了數學建模引論課及兩個建模實例，掌握了數學建模的一般流程和方法，對于“雨中行”的建模活動有良好的知識和能力基礎，但對現實問題的轉化仍是學生比較薄弱的地方。

（三）教學目標及重難點

數學建模核心素養指出要培養學生從實際情景中抽象出數學問題的能力，其關鍵在于確定研究的問題和研究對象是什么，進而分析影響研究對象的相關因素，然后將主要的因素用參數表達，將次要的或干擾因素通過合理的假設忽略，這一過程是讓學生抓住問題的本質。由于現實問題是非常復雜的，學生難以把握，需要教師的引導和幫助，本環節是教學的重點和難點。

數學建模核心素養還指出要培養學生檢驗模型合理性、將數學結果轉化為生活結論的能力。通過教學，幫助學生養成反思和檢驗的習慣，進一步的層次還可以提高至對模型的改進和優化。根據數學模型得到的結果還要與生活聯系起來，從而對生活產生指導和啟發，這也是培養學生數學建模興趣的關鍵。

根據數學建模核心素養的要求和教學基本要求，筆者制定以下教學目標和教學重難點。

（1）通過對實際情境的分析，提出問題，找到解決問題的相關因素，設置合理假設，建立雨中行策略的初步模型并在此基礎上改進；

（2）經歷“雨中行”建模活動的全過程，體會數學建模在解決實際問題中的作用。

教學重點：針對情境提出問題并分析影響問題的相關因素，建立雨中行走的淋雨量模型。

學習難點：明確影響淋雨量的主要因素，設置合理的假設，改進淋雨量模型。

二、數學建模活動教學實踐

教師首先復習數學建模的主要流程，讓學生回憶建模的步驟。本節課主要圍繞建模的主要環節依次展開（見圖1）。

圖1 數學建模活動的基本過程

（一）創設情境，引入課題

情境取自一件真實的事：老師要去校門口取信件，走到圖書館附近突然下起了雨，由于沒帶雨傘，不得不淋雨走一段路。在這個過程中，你能提出怎樣的問題?

設計意圖：通過自由提問環節，培養學生能夠在熟悉的情境中發現問題的素養。從學生提出的問題中歸納共性——希望老師的淋雨量盡可能少，并有小組指出跑得越快越好，有小組不同意此看法，進而發起是否同意“跑得越快淋雨量越小”這一觀點的線上投票，直觀地反映不同小組成員之間的認知矛盾，造成沖突。

兩個小組的學生結合生活經驗，說出了各自的理由，但并不充分。因此有必要通過數學建模來研究“如何制定行走策略，盡量減少淋雨量”。學生體會到利用數學方法解決實際問題的重要意義。

（二）分析因素，設置假設

要減少雨中行走的淋雨量，則要建立描述淋雨量的數學模型，需要先分析影響淋雨量大小的因素。

【活動】 小組討論分析影響淋雨量大小的因素，將結果寫下來并貼在黑板上。

小組1：風速、行走速度、風向、遮擋物。

小組2：降雨量、雨速、距離。

小組3：下雨量、人相對地面的速度、投影面積。

小組4：行走速度。

小組5：體型、風速、行走速度、降雨量、路程。

設計意圖：直觀上給出影響淋雨量的因素，對學生來說并不困難，但更需要具體說明每個因素對淋雨量大小可能產生怎樣的影響。通過這個環節，培養學生分析問題的能力，找到各個因素與淋雨量之間的關聯，進而為構建描述淋雨量大小的模型作鋪墊，例如，淋雨量與某一因素在模型中可能成正比，還是成反比？讓學生把握因素與結果之間的關系。

從學生討論的結果可以看到，有些因素出現的頻率很高，自然地讓學生分析主要因素和次要因素，忽略次要因素的影響，降低建立模型的難度。

真實生活中，影響淋雨量的主要因素（人的行走速度、風速與風向、人體的形狀、降雨強度）中有一些是在時刻變化的，這為建立模型帶來困難，有必要設置合理的假設，將實際問題簡化。

【問題】 為建立描述淋雨量的模型，需要作哪些假設？

小組2：人體有凹凸，難以計算跟雨水的接觸面積，因此假設人是一個長方體。

小組4：假設人勻速直線行走，風速和風向不變化。

小組6：假設雨勢不變，雨不會突然變大或變小。

設計意圖：學生能夠利用控制變量、理想模型等方法簡化問題，但在設置假設時，仍然請學生充分地說明理由，討論假設的合理性，是否符合生活實際。同時也要讓學生理解，后續建立的數學模型是基于當前假設的結果，如果假設調整，模型一般也會相應變化。

根據主要因素和設置的假設設定參數，如表1 所示。

表1 淋雨量模型參數表

本環節的最后，組織學生思考并討論從數學的角度，怎樣描述淋雨量。該問題旨在幫助學生分析理解建模的對象如何量化，即明確用何物理量來刻畫淋雨量。

【問題】 從數學的角度，怎樣描述淋雨量?

小組3：可以計算雨滴滴在身上的數量，但較難計算，可以算淋雨的體積。

設計意圖：本環節明確了淋雨量為行走的總時間內落在身上的雨水體積Q（m3）。培養學生將提出的問題轉化為數學問題的能力，知道如何確定參數，并且理解參數的意義。

（三）建立模型，求解模型

首先建立頭頂的淋雨量模型，這部分是本節課的另一個難點。學生將落在身上的雨水“量化”是很困難的，也十分抽象。為了讓學生直觀感受雨水落在頭頂的過程，教師設置了課堂演示實驗，如圖2 所示。

圖2 頭頂淋雨量演示實驗

【演示實驗】 長方體紙盒在“雨水”中靜止，觀察頭頂淋雨的情況。

設計意圖：通過觀察，學生容易發現單位時間內落在頭頂的雨水包含在一個長方體內，為計算淋雨量需明確長方體的體積。長方體的底面是wd，高度是雨豎直下落的速度vr（m/s）乘以1s，而長方體中真實的雨滴體積還需乘以降雨強度系數p（即雨滴的密度），從而自然地引入描述降雨強度的兩個方面，也解決了學生指出“雨勢大小”這一因素卻不知道如何描述的困惑。

學生能在實驗情境中抽象出幾何圖形，建立圖形與實物的關聯并分析數量關系，進而建立描述頭頂淋雨量的數學模型。

經由小組合作探究，學生自主得到有風和人運動條件下頭頂的淋雨量，仍由式（1）給出。根據模型得出跑得越快淋雨量越小的結論。由此實現了淋雨量由“物”到“量”的轉化。

（四）檢驗模型，改進模型

建立初步模型后，本節課的又一難點是改進模型。學生建立數學模型后，往往就結束了建模的全部工作，忽視對模型的檢驗。為了在課堂上檢驗模型的正確性，教師設計了“無風雨中行走實驗”。實驗分為三組：一組學生頭頂紙板分別快跑和慢走，二組學生將紙板擋在身體前面分別快跑和慢走，三組學生將紙板擋在背部分別快跑和慢走。

學生通過實驗視頻和實驗結果，驗證了頭頂結論的合理性，并發現在無風雨中行走過程中前胸的淋雨量非常多，由此提出建立只考慮頭頂淋雨的模型不合乎實際，需要改進模型考慮身體前后的淋雨量。在建立頭頂淋雨量模型的基礎上，學生合作得到不同條件下的改進模型，如表2 所示。

表2 不同條件下頭頂及身體前后的淋雨量

設計意圖：通過此實驗，解決了學生的兩個問題：已經建立的模型合乎實際嗎？如果要改進模型，改進的方向又是什么？經過探究，培養學生根據問題的實際意義檢驗結果、完善模型的素養，培育學生在研究問題時要善于反思、嚴謹治學的精神品質。

（五）解析模型，得出結論

建立改進的模型后，教師組織學生進行小組討論。在現有假設的基礎上，根據建立的淋雨量模型和函數草圖，發現順風行走且dvr＜hvw情形下，v＞vw時增加行走速度，淋雨量反而會更多，將數學的結論回歸到生活實際中，解決了雨中行走減小淋雨量策略的問題。

針對雨中行走問題，雖然在很多條件下都得到“跑得越快，淋雨量越少”的結論，但教師在教學過程中還是提醒學生，雨天路滑，應該在保證安全的前提下盡可能走快來減少淋雨量，將德育有機地融入數學建模課堂，落實安全教育和生命教育。

（六）課堂小結，布置作業

師生共同進行課堂小結，學生交流了數學建模活動的心得，教師布置開放性的探究作業。

【作業】 針對建立的淋雨量模型，還能做出哪些改進或探究？請同學以小組為單位，把問題提出來并嘗試解決，完善本次數學建模活動報告。

設計意圖：通過作業培養學生自主探究、合作研究、類比探究、問題推廣的能力，積累探究經驗，讓學生體會到探索的樂趣。

三、教學反思

數學建模活動不應片面地追求教給學生復雜、高深的數學模型。把握問題的本質，分析、厘清影響問題的因素，設置必要且合理的假設，對學生來說也很重要，也往往是困難的。特別是學生不熟悉的情境，教師要在這一環節給予學生必要的幫助和指導，引導學生思考每個因素與所研究對象之間的關聯，甚至在一些問題中要考慮因素與因素之間的相互影響，更要兼顧假設，既符合生活實際，又利于問題的解決。這樣能有效地培養學生思考問題和分析問題的能力，抓住問題的關鍵。

在開展數學建模活動和數學探究活動時，可以設計一定的實驗或活動，幫助學生理解建模環節中抽象的部分。例如，本例中的淋雨量、車輛轉彎時的內輪差、家具搬運時卡在墻角的條件，等等，都可以讓學生從實踐中獲得相應的認識，也能增加數學建模過程的趣味性和生動性。

在進行數學建模活動時，我們往往從模型出發，得到相應的結論，但有時能否借生活中的“經驗”“結果”，經由數學建模，探究其原因呢？例如，在合適的雨天讓學生穿上雨衣，先開展雨中行走實驗，探索減少淋雨量的行走策略，找到規律，然后建模分析原因，用數學工具來解釋“經驗結論”，再用數學結論指導實踐，優化行走策略使淋雨量更小，形成一個探究閉環，學生能真切感受到數學指導生活的重要作用。

數學建模活動的教學要更加關注學生的活動和參與度，通過合適的選題，讓學生充滿探究興趣，沉浸在整個數學建模過程中，積極發問，勇于思考，敢于提出新的想法和觀點，發展學生數學建模核心素養，體會數學在實際生活中的價值和意義。