GeoGebra助力高中生直觀想象素養的提升*

肖陽芳 徐金潤 邵貴明

(黃岡師范學院 438000)

熊建軍

(湖北省鄂州高中 436000)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)指出,學科核心素養是育人價值的集中體現,是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的[1]．提升數學核心素養的教學,重要的是在教學中使學生真正理解、掌握知識,并能靈活運用,在這個過程中,使他們掌握數學思想方法和提高思維能力,達到知其然且知其所以然[2]．

在科技迅猛騰飛的今天,我們如何在教學實踐中使學生知其所以然?如何提升學生的直觀想象素養呢?比如對抽象的立體幾何內容,學生難以理清幾何結構各要素關系;對于習題中的動點最值問題,學生難以想象出動點軌跡及數量關系,這都是提升直觀想象素養的絆腳石．

鮑建生對幾何教學提出建議,認為幾何教學應該建立在直觀經驗的基礎上[3]．范希爾曾說過,假如能呈現對直觀的洞察,應有助于學生學習抽象的幾何概念．如若將信息技術與數學課堂有效融合,優化教學生態,為學生理解知識本質提供直觀模型,給學生提供探索實驗的環境,培養學生幾何直觀、空間感以及幾何作圖方法,可切實提升學生的核心素養．

2 GeoGebra輔助數學教學對提升直觀想象素養的重要性

筆者在對一線教師關于提升學生直觀想象素養的訪談中發現,他們主要希望運用動態幾何軟件輔助教學解決兩部分問題:一是借助動態幾何軟件,依托教學內容,比如立體圖形的外接球和內切球問題、立體圖形的截面問題等,讓學生直觀感受復雜幾何體的生成過程,并理解圖形之間的內在聯系,把抽象的空間圖形直觀化;二是對于立體幾何中動點、動直線引起的最值問題,希望借助軟件的特定功能,將動態問題可視化、具象化,發展學生的空間認知和想象力,能用平面圖形描述問題和解決問題．

GeoGebra(下稱GGB)是一款能同框呈現代數與幾何關系的動態幾何軟件,揭示數學各要素之間復雜的動態邏輯關系,重要的是其與使用者具有高度的互動性,使用者可以通過“旋轉—拖曳”功能,依自己的目標和想法操作幾何對象以觀察存在于其中的性質或關系,不同功能區可以同步交互,實時觀察,呈現數學知識的多元表征,具有直觀便捷的特點[4]．且GGB官方網站提供在線教學資源平臺及操作教程,使得各學科階段都能交流使用．施良方曾提出運用教學媒體進行聲像呈示,可以使學生各種感官得到延伸,把學生的感官難以感覺到和不可能感覺到的事物、現象、事件,直觀、形象地再現給他們,拓展學生認識客觀世界的時空廣度．同時聲像呈示還可改變知識的抽象、概括化層次,適應學生的認識發展水平,便于學生接受[5]．本文展示了GGB在提升學生直觀想象素養方面的作用和魅力．

3 教學過程展示

數學教學中,學習新知和解決習題都是提升學生直觀想象素養的有效載體．多面體的外接球問題涉及球與多面體的雙邊知識,它雖然已經被教科書刪除,但每年高考都會出現有關球外接和內切的問題．而傳統教學方式對這類知識通常教以秒殺秘籍或答題模板,學生也普遍缺乏空間想象力,更是對這類知識一知半解,這使得學生直觀想象素養的提升較為困難,所以選用外接球問題的知識生成和習題探索作為提升學生直觀想象素養的發展點是合適的．

3.1 折疊模型的知識生成

下面以外接球的折疊模型為載體,借助GGB展示幾何體的生成過程．折疊模型是指將等腰 三角形進行拼接或將菱形以對角線折疊出來的立體圖形．如圖1,在三棱錐A-BCD中,△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形,且二面角A-BD-C為120°,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為多少?根據球的表面積公式S=4πR2,若知半徑便得表面積．

圖1 構造多面體

對于這類問題,學生很難想象出外接球怎樣與三棱錐相接,現用數學動態幾何軟件直觀感受圖形元素的生成過程．在GGB中先畫出立體圖形(圖1),接著在指令欄輸入“外接圓(B,C,D)、外接圓(A,B,D)”,再選擇“中點/中心”工具,得出兩外接圓圓心(圖2)．

外接球球心是以各自圓心為垂足作垂直于外接圓的垂線的交點,輸入命令“垂線(E,poly1)” “垂線(F,poly2)”,3D繪圖區出現兩條垂線,代數區顯示“直線g、直線h”．用“交點”工具點選直線g和直線h,代數區顯示“點O”,該點即為折疊模型外接球的球心．在代數命令區輸入“球面(O,A)”命令構建外接球(圖3)．

圖3 展示外接球

將交點O與點C連接,OC為球半徑．根據題目要求和已知條件進行分析,在3D繪圖區連接待用線段,隱藏無關變量(圖4)．

將空間問題平面化,運用等量關系建立等式求結果．這時,我們便通過GGB將立體幾何問題完整地、直觀地轉化為平面圖形問題．

因為折疊模型具有一般性,教學中教師可以使用軟件功能改變模型折疊的角度,或者通過軟件的放縮、拖曳功能改變圖形的大小,實時了解動態變化的折疊模型,抓住變化中的不變量;學生也可以從自身的疑惑點出發,運用旋轉視圖和移動視圖操作、觀察幾何元素,借圖形直觀認識數學問題、表達數學問題,啟迪解決此類問題的思路,以達到對這類模型的本質理解．同時讓學生感受幾何關系的形成過程,給學生未來進行空間想象提供范式,提高數形結合能力,從而提升學生的直觀想象素養．

3.2 外接球問題的習題探索

圖5 正四棱錐體積變化圖

根據球心是過兩截面圓的圓心作垂直于各截面圓的垂線的交點這一定義,在GGB中輸入指令“外接圓(E,B,C)”,再選擇“中點/中心”工具,顯示外接圓的圓心G．選擇垂線工具,依次點選點G和△EBC,繪圖區出現一條垂線．用“交點”工具選擇垂線和正四棱錐的高,即得點O,這點為外接球的球心．輸入“球面(O,D)”,繪圖區顯示正四棱錐的外接球(圖6)．

圖6 正四棱錐外接球展示

引導學生通過旋轉、放大功能對圖形進行交換,觀察并結合已有知識可發現,外接球的球心位于高所在的直線上,同時正四棱錐的高、側棱長和底面對角線構成直角關系．將空間位置平面化,根據已知的等量關系求得結果．用GGB軟件幫助學生打開思維,滲透數形結合、空間問題平面化等數學思想方法,引導學生在關聯的情境中構建相應的幾何圖形,用圖形探索解決問題的思路,這恰恰是課標對直觀想象素養提出的水平要求．

4 結束語

數形結合是一種特殊的能力．借助GGB能展示數形變化之間的相輔相成,基于視覺的觀察能感知數學對象并加深對圖形變化的理解．通過視覺方法與幾何方法的交互作用,為學生學習幾何概念和結構創造環境、提供工具,同時運用GGB的拖曳和旋轉功能,在可視化、具象化的數學實驗環境中感受知識生成和問題探索,學習如何從直觀展示中形成解題思路,如何找尋問題解決的關鍵．本文呈現的樣例是靜態操作,教師在教學中應遵循主體性、啟發性、探究性、趣味性、適度性原則,有效地將GGB軟件與數學課堂融合,希冀讓學生感受突破思維閾限的過程,提高幾何直觀、空間想象力,使學生知其然且知其所以然,以此提升學生的直觀想象素養[6]．但在具體教學中,GGB只能作為一種輔助教學的工具,要使教學有意義,需要先了解學生是否已經具備了一定的幾何知識,否則會損害學生的幾何思維．