四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數最小二乘Toeplitz解

石俊嶺, 李 瑩, 王 濤, 張東惠, 邱 新

(聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252000)

矩陣方程是數值代數領域的重要研究內容之一,而四元數及四元數矩陣在彩色圖像處理、計算機技術、動力學等領域具有重要的應用[1-3],因而四元數矩陣方程也成為矩陣方程中熱門的研究課題.然而四元數乘法的不可交換性使得四元數矩陣方程的研究相比實矩陣方程更為復雜.因此,許多學者提出一些同構關系,將四元數矩陣方程問題轉化為等價的實矩陣方程問題解決,從而極大降低問題求解的復雜程度.例如,丁文旭等[4]提出一種四元數矩陣的實向量表示方法,并給出求解四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數Hermitian解的有效方法.王秀平等[5]基于四元數矩陣實表示,提出求解四元數矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F)的極小范數最小二乘Hermitian解的有效方法.本文將基于四元數矩陣實表示,結合矩陣的H-表示以及矩陣半張量積,提出一種求解四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數最小二乘Toeplitz解的有效方法,并給出數值算法與算例,從而驗證該方法的有效性.具體問題如下:

問題1設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,Ci∈Qm×p(i=1,…,k),記

尋找XS∈S滿足:

XS稱為四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數最小二乘Toeplitz解.

1 預備知識

1843年,愛爾蘭數學家W.R.Hamilton提出了四元數的概念,它是復數的不可交換延伸,是實數域上的四維非交換結合代數.

定義1[6]定義四元數為

a=a1+a2i+a3j+a4k

其中:a1,a2,a3,a4∈R.且i,j,k滿足i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,ki=-ik=j,jk=-kj=i.

定義2[5]對于四元數矩陣A=A1+A2i+A3j+A4k∈Qm×n,稱矩陣AR為四元數矩陣的實表示矩陣

由實表示矩陣的結構可以看出,實表示矩陣與實表示矩陣的第一列塊一一對應,記實表示矩陣第一列塊為

四元數矩陣的(F)范數為

四元數矩陣的實表示具有以下性質:

引理1[5]設A,B∈Qm×n,C∈Qn×p,則有

2) (A+B)R=AR+BR,(kA)R=kAR,(AC)R=ARCR.

本文的重要研究工具之一為矩陣半張量積,矩陣半張量積是現代矩陣理論的重要內容之一,它突破了經典矩陣乘法維數的限制,是經典矩陣乘法的推廣.這種推廣不僅保持了經典矩陣乘法所有的基本性質,并且突破了經典矩陣乘法中一些不可逾越的問題,如經典矩陣乘法無交換性,經典矩陣乘法無法處理高階多線性函數等,具有十分重要的現實意義,現已廣泛應用到眾多領域[7-11].矩陣半張量積的定義如下:

定義3[12]設A∈Qm×n,B∈Qp×q,n與p的最小公倍數為t=lcm(n,p),定義A與B的矩陣半張量積為

A?B=(A?It/n)(B?It/p)

顯然,當n=p時,A與B的半張量積即為A與B的經典矩陣乘積.故矩陣半張量積是經典矩陣乘法的推廣.

定義4[12]設A=(aij)∈Qm×n,定義A的列排式為

Vc(A)=(a11,…,am1,a12,…,am2,…,a1n,…,amn)T

A的行排式為

Vr(A)=(a11,…,a1n,a21,…,a2n,…,am1,…,amn)T

定義5[12]定義mn維換位矩陣

利用換位矩陣,可以實現四元數矩陣A列排式與行排式的轉化.

引理2[12]1) 設A∈Qm×n,則

W[m,n]Vr(A)=Vc(A),W[n,m]Vc(A)=Vr(A)

2) 設A∈Qm×n,則

W[m,p]?A?W[p,n]=Ip?A

利用定義3、定義4、定義5以及引理2進一步研究四元數矩陣行排式及列排式之間的關系.

定理1設A=(aij)∈Qm×n,X=(xij)∈Qn×q,Y∈Qp×m, 則

2)Vc(AX)=(Iq?A)Vc(X),Vr(AX)=A?Vr(X).

證明1) 記A=(α1,α2,…,αn),Y=(y1,y2,…,ym), 則

2) 記xi=(x1i,…,xni)T,(i=1,…,q).由1)的結論可得

令xj=(xj1,…,xjq)T,(j=1,…,n),同理由1)的結論可得

(A?Iq)Vr(X)=A?Vr(X)

引理3[13]設A∈Rm×n,b∈Rm,則不相容線性方程組Ax=b最小二乘解的通式為x=A?b+(In-A?A)y,其中y∈Rn是任意的.

引理4[13]設A∈Rm×n,b∈Rm,則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為AA?b=b.此時,Ax=b的通解為x=A?b+(In-A?A)y,其中y∈Rn是任意的.

2 矩陣的H-表示

為了降低問題求解的復雜程度,首先介紹特殊矩陣的H-表示,針對實數域上Toeplitz矩陣,對其進行元素個數的縮減并給出實數域上Toeplitz矩陣H-表示方法.

對于實數域上的Toeplitz矩陣

可根據其結構特點,利用H-表示提取有效元素,進行元素個數的縮減,從而降低求解問題的復雜程度.

{e0,e1,…,en-1,e-1,…,e-(n-1)}

其中

由標準基底的選定可得實數域上Toeplitz矩陣的H-表示矩陣Hn如下:

3 問題1的代數解

利用實數域上Toeplitz矩陣的H-表示方法、矩陣半張量積、四元數矩陣的實表示矩陣等研究問題1的代數解,從而得到定理2及其推論.

則問題1中的集合可以表示為

四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)極小范數最小二乘Toeplitz解XS滿足:

(1)

證明由四元數矩陣的(F)范數的性質可得

故問題1中的集合S可以表示為

即

其中:y∈R8n-4是任意的,故問題1的集合為

從而四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)極小范數最小二乘Toeplitz解XS滿足:

推論1四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)有Toeplitz解的充要條件為

(MM?-I4kmp)N=O

且方程的Toeplitz解X滿足:

其中:y∈R8n-4是任意的.

極小范數Toeplitz解Xm滿足:

證明四元數矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)存在Toeplitz解等價于

其中:y∈R8n-4是任意的.

故此時四元數矩陣方程的Toeplitz解X滿足:

其中:y∈R8n-4是任意的.

且極小范數Toeplitz解Xm滿足:

4 數值算法及算例

根據式(1)以及推論1的結論給出問題1的數值算法,并給出兩個算例分別從誤差和計算時間兩個方面驗證該方法的有效性.

算法1(問題1的數值算法)

1) 輸入Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,Ci∈Qm×p,輸出U,V,N,G,G′.

2) 輸入Hn,輸出W,M.

3) 根據式(1)輸出問題1的極小范數最小二乘Toeplitz解.

圖1 不同矩陣維數下誤差的數量級 Fig.1 The order of magnitude of error with different matrix dimensions

由圖1知‖X*-X‖(F)<10-11,故由算法1所得到的問題1的解的精確程度是可以保障的.

算例2在MATLAB中隨機生成四元數矩陣A∈Qm×n,B∈Qn×p,C∈Qm×p,(其中取m=n=p=10L,L=1,2,…,7),分別通過算法1、文獻[4]中的實向量表示方法與文獻[5]中實表示方法計算四元數矩陣方程AXB=C極小范數最小二乘Toeplitz解,將三種方法所耗費的計算時間進行對比,由于文獻[4]中的實向量表示方法在求解過程中所需儲存量過大,在計算規模較大的問題時,其計算時間比另外兩種方法長,故只需對另外兩種方法所耗費的計算時間進行對比,見表1所列.

表1 不同矩陣維數下各種方法所需計算時間

由表1可以看出,與文獻[5]中的實表示方法相比,隨著矩陣維數的增大,本文提出的方法所需計算時間優勢越來越大.

綜上所述,算法1不僅結果十分精確而且在計算時間上具有相當大的優勢,故本文針對問題1的求解方法是十分有效的.

5 結論

本文基于四元數矩陣實表示,結合矩陣半張量積與矩陣H-表示,提出了求解四元數線性系統極小范數最小二乘Toeplitz解的有效方法.利用矩陣H-表示,提取有效元素,大大降低了問題求解的復雜度,在問題求解過程中具有十分重要的作用.該問題的求解方法可應用于其他線性系統特殊解的求解問題中,具有十分重要的意義.