站在巨人的肩膀上耕耘——《等差數(shù)列》（第一課時）教學(xué)設(shè)計

上海市北虹高級中學(xué) 商軼瑋

板塊一：基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計

APOS理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。

1.活動階段（Action）——創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題1：在過去的三百多年里，人們分別在下列年份觀測到了哈雷彗星，你能否預(yù)測到它下次出現(xiàn)的時間？

1682，1758，1834，1910，1986，（ ）

問題2：觀察下面兩個數(shù)列，找規(guī)律填空。

（1）1， 4， 7， 10， （ ）， 16，…

（2）2，0，-2，-4，-6，（ ），…

對于問題1，由于有生活中的直觀背景，而且還涉及了天文學(xué)的知識，學(xué)生很感興趣，很快找到了規(guī)律，并計算出答案。問題2起點比較低，學(xué)生很容易得到正確答案。

2.過程階段（Process）——思考內(nèi)化，抽象特征

問題3：請歸納出上述3個數(shù)列之間有什么共同特點？

生1：每個數(shù)列的相鄰兩項的差都是固定的。

師：像 1，2，1，2，1，…，這樣也可以么？

生1：不是的，應(yīng)該規(guī)定順序，是相鄰兩項的后項減去前項，或者前項減去后項的差是定值。

師：好，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。那么同學(xué)們能給等差數(shù)列下個準(zhǔn)確的定義么？

即使同學(xué)沒有給出標(biāo)準(zhǔn)答案，也不要急著否定，因為這不正是思維不斷完善的真實過程么？

3.對象階段（Object）——賦予定義，具體符號

問題4：等差數(shù)列的定義是什么？

生2：如果一個數(shù)列的每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列。

師：那么第一項的前一項是…？

生2：（補(bǔ)充）應(yīng)該加上“從第二項起”。

生3：那就直接改成“如果一個數(shù)列的每一項與它后一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列”不就行了。

生4：那有窮數(shù)列的最后一項又沒有后一項。

（討論后，大家達(dá)成共識，翻看書本得到印證）

師：請大家再用數(shù)學(xué)語言描述等差數(shù)列的定義。

4.圖式階段（Schema）——剖析定義

板塊二：建構(gòu)主義指導(dǎo)下的方法教學(xué)設(shè)計

皮亞杰（J.Piaget）關(guān)于建構(gòu)主義的基本觀點是：個體與環(huán)境的相互作用涉及兩個基本過程：“同化”與“順應(yīng)”。他認(rèn)為同化是指個體把外界刺激所提供的信息整合到自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過程；順應(yīng)是指個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變的過程。認(rèn)知個體通過同化與順應(yīng)這兩種形式來達(dá)到與周圍環(huán)境的平衡。

問題6：設(shè){an}是一個首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能推導(dǎo)出該數(shù)列的第n項an關(guān)于項數(shù)n的表達(dá)式嗎？（同學(xué)以小組為單位進(jìn)行探究，教師巡視并實物投影展示成果）

解法一：∵a1=a1+0·d，a2=a1+1·d，a3=a1+2·d，…，∴an=a1+（n-1）d。

解法二：∵a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2），把這（n-1）個式子相加，得到an-a1=（n-1）d（n≥2），即an=a1+（n-1）d（n≥2）。驗證n=1時也符合上式。

大部分學(xué)生采用解法一，采用解法二的學(xué)生只有少數(shù)。顯然，對于歸納法，在同學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中作為基本數(shù)學(xué)體驗是存在的，因此很自然地運(yùn)用，是一個“同化”的過程。但是應(yīng)當(dāng)及時指出這種方法屬于不完全歸納，還要加以證明來保證結(jié)論的準(zhǔn)確性。對于解法二，是同學(xué)接觸不多的累加法，需通過講解納入知識體系使學(xué)生認(rèn)知發(fā)生改變，是一個“順應(yīng)”的過程。因此，這兩種方法在課堂上呈現(xiàn)的方式和分配的時間就應(yīng)該有所不同。解法二應(yīng)重點講授，這樣才能讓同學(xué)頭腦中的知識從“無”到“有”，從“有”到“全”。當(dāng)然，備課時教師還應(yīng)預(yù)設(shè)其他方法，以適應(yīng)課堂生成。

板塊三：核心素養(yǎng)背景下的思想方法教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》中明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的，適合個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。”林崇德教授曾經(jīng)給出了這樣的指導(dǎo)意見：“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分，同時也存在無聲、無形但可感、可知的內(nèi)隱部分。”落實在課堂教學(xué)上，不僅注重基礎(chǔ)知識與基本方法的傳授，還應(yīng)注重基本數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

問題7：是否等差數(shù)列{an}的通項公式都能表示成an=k·n+b（k，b為常數(shù)）的形式？試從函數(shù)的觀點出發(fā)，形成等差數(shù)列的圖形語言。

生：由等差數(shù)列的通項公式，可以提煉出通項公式an關(guān)于n的一次表達(dá)式為an=dn+（a1-d），所以相當(dāng)于定義域為正整數(shù)集的一次函數(shù)，d＞0時，是向上的排成一條直線的一列點；d＜0時，是向下的排成一條直線的一列點；d=0時，是水平的排成一條直線的一列點。

問題8：在等差數(shù)列的通項公式中，有四個量——a1，n，d，an。知道其中的任意三個量，就可以求出另一個量，即知三求一。請你從方程的觀點出發(fā)，試著出幾道題目，讓同學(xué)來解答。

同學(xué)們躍躍欲試，編出了很多精彩的題目。

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)的四大思想之一，如能合理掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來解題和思考，則如虎添翼。數(shù)學(xué)思想的形成并非一朝一夕、一蹴而就的，需在課堂教學(xué)中不斷加以引導(dǎo)和滲透。

古今中外的教育大師給我們留下了絢麗的文化瑰寶，今天的我們好比是站在巨人的肩膀上從事教學(xué)活動和研究，在學(xué)習(xí)中收獲，在教學(xué)中實踐，在耕耘中快樂。