物體脫離軌道瞬間的速度分析

蔡 飛

(江蘇省常熟市倫華高級(jí)中學(xué),江蘇 常熟 215500)

高中物理對(duì)于動(dòng)力學(xué)中關(guān)于力和運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系的研究,通常會(huì)在有預(yù)設(shè)軌道中來(lái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分析和討論.而且預(yù)設(shè)軌道中,往往會(huì)涉及固定軌道和動(dòng)態(tài)軌道兩種情況.對(duì)于不同的模型,討論的方向會(huì)有所不同.本文重點(diǎn)研究物體在不同條件下脫離軌道瞬間的速度問(wèn)題.

1 有約束作用下的固定軌道脫離分析

有約束作用下的固定軌道,即物體的運(yùn)動(dòng)軌跡只能沿軌道,通常研究的為小環(huán)套嵌于軌道上或小球在有內(nèi)外軌的軌道中的運(yùn)動(dòng)模型.下面將對(duì)小環(huán)在軌道上的運(yùn)動(dòng)脫離速度問(wèn)題進(jìn)行分析.

圖1 例1題圖

1.1 模型分析法

如圖2,bc段為以b為頂點(diǎn)的拋物線,顯然bc段軌道對(duì)應(yīng)某一平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡.下面先求出bc段軌道對(duì)應(yīng)的平拋運(yùn)動(dòng).設(shè)初速度為v0,c點(diǎn)速度方向與水平方向夾角為θ.由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得:

至此,此拋物線對(duì)應(yīng)的平拋運(yùn)動(dòng)原型已確定.接下來(lái)對(duì)給定條件結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)原型進(jìn)行分析.

當(dāng)R=0.5 m時(shí),小環(huán)從a到c,由機(jī)械能守恒可得:

∵小環(huán)從c點(diǎn)飛出時(shí)速度方向沿曲線在c點(diǎn)的切線方向

1.2 軌跡分析法

對(duì)于軌道為拋物線的物理模型,可以從運(yùn)動(dòng)原型入手,通過(guò)運(yùn)動(dòng)原型的分析,確定軌道上任意一點(diǎn)的速度方向,從而求解速度水平分量和豎直分量.此外,拋物線也是比較典型的幾何模型,所以處理拋物線軌道的問(wèn)題時(shí),也可以利用數(shù)學(xué)方法去解決.因?yàn)槲矬w在固定軌道上運(yùn)動(dòng),任意一點(diǎn)的速度方向?yàn)榍芯€方向,所以可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法求解拋物線在任意一點(diǎn)的斜率,從而確定切線方向[2].

圖3 軌跡分析法示意圖

如圖3所示,以b為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)閤軸,豎直方向?yàn)閥軸建立

直角坐標(biāo)系.易得bc的拋物線解析式為:

y=-x2∴y′=-2x

物體從a到c,由機(jī)械能守恒可得(R=0.5m):

∵小環(huán)從c點(diǎn)飛出時(shí)速度方向沿曲線在c點(diǎn)的切線方向

顯然特定曲線的軌道原型的問(wèn)題中,利用軌跡分析也能較好地解決.

點(diǎn)評(píng)本例中討論的軌道為拋物線軌道,由于拋物線都有對(duì)應(yīng)的拋體運(yùn)動(dòng),所以在分析問(wèn)題中可以從拋物線對(duì)應(yīng)的拋體運(yùn)動(dòng)原型入手,通過(guò)對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的特征來(lái)確定拋物線的軌跡特點(diǎn),對(duì)于拋物線而言此法比較實(shí)用.但其他軌道難以匹配合適的運(yùn)動(dòng),也可以從軌跡的幾何性質(zhì)入手,通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)軌道的切線和法線進(jìn)行分析,從而確定運(yùn)動(dòng)的性質(zhì).

2 無(wú)約束作用下的固定軌道脫離分析

無(wú)約束作用下的固定軌道的運(yùn)動(dòng),即物體在軌道內(nèi)側(cè)或外側(cè)發(fā)生運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中因不受約束,當(dāng)不滿足軌道運(yùn)動(dòng)條件時(shí)物體會(huì)脫離軌道.下面以小球在軌道內(nèi)側(cè)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行脫離速度的分析.

例2如圖4所示,半徑為R的半圓型軌道豎直固定在水平地面上.質(zhì)量為m的小球以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)沖上豎直半圓軌道,所有接觸面均光滑,不計(jì)空氣阻力,討論小球脫離軌道的速度.

圖4 例2題圖

分析小球脫離軌道分三種情況:

方向水平向左.脫離后物體做平拋運(yùn)動(dòng).

①

從a點(diǎn)到脫離軌道有機(jī)械能守恒定律可得:

②

圖5 第三種情況示意圖

小結(jié)物體在有、無(wú)約束條件下的固定軌道運(yùn)動(dòng)脫離時(shí),物體的速度方向始終沿切線方向,分析脫離速度的過(guò)程中可以從運(yùn)動(dòng)原型入手,也可以借助數(shù)學(xué)方法尋找切線,同時(shí)還可以結(jié)合受力的特點(diǎn)研究物體的速度.對(duì)于固定軌道而言,物體脫離速度沿切線方向.那么是不是意味著所有的軌道運(yùn)動(dòng)的脫離速度都是沿切線方向呢?答案顯然是否定的.物體脫離動(dòng)態(tài)軌道的運(yùn)動(dòng)中,脫離速度的方向一般不沿切線方向,而是相對(duì)速度的方向沿切線方向.接下來(lái)重點(diǎn)探究物體脫離動(dòng)態(tài)軌道的速度問(wèn)題.

3 運(yùn)動(dòng)軌道脫離分析

3.1 物體與軌道發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的脫離速度研究

圖6 例3題圖

例3如圖6所示,質(zhì)量為m的凹槽置于水平面上,凹槽弧形是半徑為R的圓軌道的一部分,圖中θ=60°.一質(zhì)量為m的小球在A點(diǎn)正上方高度為R處由靜止釋放,所有接觸面均光滑,不計(jì)空氣阻力,求小球飛離凹槽瞬間的水平速度和豎直速度.

點(diǎn)評(píng)在動(dòng)態(tài)軌道上運(yùn)動(dòng)的物體,由于軌道速度不為零,物體的脫離速度方向不沿切線方向,而是相對(duì)軌道的速度沿切線方向.動(dòng)態(tài)軌道問(wèn)題往往會(huì)與動(dòng)量守恒的問(wèn)題相結(jié)合,軌道速度為水平方向.所以處理此類問(wèn)題時(shí),一般會(huì)設(shè)定物體的速度的水平分量和豎直分量,通過(guò)相對(duì)速度與豎直速度的合速度沿軌道切線方向來(lái)解決問(wèn)題.

3.2 物體與軌道發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的脫離速度應(yīng)用

圖7 變式1圖

變式1如圖7所示,質(zhì)量為m的小球從凹槽上方h的高度自由釋放,凹槽的質(zhì)量也為m.求小球飛離凹槽瞬間的速度.所有接觸面均光滑,不計(jì)空氣阻力.

變式2如圖8所示,光滑的水平面上固定平行導(dǎo)軌PQ、MN,兩導(dǎo)軌之間的距離為2R.一質(zhì)量為m光滑凹槽置于平行導(dǎo)軌之間,凹槽弧形部分為半圓形,且半徑為R.現(xiàn)一質(zhì)量為m小球以v0向左運(yùn)動(dòng),所有接觸面均光滑,不計(jì)空氣阻力,求小球運(yùn)動(dòng)到凹槽b點(diǎn)時(shí)的速度.

圖8 變式2圖

變式3如圖9,曲邊形abcd由兩段半徑為R,圓心角為60°的扇形和線段bc構(gòu)成,其質(zhì)量為m,一質(zhì)量也為m小球以v0=3 m/s的速度向右運(yùn)動(dòng),沖上曲面體abcd,試分析小球從b點(diǎn)飛離后能否落在bc段.若能,求出落點(diǎn)到b的距離,若不能,分析原因.已知R=0.1 m,xbc=0.4 m.所有接觸面均光滑,不計(jì)空氣阻力.

圖9 變式3圖

4 結(jié)束語(yǔ)

物體在有、無(wú)約束的固定軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),脫離瞬間的速度沿切線方向.在運(yùn)動(dòng)軌道上的脫離速度則是相對(duì)速度的方向?yàn)榍芯€方向,所以在研究脫離速度的問(wèn)題時(shí),首先要確定的是軌道是否固定.

不論是固定軌道還是動(dòng)態(tài)軌道,物體脫離速度相對(duì)于軌道都是沿切線方向,在這點(diǎn)上,不同類型的軌道運(yùn)動(dòng)脫離速度都是統(tǒng)一的.