2023年全國數學聯賽(貴州賽區)預賽試題及其解析

李鴻昌

(北京師范大學貴陽附屬中學,貴州 貴陽 550081)

2023年全國數學聯賽(貴州賽區)預賽試題于2023年6月17日已落下帷幕,第1題至第9題,稍微比全國聯賽一試試題簡單一點,第10題和第11題屬于全國聯賽二試內容,但難度稍小.試題原創度極高,且有很好的區分度,具有極好的選拔功能.

一、填空題：本大題共8小題,每小題8分,滿分64分.

1.設集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x2+y2=2},C=A∩B,則集合C的子集的個數是____.

3.已知a,b是單位向量,|3a+4b|=|4a-3b|,若|c|=2,則|a+b-c|的最大值是____.

7.已知函數f(x)=x3-2x2-3x+4,若f(a)=f(b)=f(c),其中a

8.已知5名同學分別擅長的學科為語文、數學、物理、化學、歷史.現有5份試卷(語文、數學、物理、化學、歷史各一份),老師隨機分發給每名同學一份試卷,則至少有4名同學得到的試卷與自己擅長的學科不符的概率是____.

二、解答題：本大題共3小題,滿分56分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.(本題滿分16分)設{an}是正項等差數列,公差為d(d>0),前n項和為Sn,m,n,p,q均為正整數.若n

(1)aman

(2)Sm+Sn>Sp+Sq.

10.(本題滿分20分)如圖1,設P是四邊形ABCD內一點,滿足∠BPC=2∠BAC,∠PCA=∠PAD,∠PDA=∠PAC.

求證:∠PBD=|∠BCA-∠PCA|.

圖1 四邊形

11.(本題滿分20分)定義:若一個數列中的每一項都是完全平方數,則稱這種數列為完方數列.已知數列{xn}滿足x0=0,x1=3,xn+1+xn-1=4xn,證明:{xn-1·xn+1+9}是一個完方數列.

參考

1.易知集合C有2個元素,故C的子集有22=4個.

3.因為|a|=|b|=1,|3a+4b|=|4a-3b|,兩邊平方得a·b=0,即a⊥b.

不妨設a=(1,0),b=(0,1),D(1,1),則

4.由于三條側棱兩兩垂直,易知

由面積射影定理得

從而sin2α+sin2β+sin2γ=2.

5.由中線長公式,知

由基本不等式,可得

即2 023b-2 023a-ab=0.

從而(2 023-a)(2 023+b)=2 0232.

又2 023-a<2 023+b,且2 023=7×17×17,

所以2 0232=12×2 0232=72×172×172.

因此2 023-a=12,7,17,72,7×17,172,72×17;2 023+b=2 0232,7×174,72×173,174,7×173,72×172,173.

故所有正整數對(a,b)的個數為7.

7.設f(a)=f(b)=f(c)=m,g(x)=f(x)-m,則a,b,c是函數g(x)的三個零點,即a,b,c是方程x3-2x2-3x+4-m=0的三個根.

由根與系數的關系知,

a+b+c=2,ab+bc+ca=-3.

故a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=22-2×(-3)=10.

9.(1)先證mn

因為n

所以mn-pq=mn-p(m+n-p)=mn-pm-pn+p2=(m-p)(n-p)<0.

即mn

因為m+n=p+q,mn

(2)先證mam+nan>pap+qaq.

mam+nan-pap-qaq=m[a1+(m-1)d]+n[a1+(n-1)d]-p[a1+(p-1)d]-q[a1+(q-1)d]=(m+n-p-q)a1+[m(m-1)+n(n-1)-p(p-1)-q(q-1)]d=(m2-m+n2-n-p2+p-q2+q)d=[(m2-p2)-(m-p)-(q2-n2)+(q-n)]d=[(m-p)(m+p-1)-(q-n)(q+n-1)]d=λ(m+n+p+q-2)d.

其中λ=m-p=q-n>0,又d>0,且m+n+p+q-2>0,故mam+nan>pap+qaq.

圖2 四邊形

10.如圖2所示,設AB的中垂線與AC交于點E,由∠BEC=2∠BAC=∠BPC知B,E,P,C共圓.

如圖3所示,設直線EP與△APD外接圓的另一個交點為F.由∠PAC=∠PDA知,AC與△APD的外接圓相切,所以EB2=EA2=EP·EF.

于是∠EFB=∠EBP=∠ECP=∠PAD=∠PFD,故B,D,F三點共線.這樣,∠PCA=∠PBE=∠PFB=∠BPE-∠PBD=∠BCA-∠PBD,即∠PBD=∠BCA-∠PCA.

綜上,命題得證.

11.由xn+1+xn-1=4xn以及x0=0,x1=3可求得

又因為xn+1=4xn-xn-1且x0=0,x1=3都為整數,所以可知xn必為整數,所以可知{xn-1·xn+1+9}是一個完方數列.