掌握概率模型 準(zhǔn)確求解概率

樂和順

(湖北省隨州市曾都區(qū)第一中學(xué),湖北 隨州 441300)

高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊(cè)第七章《隨機(jī)變量及其分布列》中新增了概率的乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式等內(nèi)容,在章末復(fù)習(xí)題中還增加了概率與數(shù)列相結(jié)合的問題.與之前的教材相比,概率模型的種類增多了、難度相應(yīng)也提升了.學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí),不容易構(gòu)建恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?導(dǎo)致對(duì)概率的求解出錯(cuò).為讓學(xué)生能夠掌握好這部分知識(shí),結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)出現(xiàn)的問題,筆者在章節(jié)復(fù)習(xí)的教學(xué)中嘗試從以下幾個(gè)方面著手彌補(bǔ),對(duì)學(xué)生掌握這部分內(nèi)容起到較大幫助.

1 熟練掌握各種概率模型的使用場(chǎng)景

1.1 概率模型

①條件概率;②概率的乘法公式;③全概率公式;④貝葉斯公式;⑤二項(xiàng)分布;⑥超幾何分布;⑦正態(tài)分布.

1.2 各種概率模型的實(shí)質(zhì)及其適用的范圍

①若事件A被幾個(gè)兩兩互斥的事件(這幾個(gè)事件的概率和必須等于1)所分割,需要求解事件A的概率就應(yīng)用全概率公式,依據(jù)概率的乘法公式、加法公式求出事件A的概率[1];

③求兩個(gè)事件的積的概率就可以用概率的乘法公式;

④通過實(shí)例(放回抽樣、不放回抽樣)引導(dǎo)學(xué)生分辨清楚二項(xiàng)分布與超幾何分布的本質(zhì)區(qū)別,避免學(xué)生錯(cuò)用概率模型導(dǎo)致求解概率出錯(cuò).

例1 長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約40%的人近視,而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1 h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1 h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,求他近視的概率.

又由全概率公式

2 培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

有些概率題的題目較長(zhǎng),學(xué)生不能靜下心來認(rèn)真讀題,對(duì)題目條件理解不準(zhǔn)確導(dǎo)致求解出錯(cuò);還有部分學(xué)生對(duì)題目的要求讀不懂,理解不透,從而弄錯(cuò)概率模型.教師在平常的課堂教學(xué)中,要有意識(shí)地通過典例指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題,抓住題干中的有效信息進(jìn)行分析整合,構(gòu)建合理的概率模型,準(zhǔn)確求解事件的概率,不斷提高學(xué)生收集信息、分析數(shù)據(jù)以及解決問題的能力.

例2 隨機(jī)變量a服從正態(tài)分布N(1,σ2),且P(00,a≠1,則函數(shù)y=ax+1-a的圖象不經(jīng)過第二象限的概率為( ).

A.0.375 0 B.0.300 0 C.0.250 0 D.0.200 0

分析很多學(xué)生對(duì)題干“已知a>0,a≠1,則函數(shù)y=ax+1-a的圖象不經(jīng)過第二象限的概率”沒有真正領(lǐng)悟,不能理解“已知a>0,a≠1”的真正含義,忽略條件“已知a>0,a≠1”,直接依據(jù)“函數(shù)y=ax+1-a的圖象不經(jīng)過第二象限”求解,錯(cuò)選答案D.本題實(shí)際上應(yīng)是一個(gè)條件概率:在條件“a>0,a≠1” 發(fā)生下求函數(shù)y=ax+1-a的圖象不經(jīng)過第二象限的概率.

解析記事件A:a>0,a≠1,事件B:函數(shù)y=ax+1-a的圖象不經(jīng)過第二象限.

因隨機(jī)變量a服從正態(tài)分布N(1,σ2),且P(0

所以P(B)=0.5-P(1

故選C.

例3 第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月在北京和張家口舉辦,為了普及冬奧知識(shí),某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽,從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本,得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下:

分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)1228331

我們規(guī)定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良好;80分及以上為優(yōu)秀.

(1)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少?

(2)將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,以X表示這2人中優(yōu)秀人數(shù),求X的分布列與期望.

分析本題第(2)問,很多學(xué)生會(huì)按超幾何模型求解隨機(jī)變量X的概率,其原因是對(duì)題目的條件“將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人”沒能理解清楚,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取X人其成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率應(yīng)通過“樣本中的頻率估計(jì)總體的概率”得到,此實(shí)驗(yàn)即為n重伯努利試驗(yàn),即隨機(jī)變量X應(yīng)服從二項(xiàng)分布.

X 0 1 2 P 1625825125

3 指導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)事件及其關(guān)系

學(xué)生對(duì)概率題感到困難的一大原因是沒有弄清楚題干中的復(fù)雜事件的構(gòu)成,不能合理地表示基本事件及其關(guān)系,從而無法確定采用哪個(gè)概率模型求解.教師在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生抓住情景設(shè)置中的問題,從問題入手,認(rèn)真分析要求的概率對(duì)應(yīng)的事件與題干中其他事件的關(guān)系,可以把要求的概率對(duì)應(yīng)的事件設(shè)為基本事件,合理表示出與其他事件的關(guān)系.

例4 某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍,共裝有10個(gè)紙箱,其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書.到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱,但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱,結(jié)果都是英語書,則丟失的一箱也是英語書的概率為____.

分析因題中需求“丟失的一箱也是英語書”的概率,可把“丟失的一箱是英語書”記為基本事件B1,那么“丟失的一箱為數(shù)學(xué)書”就可記為B2,“丟失的一箱為語文書”可記為B3,又已知“從剩下9箱中任意打開兩箱都是英語書”,可把此事件作為另一基本事件,記為A,則事件A被三個(gè)互斥事件B1,B2,B3所分割,事件A概率的求解就要用全概率公式,本題的難點(diǎn)得到突破[2].

解析用A表示“丟失一箱后任取兩箱是英語書”,用B1表示“丟失的一箱為英語書”,用B2表示“丟失的一箱為數(shù)學(xué)書”,用B3表示“丟失的一箱為語文書”.因事件A被三個(gè)互斥事件B1,B2,B3所分割,則由全概率公式得

由貝葉斯公式得

4 結(jié)束語

概率是高中數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)之一,教師要依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)好這部分的教學(xué)內(nèi)容,指導(dǎo)學(xué)生立足課本基礎(chǔ)知識(shí),幫助學(xué)生真正理解各類概率模型,力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通.同時(shí),概率知識(shí)多以生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題為背景,信息量大,有助于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、邏輯推理能力以及數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力.教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí),可以通過具體的問題情境,啟發(fā)學(xué)生積極思考,提高自身的閱讀能力,善于從題干中獲取有效信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析整合,理解蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì),構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)概率模型,準(zhǔn)確求解概率.作為教師,還要善于結(jié)合學(xué)生出現(xiàn)的問題,認(rèn)真分析錯(cuò)因,尋求解決對(duì)策,幫助學(xué)生逐步提高分析問題與解決問題的能力,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).