有關奇虧完全數的一些刻畫

張四保

(1. 喀什大學 數學與統計學院, 新疆 喀什 844000; 2. 喀什大學 現代數學及其應用研究中心, 新疆 喀什 844000)

對于正整數n,令函數σ(n)表示n的所有正因數的和函數.在數論中,存在與函數σ(n)相關的眾多問題.若一個正整數n滿足σ(n)=2n,則n被稱之為完全數.到目前為止僅發現51個偶完全數,而尚未發現奇完全數.奇完全數的存在性是數論中長期未能解決的著名難題[1].有關奇完全數的最新研究可見文獻[2-4].若一個正整數n滿足σ(n)=2n+d,則n被稱之為盈度為d的盈完全數;若一個正整數n滿足σ(n)=2n-d,則n被稱之為虧度為d的虧完全數,這里的d都是正整數n的真因數.盈度為d的盈完全數與虧度為d的虧完全數備受數論愛好者的關注,與此相關有很多未解決的問題[5].

對于盈完全數的研究可見文獻[6-7].同樣,對于奇虧完全數存在性問題有著不少的研究,獲得了很豐富的研究成果.Tang等[8]討論了素因數個數不超過2個的虧完全數的存在性問題,刻畫了其結構;馮敏[5]與Tang等[9]討論了具有3個互異素因數的奇虧完全數的存在性問題,證明了不存在具有3個互異素因數的奇虧完全數;張四保等[10]、Cui等[11]及馬小艷等[12]討論具有4個互異素因數的奇虧完全數的存在性問題,各自給出了具有4個互異素因數的奇虧完全數的某些刻畫;張四保[13]討論具有5個互異素因數的奇虧完全數的存在性問題,給出了具有5個互異素因數的奇虧完全數的某些刻畫.本文在相關文獻的研究基礎上,繼續討論具有5個互異素因數的奇虧完全數的存在性問題,給出具有5個互異素因數的奇虧完全數的一些刻畫.

1 幾個基本引理

得出矛盾.

2 結論及其證明

證明此時,若q4≥53,則有

得出矛盾.因而q5∈{53,59,61}.

得出矛盾.

(1)

令

由式(1)可得

F1(α1,α2,α3,α4,α5)=G1(α1,α2,α3,α4,α5)

(2)

當α1≥6,q5=53時,有

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

當α1≥6,q5=59時,有

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

當α1≥6,q5=61時,有

F1(α1,α2,α3,α4,α5)=

G1(α1,α2,α3,α4,α5)=

0.999 342…

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

定理1證畢.

1) 當q4=43時,若q5∈{47,53,59,61,67,71,73},則n不是奇虧完全數;

2) 當q4=47,則n不是奇虧完全數.

證明此時,若q4≥53,則有

得出矛盾.因而q4∈{43,47}.

得出矛盾.因而q5∈{47,53,59,61,67,71,73,79}.

得出矛盾.

(3)

令

由式(3)可得

F2(α1,α2,α3,α4,α5)=G2(α1,α2,α3,α4,α5)

(4)

當α1≥6,q5=47時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=53時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=59時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=61時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=67時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=71時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

當α1≥6,q5=73時,有

因而有F2(α1,α2,α3,α4,α5)>G2(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(4)不符.

得出矛盾.因而q5∈{53,59,61,67}.

得出矛盾.

(5)

令

由式(5)可得

F3(α1,α2,α3,α4,α5)=G3(α1,α2,α3,α4,α5)

(6)

當α1≥6,q5=53時,有

因而有F3(α1,α2,α3,α4,α5)>G3(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(6)不符.

當α1≥6,q5=59時,有

因而有F3(α1,α2,α3,α4,α5)>G3(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(6)不符.

當α1≥6,q5=61時,有

因而有F3(α1,α2,α3,α4,α5)>G3(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(6)不符.

當α1=6,q5=67時,有

σ(3α1)=1 093|σ(3α123α241α347α467α5)

由式(5)可得1 093|5×3α1-123α241α347α467α5,這是矛盾的式子.

當α1=8,q5=67時,有

σ(3α1)=9 841=13×757|σ(3α123α241α347α467α5)

由式(5)可得13×757|5×3α1-123α241α347α467α5,這是矛盾的式子.

當α1≥10,q5=67時,

F3(α1,α2,α3,α4,α5)=

G3(α1,α2,α3,α4,α5)=

0.999 672…

因而有F3(α1,α2,α3,α4,α5)>G3(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(6)不符.

定理2證畢.

1) 當q4=41時,若q5∈{43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109},則n不是奇虧完全數;

2) 當q4∈{43,47,53,59}時,n不是奇虧完全數.

證明此時,若q4≥61,則有

得出矛盾.因而q4∈{41,43,47,53,59}.

得出矛盾.因而q5∈{43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113}.

得出矛盾.

(7)

令

由式(7)可得

F4(α1,α2,α3,α4,α5)=G4(α1,α2,α3,α4,α5)

(8)

當α1≥6,q5∈{43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103}時,經計算有F4(α1,α2,α3,α4,α5)>G4(α1,α2,α3,α4,α5)這與式(8)不符.

當α1=6,q5=107時,有

σ(3α1)=1 093|σ(3α123α237α341α4107α5)

由式(7)可得1 093|5×3α1-123α237α341α4107α5,這是矛盾的式子.

當α1=8,q5=107時,有

σ(3α1)=9 841=13×757|σ(3α123α237α341α4107α5)

由式(7)可得13×757|5×3α1-123α237α341α4107α5,這是矛盾的式子.

當α1≥10,q5=107時,有

因而有F4(α1,α2,α3,α4,α5)>G4(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(8)不符.

當α1=6,q5=109時,有

σ(3α1)=1 093|σ(3α123α237α341α4109α5)

由式(7)可得1 093|5×3α1-123α237α341α4109α5,這是矛盾的式子.

當α1=8,q5=109時,有

σ(3α1)=9 841=13×757|σ(3α123α237α341α4109α5)

由式(7)可得13×757|5×3α1-123α237α341α4109α5,這是矛盾的式子.

當α1≥10,q5=109時,有

因而有F4(α1,α2,α3,α4,α5)>G4(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(8)不符.

得出矛盾.因而q5∈{47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}.

得出矛盾.

(9)

令

由式(9)可得

F5(α1,α2,α3,α4,α5)=G5(α1,α2,α3,α4,α5)

(10)

當α1≥6,q5∈{47,53,59,61,67,71,73,79,83,89}時,經計算有

F5(α1,α2,α3,α4,α5)>G5(α1,α2,α3,α4,α5)

這與式(10)不符.

當α1=6,q5=97時,有

σ(3α1)=1 093|σ(3α123α237α343α497α5)

由式(9)可得1 093|5×3α1-123α237α343α497α5,這是矛盾的式子.

當α1=8,q5=97時,有

σ(3α1)=9 841=13×757|σ(3α123α237α343α497α5)

由式(9)可得13×757|5×3α1-123α237α343α497α5,這是矛盾的式子.

當α1≥10,q5=97時,有

因而有F5(α1,α2,α3,α4,α5)>G5(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(10)不符.

得出矛盾.因而q5∈{53,59,61,67,71,73,79,83}.

得出矛盾.

(11)

令

由式(11)可得

F6(α1,α2,α3,α4,α5)=G6(α1,α2,α3,α4,α5)

(12)

當α1≥6,q5∈{53,59,61,67,71,73,79}時,經計算有F6(α1,α2,α3,α4,α5)>G6(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(12)不符.

當α1=6,q5=83時,有

σ(3α1)=1093|σ(3α123α237α347α483α5)

由式(11)可得1 093|5×3α1-123α237α347α483α5,這是矛盾的式子.

當α1=8,q5=83時,有

σ(3α1)=9 841=13×757|σ(3α123α237α347α483α5)

由式(11)可得13×757|5×3α1-123α237α347α483α5,這是矛盾的式子.

當α1=10,q5=83時,有σ(3α1)=88 573=23×3 851|σ(3α123α237α347α483α5),由式(11)可得23×3 851|5×3α1-123α237α347α483α5,這是矛盾的式子.

當α1≥12,q5=83時,有

因而有F6(α1,α2,α3,α4,α5)>G6(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(12)不符.

得出矛盾.因而q5∈{59,61,67}.

得出矛盾.

(13)

令

由式(13)可得

F7(α1,α2,α3,α4,α5)=G7(α1,α2,α3,α4,α5)

(14)

當α1≥6,q5=59時,有

因而有F7(α1,α2,α3,α4,α5)>G7(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(14)不符.

當α1≥6,q5=61時,有

因而有F7(α1,α2,α3,α4,α5)>G7(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(14)不符.

當α1≥6,q5=67時,有

因而有F7(α1,α2,α3,α4,α5)>G7(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(14)不符.

得出矛盾.因而q5=61.

若d=3α′123α′237α′359α′461α′5≥9,其中0≤αi≤α′i,i=1,2,…,5,則有

得出矛盾.

若d=3α′123α′237α′359α′461α′5=3,則α1-α′1=1,αi=α′i,i=2,3,4,5,則由奇虧完全數的關系式σ(n)=2n-d可得

σ(3α123α237α359α461α5)=5×3α1-123α237α359α461α5

(15)

當α1=2時,σ(32)=13|σ(3223α237α359α461α5),由式(15)可得13|5×3α1-123α237α359α461α5,這是矛盾的式子.

當α1=4時,σ(34)=112|σ(3423α237α359α461α5),由式(15)可得112|5×3α1-123α237α359α461α5,這是矛盾的式子.

當α1=6時,

σ(36)=1 093|σ(3623α237α359α461α5)

由式(15)可得1 093|5×3α1-123α237α359α461α5,這是矛盾的式子.

當α1=8時,

σ(38)=9 841=13×757|σ(3823α237α359α461α5)

由式(15)可得13×757|5×3α1-123α237α359α461α5,這是矛盾的式子.

當α1=10時,

由式(15)可得

23×3 851|5×3α1-123α237α359α461α5

這是矛盾的式子.

令

由式(15)可得

F8(α1,α2,α3,α4,α5)=G8(α1,α2,α3,α4,α5)

(16)

當α1≥12,q5=61時,有

因而有F8(α1,α2,α3,α4,α5)>G8(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(16)不符.

定理3證畢.

3 結語

對于奇虧完全數的研究,截至目前刻畫了具有相異素因數個數不超過2的虧完全數的結構,以及明確了具有3個相異素因數的奇虧完全數的不存在性;同時也給出了具有多于3個相異素因數的奇虧完全數存在性的某些刻畫,而未解決具有多于3個相異素因數的奇虧完全數存在性的問題.本文利用初等的方法,給出了3類具有5個相異素因數的奇正整數不是奇虧完全數的幾個性質刻畫,這將有助于討論具有5個相異素因數的奇虧完全數存在性問題.