基于核心素養的一道高考壓軸題的多種解法

劉彥永

(大連市第二十四中學 ,遼寧 大連 116021)

從雙基教學的產生到情感態度價值觀、學生學科核心素養理念的提出、研究和實施,教育教學目標的實施逐步具體、明確、可操作[1].數學核心素養只有在解決問題中才能體現出來,沒有具體的情境,就無法判斷一個人的數學素養的高低.2022年高考全國甲卷理科第21題充分體現了數學的六大核心素養(數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析),對深化課程改革、教材更新、引領數學教學等起到了積極的導向作用.

1 試題呈現

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

2 試題分析

本題已知條件簡明扼要,問題卻又內涵豐富.第(1)問是已知不等式恒成立求參數的范圍,第(2)問本質是函數的極值點偏移問題.既考查學生的數形結合、分類討論、函數方程和等價轉化等數學思想,又考查學生分析問題和解決問題的能力.考查層次分明、區分度較高,能使學生充分展示理性思維的廣度和深度,是一道綜合考查核心素養的絕佳好題[2].

3 試題解答

3.1 第(1)問解析

所以函數的定義域是(0,+∞).

因為ex≥ex和lnx≤x-1,

解得a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

令f′(x)=0,得x=1,當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.

故f(x)≥f(1)=e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

令t=x-lnx且t∈[1,+∞),則有

et+t-a≥0.

記h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),

則h(t)單調遞增.

故有[h(t)]min=h(1)=e+1-a≥0,解得a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

t+lnt-a≥0.

記h(t)=t+lnt-a,t∈[e,+∞),

則h(t)單調遞增.

故有[h(t)]min=h(e)=e+1-a≥0,解得a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

當x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減;

當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增.

故[h(x)]min=h(1)=e+1,解得a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

h(x)=lnx-x+a,

[g(x)]min=g(1)=e,

[h(x)]max=h(1)=-1+a,

故有a≤e+1.

即a的取值范圍是(-∞,e+1].

充分性:當a≤e+1時,

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,e+1].

點評問題(1)的本質是含參不等式恒成立問題,破解策略主要有放縮法(解法1)、最值分析法(解法2)、換元法(解法3,4)、參數變量分離法(解法5)、數形結合法(解法6,7)、必要性探路法(解法8)、分類討論法、基本不等式法、齊次化法、判別式法、構造函數法等.

3.2 第(2)問解析

由題(1)知,f(x)的一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設0

因為f(x2)=f(x1),

故h(x)在(0,1)上單調遞增,且h(1)=0.

因為f(x2)=f(x1),

則結合ex≥ex知

故h(x)在(0,1)上單調遞增,且h(1)=0.

從而x1x2<1.

因為f(x2)=f(x1),

g(x)在(0,1)上單調遞減,且g(1)=0,故g(x)>0.

記h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),則h(t)單調遞增.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等價于g(x)=x-lnx有兩個不同零點x1,x2.

因為g(x)在(1,+∞)上單調遞增,

因為g(x2)=g(x1),

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等價于g(x)=x-lnx有兩個不同零點x1,x2.

要證x1x2<1,

因為g(x1)=g(x2),

故p(x2)

記h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),則h(t)單調遞增.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等價于g(x)=x-lnx有兩個不同零點x1,x2.

構造函數g(x)=x-lnx的逼近函數

則q(x)=p(x)-g(x)

其中x∈(0,+∞),

故q(x)在(0,+∞)上單調遞減.

因為q(1)=0,所以x∈(0,1)時,q(x)>0,x∈(1,+∞)時,q(x)<0,

>q(1)=0,

故ln2x2

即lnx2<-lnx1.

也就是lnx2+lnx1=lnx1x2<0.

所以x1x2<1.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

所以x1x2<1.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2,

即x2-x1=lnx2-lnx1.

故g(n)在(1,+∞)上單調遞減.

因為g(1)=0,

從而x1x2<1.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

即x2-x1=lnx2-lnx1.

則g(n)在(1,+∞)上單調遞減.

因為f(x)有兩個零點x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零點t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2,

即x2-x1=lnx2-lnx1.

則g(n)在(0,+∞)上單調遞增.

點評問題(2)的本質是極值點偏移問題,破解策略主要有構造函數法(解法1-6)、對數平均不等式法(解法7)、換元法(解法8-10).構造函數的技巧和方法非常多,基于不同的角度就可以構建不同的函數,限于篇幅,本文不再贅述.換元常用的策略是差值換元和比值換元,這都需要通過實戰解題不斷演練變熟練.

上述兩個問題的解答都充分體現了數學核心素養對解題的思路引領.各個解法建立了對應的數學模型,通過逐步深入的邏輯推理和數據分析、數學運算簡化問題,最后使問題得以順利解決.

4 結束語

發展學生的數學核心素養,有利于學生學會用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界.“一題多解”正是提高數學核心素養的有效策略.在實際教學過程中,我們應抓住具有多解的好題,讓學生去感受、體驗、思考、總結和反思,進而體會到靈活應用所學知識、思想和方法創造性地解決問題的美妙感覺,培養學習的興趣和提高數學核心素養.