水力壓裂過程中射孔沖蝕效應的數值模擬研究

袁傳澳，聶嘉龍，龍恭博，丁后龍，張巍瀚，王萌飛，彭梓毅，王星智

武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

同時多簇壓裂能夠有效、經濟地開發我國儲量巨大的非常規油氣資源，從而緩解我國日益增長的油氣供需矛盾。因此，成為了開發非常規油氣的核心技術之一［1-3］。其工作原理如圖1 所示。圖1 中ps是地面施工壓力；ph是靜液柱壓力；pμ是井筒摩擦壓力損失；pc是裂縫閉合壓力；pr是射孔摩阻；pf是壓裂液瞬時壓力；pdh是井底壓力；Q是流入井內的壓裂液的總體積流量；q1、q2和q3是壓裂液分別通過3 個射孔簇的體積流量，理想情況下，q1=q2=q3。攜帶支撐劑的壓裂液流經射孔簇時，理想情況下，在各簇均勻分布流量，使得水力裂縫在這些射孔簇處同時起裂，并較為均勻地發育，從而形成有效水力裂縫，便于在后續生產階段從各簇較為均勻地產出油氣［3］。

圖1 同時多簇壓裂工作原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of simultaneous multi-fracture limited-entry fracturing treatment

但是，當多條裂縫同時發育時，每條裂縫都會造成自身周圍應力場的變動，并將產生的額外壓應力施加給其余裂縫，這便是應力陰影效應［3-4］。生產測井數據［4-6］表明：應力陰影效應會使約占射孔簇總數20%的少數射孔簇成為優先射孔簇。從該處起裂的裂縫受到的閉合壓力小于在其余大部分射孔簇處起裂的裂縫所受的閉合壓力。因此，大多數壓裂液會經過優先射孔簇流入這一小部分裂縫中，使其優先發育。以致在生產階段，80%左右的油氣總產量來自優先射孔簇，同時有約30%的射孔簇處不會產生任何油氣，達不到“在各射孔簇較均勻地產出油氣”的目標。

應力陰影效應對壓裂結果的消極影響可以通過限流壓裂方法得到有效改善［5-7］。其基本原理是通過減少射孔的數目及直徑，提高圖1 中的射孔摩阻pr，平衡應力陰影效應，使得各條裂縫較均勻地發育［8-10］。所以，本文討論的壓裂方法是同時使用“限流”和“同時多簇”的壓裂方法，即“同時多簇限流”壓裂。

另一方面，在壓裂過程中，大量支撐劑隨著壓裂液高速沖擊射孔邊緣，較大程度改變射孔的幾何尺寸及形狀［4，8，11］。這一物理現象稱為“射孔沖蝕”。該過程如圖2 所示。

圖2 射孔沖蝕示意圖Fig.2 Schematic view of perforation erosion

研究表明，射孔沖蝕會削弱限流壓裂對應力陰影效應的改善作用，使得壓裂達不到“多條裂縫均勻發育”的目的［8-10］。這種對壓裂結果的消極影響也被稱為射孔沖蝕效應。所以，如何選取合適的射孔數目克服應力陰影效應和射孔沖蝕效應，獲得較理想的壓裂結果是非常規油氣研究中值得研究的問題。因此，本文使用前期建立的射孔沖蝕數值模型和全三維水力壓裂軟件FrackOptima，定量研究射孔沖蝕效應下射孔數目對壓裂結果的影響，為實際復雜工況條件下的同時多簇限流壓裂優化設計提供理論依據。

1 射孔沖蝕數值模型

在壓裂過程中，因為壓裂由直徑較大的井筒截面進入直徑很小的射孔截面，會產生“伯努利式”的壓力損失，所以采用伯努利方程來計算射孔摩阻pr［6-8］：

式（1）中：qi是通過第i個射孔簇的壓裂液體積流量；Q是壓裂液總體積流量；ρ是壓裂液密度；ni是第i個射孔簇處的射孔數目；Cdi是第i個射孔簇的流量系數，它代表射孔入口處的幾何形狀（圖2）對射孔摩阻的影響［11］；Di是第i個射孔簇的射孔直徑；pri是第i個射孔簇處的射孔摩阻；m是射孔簇總數。所有物理量的單位均為國際單位制單位。式（1）中，在計算射孔摩阻pr的眾多物理量里，流量系數Cd和射孔直徑D都會因為支撐劑對射孔的沖蝕作用而不斷地同時變大，很難做到精確控制［11］。

Crump 等［4］的實驗研究表明沖蝕過程由2 個階段構成：（1）沖蝕開始后，Cd立刻快速變大，導致射孔摩阻pr迅速下降。同時，D也在緩慢地增大，但是Cd的快速增大占主導地位；（2）當Cd增大到某一特定常數Cdmax（通常在0.9 左右）后，就保持不變，而D繼續緩慢地增大。

為了量化Cd和D的同時增大，相關研究［5-10］建立了許多傳統射孔沖蝕模型。根據建模理論基礎的不同，可將它們分為兩類。第一類模型假設射孔直徑D在沖蝕過程中為已知量［5］或常數［6］。由于這一假設不符合“在沖蝕過程中D是一個不斷增大的未知量”的物理事實，因此文獻［7-8］提出了更接近物理事實的“兩階段”理論假設作為第二類模型的建模理論基礎：沖蝕第一階段中，Cd增大而D保持不變；當Cd增大到某一常數Cdmax后進入第二階段。在該階段中Cd保持不變，D開始增大。以該“兩階段”理論為建?；A，文獻［9-10］進一步擴展了第二類模型，考慮了前置液階段壓裂液黏度、壓裂液流量的變化率等因素對沖蝕過程的影響。然而，本文的前期研究文獻［11］表明：上述Cd和D交替增大的理論假設是不合理的。

上述傳統模型的主要缺點是因為建模理論基礎回避了Cd和D在沖蝕過程中同時增大的物理事實，較大幅度地簡化了對射孔沖蝕過程的量化表征。針對這一問題，本文的前期研究建立了能夠量化表征Cd和D同時增大的模型［11］：

式中，最大流量系數Cdmax是一個取值0.6 到0.95 之間的常數；（1-Cd/Cdmax）這一項是非線性擬合方法中的飽和函數項，用來量化表征沖蝕過程中Cd增大到Cdmax便保持不變的變化特征。C和v分別是支撐劑濃度和壓裂液流速。因此，Cv2代表了支撐劑的動能。該模型認為：Cd和D的沖蝕變化率與支撐劑的動能Cv2成正比。這和相關沖蝕實驗結果相符。正比例系數α和β是2個相互獨立的實驗參數，它們的值可以通過文獻［11］中的擬合方法確定。

該模型能夠對Cd和D的同時增大進行計算，因此能夠對射孔沖蝕的動態過程進行較精細的量化表征［12］。由于其物理意義比傳統模型更明確（沖蝕率和支撐劑動能成正比），在數學表達上更簡潔，一旦確定了α和β的值，可以很方便地使用該模型定量研究射孔沖蝕效應。目前，國內外眾多科研機構和大型石油公司都選擇該模型對限流壓裂［12］、酸化壓裂［13］、橋塞射孔聯作壓裂［14］、超臨界CO2壓裂［15］等多種不同類型壓裂過程中的射孔沖蝕效應進行量化表征。

2 射孔沖蝕效應的數值模擬計算

2.1 FrackOptima 壓裂軟件簡介

采用課題組和華裔學者徐冠水教授課題組聯合研發的壓裂軟件FrackOptima，建立相關算例進行數值模擬計算。該軟件已在殼牌、中國石油勘探開發研究院等國內外大型石油公司得到了實際應用［11，16-17］。該軟件的具體技術細節、相關方程見文獻［17］。

另一方面，圖1 所示的壓裂過程中各部分壓力滿足下列方程［7］：

該方程也是FrackOptima 的核心方程之一。本文將式（1）~式（3）代入式（4）中的pr即可計算沖蝕導致的Cd和D的同時增大對壓裂其余各部分壓力的影響，進而計算壓裂液流量分布等壓裂參數隨之產生的變化。

2.2 算例參數

根據實際工況［5-7］，設置如表1 和表2 所示的算例基本參數。

表1 算例基本參數取值Tab.1 Basic parameters of numerical examples

表2 壓裂液泵送時間Tab.2 Pumping schedule of fracturing fluid

算例研究的水平井同時多簇壓裂基本結構如圖3 所示。其中40 m 厚的儲集層被束縛在2 層400 m 厚的應力屏障層中。豎直實線代表儲集層和屏障層的地應力，其中儲集層處的地應力σr=30 MPa，上下應力屏障層處的地應力σb=40 MPa，二者相差10 MPa。這樣可以有效控制裂縫在垂直縫高方向上的發育，生成縫高為常數的佩金斯-科恩-諾德根（Perkins-Kern-Nordgren，PKN）形裂縫［18］，便于后期對裂縫形態進行比較。射孔簇間距d=15 m。本文算例假設：儲集層是均勻各向同性的彈性介質；壓裂液是黏度為常數的牛頓流體；支撐劑是圓度為1 的球形顆粒；每個射孔簇的孔數相同；壓裂液在單個射孔簇的多個射孔均勻分布。前期研究表明，網格尺寸在水平和垂直方向上分別選擇10 m 和5 m 能夠在該參數條件下確保數值模擬的穩定性和準確性［11］。前期研究還表明，在上述支撐劑物性參數條件下，α=1.07×10-13（m2·s/kg），β=1.08×10-8（m·s/kg）［11］。同時，本文對于每一個射孔沖蝕算例都給出一個不考慮沖蝕的算例進行對比。該對比算例取α=β=0，其余參數和沖蝕算例取值相同。

圖3 壓裂基本結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of fracturing treatment

3 結果與討論

本文重點研究射孔數對射孔沖蝕效應和壓裂結果的影響。圖4~圖6 展示了壓裂結束后，每簇射孔數分別為48、12、8 的各簇裂縫圖。圖4~圖6中從上到下4 條裂縫分別代表從射孔簇1~4 起裂的4 條裂縫。圖中還顯示了各條裂縫的縫寬分布和縫長，并通過它們來定量表征裂縫形態。

圖4 48 孔/簇時FrackOptima 計算得到的裂縫圖：（a）不考慮沖蝕，（b）考慮沖蝕Fig.4 Fractures obtained by FrackOptima at n=48：（a）without erosion，（b）with erosion

圖4 表明，每簇射孔數n=48 條件下的壓裂已不屬于“限流”壓裂的范疇。此時，強烈的應力陰影效應使得位于四簇內部的2號簇和3號簇無法獲得壓裂液流量分配。絕大部分壓裂液流經位于四簇外部的1 號簇和4 號簇，導致裂縫僅在這2 處發育。由式（1）可知，n值很大會導致射孔摩阻過小，無法抑制裂縫陰影效應，因此射孔沖蝕對壓裂的影響不大，即圖4（a）和圖4（b）中裂縫尺寸差別很小。

圖5 表明，當n從48 減少到12 時，壓裂屬于“限流”壓裂范疇。根據式（1），n值變小，射孔摩阻增大，能夠較好地抑制裂縫陰影效應，促使4 條裂縫較均勻地發育。但是射孔沖蝕效應也隨之變得較為明顯。對比圖5（a）和圖5（b）裂縫的縫長和縫寬分布可以發現，沖蝕使得裂縫發育不均勻的情況更加明顯。

圖5 12 孔/簇時FrackOptima 計算得到的裂縫圖：（a）不考慮沖蝕，（b）考慮沖蝕Fig.5 Fractures obtained by FrackOptima at n=12：（a）without erosion，（b）with erosion

圖6 則表明，當n從12 繼續減少到8 時，根據式（1），n值進一步變小，射孔摩阻進一步增大，能夠更加有效地抑制應力陰影效應，促使4 條裂縫更為均勻地發育。

圖6 8 孔/簇時FrackOptima 計算得到的裂縫圖：（a）不考慮沖蝕，（b）考慮沖蝕Fig.6 Fractures obtained by FrackOptima at n=8：（a）without erosion，（b）with erosion

圖7 顯示的是壓裂液在4 個射孔簇的流量分布百分比。由于對稱性，1 號簇和4 號簇的流量分布相同，2 號簇和3 號簇的流量分布相同。理想情況下，壓裂液應在四簇完全平均分布，體現在分布百分比圖中，4 個簇的流量分布曲線應重合在值為25%的水平線上。因此，4 個簇的流量分布曲線越收斂于25%，表明壓裂液分布越均勻。所以，圖7清晰地表明，射孔數越少，射孔摩阻越大，其克服應力陰影的效果越好，壓裂液分布也就越均勻。此外，對比圖7 和圖8 中不考慮沖蝕和考慮沖蝕的曲線可以發現，射孔沖蝕會使得曲線發散，即使得壓裂液分布不均勻的情況更加明顯。而射孔數越少，射孔沖蝕對流量分布的負面影響越弱。

圖7 壓裂液流量分布百分比：（a）n=12，（b）n=8Fig.7 Percentage distribution of fracturing fluid flow：（a）n=12，（b）n=8

圖8 壓裂過程中的射孔摩阻變化：（a）n=8，（b）n=12，（c）n=48Fig.8 Changes of perforation drop during fracturing：（a）n=8，（b）n=12，（c）n=48

圖8 顯示的是n=8，12，48 時，各簇射孔摩阻隨時間的變化規律。

圖8 （c）表明，當采用非“限流”壓裂開發常規油氣時，因為射孔數較大，射孔摩阻的值很小，其瞬時動態變化也較小，所以可以忽略不計。但是圖8（a）和圖8（b）表明，當使用“限流”壓裂開發非常規油氣時，射孔摩阻的值較大，其瞬時動態變化也較明顯，不能忽略不計射孔摩阻。

圖9 展示了不同孔數條件下的壓裂過程中，射孔直徑D和流量系數Cd的變化過程。該模型可以同時計算D和Cd在壓裂過程的瞬時變化。

圖9 壓裂過程中射孔直徑的變化（a）和流量系數的變化（b）Fig.9 Changes of perforation diameter（a）and discharge coefficient（b）in fracturing treatment

圖9 可以清晰地量化表征不同孔數條件下，射孔沖蝕效應的強弱。當射孔數較少時，射孔直徑和流量系數的變化率都要大于射孔數較多時二者的變化率。這表明，射孔數少時，不僅射孔摩阻增大，射孔沖蝕效應也會變得明顯。

另一方面，圖10 展示了壓裂過程中n為8 和12 時井底壓力的變化。為了施工安全，一般將井底壓力控制在48 MPa 以內［11］。當n=8 時，即使不考慮沖蝕，井底壓力也不會超過48 MPa。因此，綜合上述算例結果，在上述算例參數條件下，選擇8孔/簇有望獲得較滿意的壓裂效果。

圖10 壓裂過程中的井底壓力變化Fig.10 Changes of downhole pressure during fracturing

4 結 論

為了解決同時多簇限流壓裂過程中射孔沖蝕效應使得射孔簇處射孔數目難以確定的問題，本文使用前期研究得到的射孔沖蝕模型和全三維水力壓裂軟件FrackOptima，經過數值計算，得到如下結論：

（1）當使用傳統“非限流”壓裂方法時，射孔摩阻的值很小，其瞬時動態變化也較小，所以可以忽略射孔沖蝕對壓裂結果的影響。但是，當使用“同時多簇限流”壓裂開發非常規油氣時，射孔摩阻的值較大，其瞬時動態變化也較明顯，因此必須考慮射孔沖蝕對壓裂結果的影響。

（2）在同時多簇限流壓裂過程中，當每簇射孔數較少時，可以得到較大的射孔摩阻，從而較好地平衡應力陰影效應，同時射孔沖蝕效應對壓裂液流量分布的負面影響也較弱，使得多條裂縫較均勻地同時發育。但是孔數過少會導致射孔摩阻過大，從而提高井底壓力。而為了施工安全，必須控制井底壓力。因此，在算例參數條件下，選取8 孔/簇較為適宜。