“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐與思考
——以“滾動的圓:探索圓心運(yùn)動的路徑”為例*

徐 夢

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 215000)

王曉峰

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動的過程,認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．”[1]在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,如果只是讓學(xué)生聽老師講數(shù)學(xué)知識,而缺少讓學(xué)生主動參與的過程,則會讓課堂死氣沉沉,學(xué)生也很難主動運(yùn)用知識解決問題．試想,如果在數(shù)學(xué)課上,學(xué)生不是單一地接受老師講解數(shù)學(xué)知識點(diǎn),而是自己主動地參與其中,從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題并提出問題,然后通過“做數(shù)學(xué)”的方式主動探究和研究,總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律,最后用自己探尋出的數(shù)學(xué)知識解決問題,那么經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程的學(xué)生一定能逐步發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．在這過程中教師要做好課堂的組織者和引導(dǎo)者的角色,要認(rèn)識到“做”是基礎(chǔ),是重點(diǎn),是中心．

“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運(yùn)用材料和工具,在動手動腦相協(xié)同的過程中,通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動,理解數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式[2]．本文分享一則基于“做數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例——“滾動的圓:探索圓心運(yùn)動的路徑”．

1 教學(xué)目的

以滾動的圓形紙片為實(shí)驗(yàn)對象,設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案．通過動手“做”、用眼“看”、動腦“想”發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,幫助學(xué)生提高解決數(shù)學(xué)問題的能力．從生活中滾動的圓這一實(shí)例出發(fā),引出驅(qū)動型問題．在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和探究現(xiàn)實(shí)世界的過程中,發(fā)展他們的好奇心、想象力和創(chuàng)新意識．

讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程,發(fā)展批判性思維,培養(yǎng)其有條理的思維習(xí)慣和理性精神．學(xué)生通過小組合作自主探究出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論并將其拓展延伸,培養(yǎng)其小組合作能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識．

2 教學(xué)內(nèi)容

引導(dǎo)學(xué)生通過容易上手的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一起探尋圓形紙片在不同載體線(曲線、直線)及不同載體背景(三角形、四邊形、多邊形、圓、任意不規(guī)則平面圖形)中滾動時(shí)圓心的路徑及其長度的規(guī)律．一方面是幫助中考復(fù)習(xí)中的學(xué)生鞏固《圓》這一章節(jié)中與圓有關(guān)的計(jì)算問題,提高解題能力;另一方面是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程,讓學(xué)生感受動態(tài)的幾何,提升發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力,并在“做數(shù)學(xué)”中鍛煉學(xué)生的動手能力和思維能力,增強(qiáng)幾何直觀,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

從生活中來到生活中去的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容讓學(xué)生感知到生活中處處有數(shù)學(xué),也激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)獨(dú)有的魅力．

3 教學(xué)過程

3.1 手腦協(xié)同 探索方法

環(huán)節(jié)1 探索圓形紙片在直線上滾動時(shí)圓心的路徑及路徑長．

從生活中滾動的圓這一實(shí)例引入(如行駛中的汽車輪胎、小時(shí)候的推圈游戲等),引導(dǎo)學(xué)生猜想:汽車在平路上行駛時(shí),其輪胎所在圓的圓心走過的路徑是怎樣的?

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 如圖1,利用直尺和圓形紙片模擬過程．學(xué)生用筆尖戳著圓形紙片的圓心,保持直尺不動,將紙片滾動一周,觀察圓心的路徑,并計(jì)算其長度．

問題 圖2為一個(gè)圓心角為60°、半徑為1的扇形,在其滾動過程中,圓心經(jīng)過的路徑是怎樣的?如何計(jì)算它的長度?

設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)先是以生活中滾動的圓引入課堂,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活,讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識和探究現(xiàn)實(shí)世界．通過用直尺和圓片做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式,學(xué)生很快便能探索出圓在直線上滾動時(shí)圓心的路徑．后面給出的扇形在直線上滾動的問題,鏈接了中考真題,是圓形滾動問題的擴(kuò)展,利于知識的內(nèi)化,學(xué)生通過探究解決問題,也能激發(fā)他們的自信心和學(xué)習(xí)熱情．

3.2 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn) 發(fā)展思維

環(huán)節(jié)2 探索圓形紙片在折線上滾動時(shí)圓心的路徑及路徑長．

引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考,我們在前進(jìn)時(shí),不會總是一帆風(fēng)順的,汽車行進(jìn)時(shí),也會遇到爬坡甚至遇到凹坑,那么此時(shí)輪胎所在圓的圓心的路徑會發(fā)生改變嗎?還是一條直線嗎?

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 如圖3、圖4,利用梯形卡紙、有凹槽卡紙和圓形紙片模擬過程(可用廢舊快遞盒改造),探究此時(shí)圓心的路徑及路徑長．

圖3

問題1改變坡度,即改變折角的大小,結(jié)果會發(fā)生怎樣的改變?

問題2如果在平面圖形外側(cè)滾動圓,圓心的路徑及其長度又是怎樣的?

問題3將特殊三角形(等邊三角形、三角板)變成一般三角形甚至變?yōu)槿我獾亩噙呅?圓心的路徑是怎樣的,它的長度又是怎樣的?嘗試以小組為單位探究出一般結(jié)論．

設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并通過“做數(shù)學(xué)”的形式,小組討論交流出一般結(jié)論:當(dāng)圓形紙片在多邊形外側(cè)滾動一周時(shí),其路徑長為多邊形的周長+圓的周長．在這一過程中,發(fā)展學(xué)生的批判性思維,幫助其逐步養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.3 運(yùn)用遷移 提升能力

環(huán)節(jié)3 探索圓形紙片在三角形內(nèi)部滾動時(shí)圓心的路徑及路徑長．

根據(jù)觀察,生活中很多掃地機(jī)器人都是圓形,那么掃地機(jī)器人在某個(gè)房間清掃時(shí)(假設(shè)無障礙物),它是否能接觸并清掃全部的地面?

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 如圖5,利用鏤空卡紙和圓形紙片模擬過程,探究在等邊三角形內(nèi)部時(shí),圓心所能接觸到的圖形是什么并計(jì)算其面積及周長．

圖5

問題1如果一個(gè)半徑為1的圓形紙片在邊長為6的等邊三角形內(nèi)運(yùn)動,圓心能接觸到的圖形是什么?周長為多少?

問題2圓心到三角形邊的距離d的取值范圍是多少?

問題3圓心到三角形頂點(diǎn)的距離的取值范圍是多少?

設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)將滾動圓的載體背景從外部轉(zhuǎn)移到內(nèi)部,和生活中的掃地機(jī)器人的運(yùn)動軌跡聯(lián)系起來,讓學(xué)生更易理解．從“做數(shù)學(xué)”到“用數(shù)學(xué)”,學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了更多的理解,逐漸積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)．在運(yùn)用和遷移知識的過程中,也提高了自己解決問題的能力．

4 教學(xué)啟示

(1)“做數(shù)學(xué)”可以促進(jìn)學(xué)生對知識的深度理解

如果學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)只是單一地接受教師對知識的講授,那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會變得被動而缺乏活力．要想讓知識變得鮮活,學(xué)生就要經(jīng)歷真實(shí)的探究和使用的過程．?dāng)?shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生為主體,通過學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的方式,經(jīng)歷自己動手操作、主動探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,于無形中促進(jìn)其對知識的深度理解．例如,在探索滾動圓的圓心運(yùn)動路徑的過程中,如果教師直接告知學(xué)生結(jié)論,學(xué)生無法理解背后的“為什么”,也會很快遺忘．但如果有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程,學(xué)生就能很直觀地 感知到圓心是如何運(yùn)動的,并且根據(jù)自己的探究總結(jié)出規(guī)律,從而舉一反三．即使改換條件,學(xué)生也能抓住其本質(zhì),將問題解決．通過“做數(shù)學(xué)”實(shí)現(xiàn)教、學(xué)、做合一,不僅可以讓數(shù)學(xué)課堂有效幫助學(xué)生深度理解抽象的數(shù)學(xué)概念,也能幫助學(xué)生深度理解圖形的基本性質(zhì),還能幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)的模型方法．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生所運(yùn)用的學(xué)習(xí)素材、所采用的學(xué)習(xí)方式、所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程、所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考,都在一定程度上決定了其對數(shù)學(xué)知識的理解深度[3]．

(2)“做數(shù)學(xué)”可以推動學(xué)生的自主探究

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、抽象性很強(qiáng)的學(xué)科,很多學(xué)生被動接受了數(shù)學(xué)概念,其實(shí)并沒有掌握正確的學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思維．因此,在課堂中引入探究式學(xué)習(xí)就非常必要,它能很好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,提高他們主動學(xué)習(xí)、主動思考的能力．顯然,“做數(shù)學(xué)”能很好地推動學(xué)生的自主探究．例如,在滾動圓的圓心路徑探究教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生通過容易上手的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一起探尋圓形紙片在不同載體線(曲線、直線)及不同載體背景(三角形、四邊形、多邊形、圓、任意不規(guī)則平面圖形)中滾動時(shí)圓心的路徑及其長度的規(guī)律,學(xué)生在這一過程中一步步發(fā)展自己的思維,獨(dú)立自主地思考并解決問題．再如在“覆蓋圖形——探究最小覆蓋圓與圖形之間的關(guān)系”案例教學(xué)中,教師可以圍繞著用圓形布料補(bǔ)衣服缺口這一問題情境,不斷引導(dǎo)學(xué)生一步步探究出線段、三角形及四邊形的最小覆蓋圓．通過動手操作和觀察發(fā)現(xiàn),學(xué)生自主探究出最小覆蓋圓和不同圖形之間的關(guān)系．特別是在講到四邊形的最小覆蓋圓問題的時(shí)候,先由特殊的正方形、矩形、菱形出發(fā),讓學(xué)生動手探究出結(jié)論,之后將特殊四邊形變?yōu)橐话闼倪呅?引導(dǎo)學(xué)生分類并探索,啟發(fā)學(xué)生先將問題轉(zhuǎn)變成覆蓋三角形的問題,最后探究出結(jié)論．在整個(gè)過程中可以看到,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)確實(shí)能推動學(xué)生的自主探究,通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”的課堂,以“做”為教學(xué)支架,促進(jìn)學(xué)生提出問題、分析問題并解決問題．

(3)“做數(shù)學(xué)”可以催化學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新

陶行知曾說:“手和腦一塊兒干,是創(chuàng)造教育的開始;手腦雙全,是創(chuàng)造教育的目的．”教師應(yīng)該把“想”的權(quán)利、“做”的權(quán)利、“學(xué)”的權(quán)利都還給學(xué)生．在探索滾動圓的圓心運(yùn)動路徑時(shí),將圓滾動的載體背景從直線到折線到平面圖形內(nèi)部,再到平面圖形的外部,并且可以延伸成圓形紙片在任意多邊形內(nèi)部或外部滾動時(shí)圓心路徑的規(guī)律特征探索．再比如在“折紙——計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值”案例中,教師引導(dǎo)學(xué)生通過折疊特殊的紙片折出特殊角,并在折疊的過程中引導(dǎo)學(xué)生嘗試計(jì)算折痕、角度、三角函數(shù)值．而在讓學(xué)生嘗試解決問題的過程里,我們可以將要折疊的正方形紙片和等邊三角形紙片替換成矩形紙片、含30°的紙片,甚至是一張沒有具體形狀的普通紙片．這一過程無疑催化了學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新,激發(fā)了學(xué)生的思維火花．“做數(shù)學(xué)”既包含體驗(yàn)性的“做”,也包含了有意識的“用”．學(xué)生在“用”的過程里內(nèi)化知識與方法,也在無形中培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．