基于“三個理解”開展有效答疑
——一次課間答疑的觀察及思考*

仝 建 徐麗娟

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

1 問題背景

基于培養學生的數學核心素養的視角,章建躍先生提出要在理解數學、理解學生、理解教學的基礎上開展教學[1](以下簡稱“三個理解”)．給學生答疑解惑是教師課堂教學之外經常性的輔導活動之一．某天的一個課間,一名高一學生走進辦公室向任課教師A請教一個問題．筆者旁聽、觀察了師生之間的問答,并對教師A進行單獨訪談,引發了一些思考．遂整理成文,提出只有基于“三個理解”,才能開展有效答疑．

2 答疑簡錄

生:老師,我想問這道題(指例1)．

師:這道題上節課剛講過,平方,處理一下得到差,然后用商數關系可以得到正切．我再給你理一下思路……明白了嗎?

師:你解出的sinx是兩個值吧?

生:不,sinx應該是一個值,因為0

師:你的那個方法容易錯,會做出多個解,有時可能會出來四組解呢!不要用,不要被繞進去了．

生:可是我的方法為什么不對呢?我同桌也這么想的,也做錯了,不知道為什么錯．

師:別繞了,就用我教的這個方法．

生:我還是不太明白,但是馬上要上課了．(帶著一臉的困惑走出了辦公室)

學生離開辦公室后,我對A教師進行了個別訪談．

筆者:剛才那位同學的想法也有道理呀?

師:我知道他那樣做有點道理,但容易錯,這個學生就容易“鉆牛角尖”．

筆者:你認為這位同學的解法可以執行下去嗎?

師:應該是不能的,會得到多個解．

筆者:為什么會得到多個解呢?

師:反正這種通過聯立方程組的方法就容易產生多個解,至于為什么會產生多個解,我還沒有好好思考過．

3 疑惑追因

這名學生的疑惑解決了嗎?其解法真的是“鉆牛角尖”嗎?

從學生的一臉茫然可知,他的疑惑顯然沒有解決．這名學生不僅想從老師的解答中獲知這道題怎么做,更想知道自己的解法產生錯誤的原因．教師A教給了這名學生一個正確的解法,但并沒有指出學生產生錯誤的深層原因,因此學生的錯誤也沒有得到有效糾正．

學生為什么容易想到把已知的等式與平方關系聯立解方程組的方法呢?

既然學生的想法是自然的、通用的,那么如何幫助學生消除疑惑,使其自然的思路暢通呢?這就是教師需要做好的“功課”了．我們先來看看問題的癥結．

學生的方法為何沒有求出正確答案?

學生已經掌握了二元一次方程組的求解方法,但是由一次方程和二次方程聯立的二元二次方程組的求解問題,學生還鮮有觸及．在求解過程中,學生會把解二元一次方程組的經驗直接遷移到解二元二次方程組上,出錯也就在意料之中了．

沿著學生的方法,怎樣才能求出正確的答案呢?

從集合的視角看,此類方程組的解就是兩個點集的交集．借助解析幾何知識可知,該方程組的解對應的坐標就是一條直線與一個圓的交點坐標．關于這個視角的理解可以在后續學習了直線和圓的方程后再引導學生去發現．

4 類似問題

類似的問題還會出現在解析幾何中的兩個不同類別的圓錐曲線(包括圓)方程的聯立中,學生遇到此類問題時也常會產生錯解．比如下面的幾個例子．

評注因為由y2=8x消去y時,暗含x≥0, 所以“方程3x2-8x-3=0的實數根”并不都是“方程組解中x的值”,所以導致出現增解(x取負值為增解)．

類似的問題還有2021年全國乙卷理科第11題等．

5 有效答疑

只有理解數學問題本身,多角度深入思考問題,才能指出學生的錯誤并給予精準的指導,使學生的疑惑得以消除．例1的解法多樣,有針對小題的勾股數猜測驗證法,也有由和式借助平方關系構造差、再解二元一次方程組的方法,還有前文中學生采用的聯立已知等式和平方關系、再解二元二次方程組的方法．教師在答疑輔導時不僅要掌握盡可能多的方法,而且要特別留意學生所謂的“笨”方法,因為這些“笨”方法往往更自然、更通用．教師對數學問題理解通透了,才容易給予不同的學生以適當的指導,真正為學生答疑解惑．

理解學生,在解題教學中理解學生,就是需要經常性地站在學生的視角思考問題,理解學生具有怎樣的認知基礎、會怎樣想、為什么這樣想．要理解學生產生解題錯誤的根源、了解學生為什么會犯這樣的錯誤,才能與學生產生共鳴,避免與學生在兩個不同的“跑道”上進行低效交流．本文例1至例4中學生所犯錯誤有相同的原因:由于解二元一次方程組的負向遷移,誤認為變形后的方程(組)與原來的方程組同解導致錯誤．只有弄清了學生的問題,才能設計出適合學生的答疑指導方案,幫助學生打通思路卡點,消除錯誤的認識,解除疑惑．