2023年新高考Ⅰ卷第22題的解法探究

馬曉娟

(銀川市第二中學,寧夏 銀川 750001)

2023年數學新高考Ⅰ卷的第 22題比較新穎.試題以解析幾何中的拋物線為背景, 考查不等式、函數最值等內容,是一道綜合性較強的題目,有助于選拔創新型人才.

1 真題再現

(1)求W的方程;

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

解法1 不妨設A,B,C三點在W上,且AB⊥BC.

(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.

顯然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.此時,|b+a|·|c+b|=1.

于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.

不影響問題的證明,可以將拋物線W看作y=x2,設A(a,a2)(a≥0),平移坐標系使A為坐標原點,則新拋物線方程為y′=x′2+2ax′,極坐標方程為

ρsinθ=ρ2cos2θ+2aρcosθ.

根據均值不等式,有

圖1 解法3示意圖

如圖1,不妨設A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2)依逆時針方向排列.顯然直線AB,BC均不能垂直于x軸,斜率均存在,記為p,q, 則pq=-1.由對稱性不妨設|q|≤1.從而0

設邊長|BA|=u>0,|BC|=v>0,

2b=(b+a)-(a-b)=tanθ-ucosθ.

同理可得2b=tan(θ+90°)-vcos(θ+90°)=-cotθ+vsinθ.

兩式相減,得

即F=(cos2θsinθ)×u+(sin2θcosθ)×v=1.

評析在拋物線上,任意兩點構成的向量可以唯一確定這兩個點的位置,矩形有三個頂點在拋物線上,即有兩條邊對應的向量卡在拋物線上,我們考慮這兩條邊BA,BC的長度與方向.由于射線BA繞點B逆時針旋轉90°后恰好到射線BC的位置,因此兩邊的方向恰好差90°.我們的思路是考慮一個給定邊長的矩形,能否找到合適的角度,使三個頂點在拋物線上.

3 結束語

本題有一定難度和較好的區分度, 需要考生有較強的綜合分析能力.試題將一個邊長可變的矩形搭在拋物線上, 允許它在拋物線上滑動,需要考慮滑動過程中讓矩形周長最小化的問題.試題需要一定的動態思維能力,要大致想象滑動過程中矩形各個元素的變化情況, 并找到變化中的不變量.

在試題的思考解答過程中,考生需要不斷地將問題進行等價轉化,或者把問題化歸為已經解決的情形.試題極具創新性, 注重考查思維過程, 突出對考生數學素養的考查, 并且計算量合理, 有利于選拔創新型人才.