一道習題的解法探究與反思

謝忠德

(廣東省江門市江海區外海中學,廣東 江門 529080)

近期,筆者在“直線的方程”這一章節的教學中給學生布置了一道課后習題,當時認為它可能有不少解法,覺得會趣味無窮.于是經過筆者對該題的認真思考和深入研究后,確實得出了多種解法,不足之處,敬請指正.

1 題目呈現

題目已知點P(x,y)在直線2x+y-1=0上,求x2+y2的最小值.

2 解法探究

2.1 利用一元二次函數的性質

解法1 將y=1-2x代入x2+y2,得

x2+y2=x2+(1-2x)2

=5x2-4x+1

2.2 利用一元二次方程根的判別式

解法2 設x2+y2=a,則將y=1-2x代入,得

a=x2+(1-2x)2.

即5x2-4x+(1-a)=0.

2.3 從導數入手

解法3 將y=1-2x代入x2+y2,得

x2+y2=x2+(1-2x)2

=5x2-4x+1.

設f(x)=5x2-4x+1,求導,得

f′(x)=10x-4.

2.4 利用點到直線的距離

圖1 解法4示意圖

2.5 利用三角換元法

2.6 利用柯西不等式

解法6因為(22+12)(x2+y2)≥(2x+y)2=1,

2.7 構造等差數列

代入x2+y2,得

2.8 利用不等式

點評利用不等式求最值確實是比較常見的方法,但這里用到的不等式很多人沒見過,說明我們的學生在努力學習課本知識以外,需要更多地了解相關知識的延展,因為有很多的知識是需要我們自己去發現和探索的.

2.9 利用平面向量

解法9 設a=(x,y) ,b=(2,1),則由|a||b|≥|a·b|,得

因為2x+y-1=0,

2.10 利用不等式d≤r

點評利用圓的知識解題不太容易想到,要構造一個圓,利用直線2x+y-1=0與圓x2+y2=m2(m>0)兩者之間的聯系,才能得到圓心到直線的距離不能超過半徑.

2.11 利用極坐標

解法11 顯然x≠0,y≠0,不妨設x2+y2=m2(m>0),把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2=m2(m>0),得ρ2=m2,即ρ=m.

因為-1≤sin(θ+φ)≤1,

點評其實極坐標法跟解法5的三角換元法非常相似,兩者有異曲同工之妙.

2.12 利用方差的性質[1]

則構造離散型隨機變量X的分布列(見表1):

表1 離散型隨機變量X的分布列

3 結束語

對于這道題的解答,我們從多個角度進行分析,并運用了多種方法.事實上,學生已經有多年的數學學習經歷,都打下了較扎實的基礎,然而因為某種緣故,在某些方面一直沒有得到很好的鍛煉,比如觀察、聯想、遷移、轉化.缺乏觀察、聯想、遷移、轉化意識的學生到了高中很難再輕松地學習數學了,總覺得心有余而力不足.我們知道,在課堂上對例題進行分析、講解是教師教授學生解題的依據,也是學生舉一反三的范本,它不僅幫助學生強化和鞏固記憶,掌握基礎知識,理解基本概念,而且在培養和發展學生思維能力方面也有著重要的作用,同時對形成學生的觀察、聯想、遷移、轉化能力也有很大的促進作用,有助于提高他們的數學解題能力,激發他們對數學的熱愛和探索數學的興趣.