Python在酸堿滴定分析教學中的應用

李偉，李鑫，賈樹恒，白海鑫，趙士舉，吳璐璐，張海燕，范彩玲

河南農業大學理學院，鄭州 450002

酸堿滴定法是以質子轉移的酸堿反應為基礎進行定量分析的一種方法，是分析化學課程教學的重要組成部分[1–3]。酸堿滴定過程中，隨著滴定劑的加入，溶液的pH不斷變化，這一變化遵循確定的函數關系，其圖像稱之為酸堿滴定曲線。以溶液pH為縱坐標，滴定劑的加入體積或滴定分數為橫坐標作圖，即可獲得滴定曲線圖像。酸堿滴定曲線的繪制一直是酸堿滴定分析教學的重難點之一，它不僅能夠直觀地顯示酸堿化學平衡體系性質(如pH)在滴定過程中的變化，而且能夠提供化學計量點時滴定劑體積Vsp、指示劑變色點(pHep)時滴定劑加入體積Vep、化學計量點時pHsp以及滴定突躍范圍等重要信息，據此還可以進行準確滴定判別、指示劑的選擇和滴定誤差的計算等[2–4]。

在傳統講授酸堿滴定曲線繪制時，根據滴定過程中溶液的組成，通常將整個滴定過程劃分為“滴定開始前”“滴定開始到化學計量點前”和“化學計量點后”三個階段，以及一點“化學計量點”，采用“三段一點”法以單一化的公式推導和計算得出決定曲線形狀的少數幾個關鍵數據點，之后通過描點獲得滴定曲線圖像[3,4]。顯而易見，上述方法難以獲得高精度的酸堿滴定曲線，且滴定反應過程中“量”的變化和曲線圖像無法形象地可視化動態呈現，使得學生在學習過程中往往處于被動學習狀態，造成教學內容枯燥乏味，教學效果不理想。已有文獻從不同角度探索利用Excel、Origin、Mathematic、MATLAB等商品化軟件或計算機編程語言實現了酸堿滴定曲線圖像的繪制和分析數據處理[2–10]，應用于滴定分析教學取得了良好的教學效果。然而，具體應用這些方法時往往需要用戶預先建立復雜的函數或計算方程，亦或個性化的功能或實例的實現要求教師和學生等非專業人員具有一定的編程基礎知識。

針對上述問題，團隊將現代信息化Python編程技術與酸堿滴定教學深度融合，自主設計開發了圖形用戶界面(Graphical User Interface，GUI)酸堿滴定學習軟件。Python作為一種面向對象的解釋型高級語言，具有免費開源、易于學習、良好的可擴展性和可移植性、豐富的科學計算庫和繪圖庫等優點[11,12]。基于Python開發的GUI酸堿滴定學習軟件界面設計簡潔，操作方便，無需復雜的安裝過程和專業的編程知識，可直接在Windows平臺上運行。軟件將酸堿滴定反應分為“堿滴定酸”和“酸滴定堿”兩種類型，用戶根據需要選擇被滴物種類(包括一元強酸/堿、一元弱酸/堿、多元酸/堿和混合酸/堿四種分類)確定滴定體系后，無需進行復雜的函數或公式輸入，僅通過簡單的濃度、體積和解離常數等滴定參數的設置，即可實現不同類型酸堿體系滴定曲線圖像的靜態顯示和動態可視化繪制、化學計量點以及滴定突躍范圍計算等功能。

1 GUI酸堿滴定學習軟件的主界面和功能使用

1.1 軟件主界面

基于現代信息化Python編程語言及其科學計算庫(Scipy、Numpy)和繪圖庫(Matplotlib)，采用PyQt5設計實現圖形用戶界面(GUI)酸堿滴定學習軟件，主界面如圖1所示。

圖1 GUI酸堿滴定學習軟件主界面

界面頂端是標題欄、菜單欄和窗口顯示欄，界面中間左側為曲線繪制與數據處理顯示區，右側為參數設置和功能操作區。界面底端左下方提供有縮放、坐標軸調整、圖片保存等快捷鍵操作按鈕。菜單欄設置有“文件”“編輯”“工具”和“幫助”四個菜單項，包含保存數據、保存圖片、繪圖設置、“滴定體積”和“滴定分數”橫坐標顯示的切換、滴定誤差計算小助手、軟件使用說明等功能和內容。左側窗口顯示欄設置有“顯示曲線”“繪制曲線”和“曲線求導”三個窗口；右側顯示欄設置有“堿滴定酸”和“酸滴定堿”兩個選項卡，滴定劑分別默認為NaOH和HCl，它們對應的被滴物各有四種類型可供選擇，包含一元強酸(堿)、一元弱酸(堿)、多元酸(堿)和混合酸(堿)。在右側參數設置和功能操作區，可對滴定劑和被滴物的濃度、體積等參數進行調節和設置，提供有“顯示曲線”“繪制曲線”“曲線求導”“清除曲線”“保存數據”和“退出程序”等功能。軟件系統各部分內容和功能完成后，采用Pyinstaller將Python的源文件程序打包為獨立exe可執行文件，方便傳遞和管理的同時，可以在沒有安裝Python的環境下直接運行。

1.2 滴定曲線的繪制與應用

在酸堿滴定曲線繪制過程中，橫坐標為滴定劑的加入體積V或滴定分數F，縱坐標為滴定溶液體系的pH。以0.1000 mol·L?1的NaOH滴定等濃度的三元酸H3A (分析濃度表示為c1)為例，設NaOH和被滴物溶液體積分別為40.00 mL和10.00 mL，加入的滴定劑體積為VmL，且認為酸堿平衡溶液總體積為(V+ 10.00) mL，則滴定劑的體積取值范圍為[0, 40]。此時，滴定分數F可定義為化學計量點時(根據酸堿質子理論，多元酸時默認為第一步解離產生的質子完全被中和時對應的化學計量點，簡稱第一化學計量點)滴定劑的消耗體積Vsp除滴定劑的加入體積V，滴定體積V與分數F呈現一一對應關系。顯然，第一化學計量點時NaOH的消耗體積Vsp= 10.00 mL，則可知滴定分數F=V/10.00，其取值范圍為[0, 4]。酸堿滴定過程中，Na+濃度為0.1000V/(V+ 10.00)，被滴物H3A的分析濃度c1= 0.1000 ×10.00/(V+ 10.00) = 1.0/(V+ 10.00)，則平衡體系的電荷平衡式為：

通過分布分數δ將上式中的[H2A?]、[HA2?]和[A3?]表示為關于[H+]的代數式，[OH?]替換為KW/[H+]，移項整理后可得到關于[H+]的滴定曲線方程：

式中，KW為水的離子積，Ka1、Ka2和Ka3依次為H3A的一級、二級和三級解離常數。

若將加入滴定劑的體積V替換為滴定分數F，則上式可轉化為：

軟件默認滴定劑加入體積的步長為0.02 mL，由此利用Numpy庫中linspace函數在各自取值范圍內預先產生一系列的V和F，之后軟件依次將其代入相應的上述滴定曲線方程式，使用SciPy庫中optimize模塊的布倫特(brent)法計算獲得一系列隨V或F變化的[H+]和pH，從而得到繪制滴定曲線所需的兩千個(V, pH)或(F, pH)數據點，最終基于Matplotlib庫中FuncAnimation和plot函數可分別實現高精度滴定曲線的可視化動態模擬繪制和靜態顯示。

應用繪制V–pH滴定曲線所使用的(V, pH)數據點，以相鄰兩個數據點的體積平均值為橫坐標，兩個數據點的斜率(ΔpH差值除以步長0.02 mL)為縱坐標，基于Python程序可繪制得到滴定曲線的導數曲線V–dpH/dV。當滴定誤差TE%設定為±0.1%時，查找上述滴定曲線中V=Vsp、V= 0.999Vsp及V=1.001Vsp分別對應的pH，由此可獲得化學計量點和pH滴定突躍范圍。

“堿滴定酸”選項卡中，被滴物選擇為一元強酸時，僅激活圖1中c1、Ka1、Ka2和Ka3輸入模塊，軟件默認Ka1= 1014，Ka2=Ka3= 0；一元弱酸時，軟件默認Ka2=Ka3= 0，僅需輸入Ka1值；二元酸時，軟件默認Ka3= 0，自定義輸入Ka1和Ka2值；三元酸時，自定義輸入Ka1、Ka2和Ka3值；混合酸(酸1 + 酸2)時，上述滴定曲線方程左邊需增加一項(類似于第四項表達式)才重新成立，此時需全部激活圖1中酸1的c1、Ka1、Ka2和Ka3以及酸2的c2、Ka1、Ka2和Ka3輸入模塊，自定義輸入兩種酸的濃度(c1、c2)和相應的解離常數。與此相似，“酸滴定堿”選項卡中，被滴物(一元強堿、一元弱堿、多元堿和混合堿)選擇后，需自定義輸入堿的濃度和相應的各級解離常數(Kb)。在圖1軟件主界面右側，滴定類型和滴定體系選擇以及滴定參數設置完成后，在功能操作區即可實現各類酸堿滴定體系滴定曲線圖像的繪制與顯示。

1.3 滴定誤差的計算

酸堿滴定中的滴定誤差是指由酸堿指示劑變色點pH (pHep)與化學計量點pH (pHsp)不一致引起的誤差。傳統的林邦公式法計算酸堿滴定誤差時，不同類型酸堿滴定體系的計算公式差別較大、形式復雜，而且計算式中忽略了一些不應忽略的項，對多元弱酸(堿)滴定的指導作用較小[1]。學習軟件菜單欄中“工具”選項提供有滴定誤差(通用型)計算小助手，采用體積法計算[3]，適用于所有類型的酸堿滴定反應體系。設Vep和Vsp分別表示滴定終點和化學計量點時加入的滴定劑體積，則體積法計算滴定誤差的表達式為：TE% = (Vep?Vsp)/Vsp× 100%。在確定的酸堿滴定體系中，Vep和Vsp均可通過滴定曲線圖像來獲取。在滴定誤差計算窗口界面，輸入相應的指示劑變色點pH、體積等數據信息，點擊計算按鈕則可獲得滴定誤差計算結果。

1.4 軟件的操作使用流程

酸堿滴定學習軟件的操作使用流程為：(1) 滴定類型的選擇。在右側窗口顯示欄，如圖1所示，選擇“堿滴定酸”或“酸滴定堿”，前者默認滴定劑是NaOH，后者默認滴定劑是HCl；(2) 滴定體系的確定。軟件提供有一元強酸(堿)、一元弱酸(堿)、多元酸(堿)和混合酸(堿)等四種被滴物可供選擇，選擇其中一種來確定滴定體系；(3) 滴定參數的設置。在滴定劑和被滴物下方窗口，分別對應輸入或調節濃度和體積等參數，之后進一步輸入被滴物酸(堿)的解離常數Ka(Kb)，如某酸Ka為1.80 ×10?5，則在軟件相應輸入1.80e?5；(4) 滴定曲線的顯示和繪制。點擊右下角功能操作區“顯示曲線”或“繪制曲線”，即可在左則對應窗口顯示區可視化靜態顯示或動態繪制相應酸堿體系的滴定曲線，還可以進行“曲線求導”“清除曲線”和“保存數據”等操作；(5) 化學計量點和滴定突躍范圍的計算。在滴定曲線附近單擊鼠標右鍵，即可出現“顯示滴定體積”“顯示滴定分數”“顯示當前滴定突躍和計量點”“刪除滴定突躍和計量點”和“添加直線”等按鈕，單擊即可實現相應的功能；(6) 滴定誤差的計算。根據軟件繪制的滴定曲線圖像獲取Vep和Vsp等數據信息后，即可通過菜單欄“工具”選項中提供的滴定誤差(通用型)計算小助手計算獲取各類酸堿滴定體系的滴定誤差；(7) 圖像和數據的保存。滴定曲線圖像和繪制數據的保存可通過“文件”菜單相應選項來實現，也可分別通過軟件界面左下方快捷按鈕和右下角對應功能操作按鈕來完成；(8) 退出程序。點擊右下角“退出程序”或通過“文件”菜單選項退出按鈕，可成功退出學習軟件。

2 GUI酸堿滴定學習軟件的教學應用

2.1 一元強酸(堿)的滴定

一元強酸的滴定以NaOH→HCl為例，根據1.4小節中的軟件操作流程，選擇滴定反應類型“堿滴定酸”，滴定劑默認為NaOH，被滴物選擇“一元強酸”確定滴定體系后，設置NaOH和HCl的濃度均為0.1000 mol·L?1或0.0100 mol·L?1，體積分別為40.00和20.00 mL，Ka默認設置為1.0e14，表示被滴物完全電離。滴定參數設置完成后，點擊右下方功能操作區中“顯示曲線”或“繪制曲線”按鈕，軟件即可實現NaOH→HCl體系滴定曲線的可視化靜態顯示或動態繪制，如圖2(a)所示。在滴定曲線附近單擊鼠標右鍵，可同時在滴定曲線上標示出其滴定突躍和化學計量點對應的滴定體積和pH。由圖2(a)可以看出，當初始濃度由0.1000 mol·L?1下降為0.0100 mol·L?1時，化學計量點不變(pH均為7.00)，滴定突躍范圍由4.30–9.70變為5.30–8.70，上下限均發生改變，清晰地表明濃度的下降使得滴定突躍范圍變窄。

滴定反應類型選擇“酸滴定堿”，滴定劑和被滴物互換，設置相應滴定參數后，可獲得一元強酸滴定一元強堿，即HCl→NaOH的滴定曲線，如圖2(a)所示。顯而易見，兩種體系的曲線形狀和變化類似，只是pH變化的方向相反。仔細觀察還可以發現，相同初始濃度條件下，HCl→NaOH的滴定曲線可由NaOH→HCl的滴定曲線通過“照鏡子”的方式來獲得，鏡子垂直于紙面放置于化學計量點pH = 7.00處，即兩條滴定曲線呈鏡面對稱。此外，在界面右下方功能操作區可以進行曲線求導、保存數據等操作。圖2(b)給出了濃度為0.1000 mol·L?1的NaOH→HCl的滴定曲線的導數曲線，教學中可以更加直觀、準確地觀察到化學計量點對應的滴定體積Vsp和滴定突躍發生的位置。

2.2 一元弱酸(堿)的滴定

一元弱酸和弱堿的滴定分別以NaOH→HAc和HCl→NH3·H2O為例，根據上述1.4小節中軟件操作流程，滴定劑NaOH (或HCl)的濃度和體積分別設置為0.1000 mol·L?1和40.00 mL，被滴物一元弱酸HAc(或一元弱堿NH3·H2O)的濃度和體積分別設置為0.1000 mol·L?1和20.00 mL，Ka(或Kb)設置為1.8e?5。圖3(a)分別給出了NaOH→HAc和HCl→NH3·H2O的滴定曲線圖像，可獲知其pH滴定突躍范圍分別為7.74–9.70和6.26–4.30，分別出現在弱堿性和弱酸性區域，化學計量點pH分別為8.72和5.28，據此推知兩種滴定體系可分別選用酚酞和甲基紅作指示劑。仔細觀察分析表明，相同初始濃度和解離常數條件下，HCl→NH3·H2O的滴定曲線也可由NaOH→HAc的滴定曲線通過“照鏡子”的方式來獲得，鏡子垂直于紙面放置于pH = 7.00處，即兩條滴定曲線呈鏡面對稱。

圖3 HAc和NH3·H2O的滴定曲線(a)及不同強度一元弱酸HA的的滴定曲線(b)

圖3(b)給出了NaOH滴定三種自定義不同強度的一元弱酸HA的滴定曲線，解離常數Ka分別為1.0e?3、1.0e?5和1.0e?7。可以看出，相同初始濃度(均為0.1000 mol·L?1)條件下，滴定曲線的后半段幾乎完全重合，化學計量點前滴定曲線的形狀變化較大，隨著解離常數的變小，滴定突躍下限逐漸上移，滴定突躍范圍不斷變窄。需要指出的是，當酸的解離常數為1.0e?7，初始濃度下降至0.0100 mol·L?1時，滴定突躍上限也發生了下移，此時滴定突躍范圍僅為9.30–9.40 (重疊嚴重，圖中未標示)，難以找到合適的指示劑，且用指示劑確定終點非常困難，無法準確滴定。上述結果分析表明，酸(堿)的強度和濃度均能夠影響滴定突躍范圍的大小。因此，當滴定誤差要求在±0.1%以內時(設借助指示劑目測判別終點的不確定性為±0.2個pH單位)，通常以cspKa≥ 10?8(cspKb≥ 10?8)作為判斷弱酸(堿)能否準確滴定的判別式[1,3]，其中csp表示被測物酸或堿在化學計量點時的分析濃度。

表1給出了NaOH(體積為40.00 mL)滴定等濃度不同強度一元弱酸(體積為20.00 mL)的滴定突躍范圍、ΔpH和一階導數曲線中的峰高值，這些數據信息均由軟件繪制的相應滴定曲線圖像獲得。由(1)–(5)組數據可知，當一元弱酸化學計量點濃度csp和其離解常數Ka的乘積剛好滿足準確滴定判別式(cspKa= 10?8)要求時，雖然滴定突躍范圍不同，但ΔpH和峰高值h均分別接近于0.4 pH單位和10。因此，如果滴定曲線容易獲得，那么可以通過判斷“滴定突躍是否大于0.4 pH單位”來進行準確滴定判別[3]。當默認化學計量點滴定劑加入體積為20.00 mL時，弱酸(堿)的準確滴定判別還可以由“峰高值h是否大于10”進行判斷。此處兩種準確滴定判別的方式本質上是等效的，但滴定曲線繪制獲得后使用前者作為判據更加便捷，無需進行“曲線求導”步驟。

表1 NaOH滴定等濃度不同強度一元弱酸的滴定突躍范圍和一階導數曲線中的峰高值

由(6)–(9)組數據可以看出，當酸的濃度固定為0.002 mol·L?1，滿足cspKa≥ 10?8且Ka不斷增大直至1.0 × 10?1時，滴定突躍范圍不斷變寬、ΔpH和峰高值h依次增大，均呈現有明顯的pH滴定突躍。當解離常數Ka≥ 10?2時，酸也可以看作是強酸，幾乎完全解離，滴定突躍范圍、ΔpH和峰高值h均幾乎不再發生變化。此外，比較圖2(a)和圖3以及表1中(9)和(4)數據，可以發現相同濃度條件下，由于酸的強度變弱了，一元弱酸(堿)的滴定突躍范圍、ΔpH和峰高值h均明顯小于一元強酸(堿)的相應數據變化。

2.3 多元酸(堿)的滴定

多元酸(堿)的滴定以NaOH→H2C2O4和NaOH→H3PO4為例，根據上述1.4小節中軟件操作流程，在“堿滴定酸”選項卡下，選擇被滴物為多元酸，設置滴定劑NaOH的濃度和體積分別為0.1000 mol·L?1和40.00 mL，被滴物多元酸H2C2O4(或H3PO4)的濃度和體積分別為0.1000 mol·L?1和10.00 mL，H2C2O4的Ka1和Ka2分別為5.9e?2和6.4e?5 (或H3PO4的Ka1、Ka2和Ka3分別為7.6e?3、6.3e?8和4.4e?13)。圖4(a)給出了NaOH→H2C2O4和NaOH→H3PO4的滴定曲線圖像，滴定分數為顯示橫坐標。圖4(b)給出了相應的滴定曲線的導數曲線，滴定體積為顯示橫坐標。由圖4可以看出，NaOH→H2C2O4時僅在滴定分數為2.00時有1個明顯的pH滴定突躍變化，其導數曲線在滴定體積為20.00 mL處，即化學計量點處有一個大的突變，峰高值h高達116.6。這種曲線變化表明二元酸H2C2O4的Ka1和Ka2相差較小(解離常數比值約等于103)，不能準確進行分步滴定，只可按二元酸一次被滴定，僅有1個化學計量點和1個滴定突躍。

圖4 多元酸H2C2O4和H3PO4的滴定曲線(a)及其導數曲線(b)

NaOH→H3PO4時在滴定分數為1.00和2.00時各發現1個較明顯的pH滴定突躍變化，其導數曲線相應地出現在滴定體積為10.00和20.00 mL處，即第一和第二化學計量點處分別有一個較大的突變，峰高值分別為7.0和6.4，略小于上述準確滴定判別式要求的峰高值10。這種曲線變化表明三元酸H3PO4的Ka1、Ka2和Ka3相差較大(相鄰兩級解離常數比值大于104)，能夠被分步滴定，但僅有2個化學計量點，即只有前兩級解離的H+勉強可以準確滴定[3]，但滴定誤差較大(＞ 0.1%)。其原因是相鄰兩級解離常數比值還不足夠大，使得滴定突躍范圍變窄和導數曲線峰高值變小。多元酸屬于復雜體系，實際分析中往往會適當放寬允許誤差(0.3%–1%)。當使用甲基橙(變黃)和百里酚酞(變藍)分別作為第一終點和第二終點的指示劑時，滴定誤差分別為?0.44%和0.29%[1]。此外，由于Ka3數值太小，即酸性太弱，第三級解離的H+不能夠被直接準確滴定，與在滴定分數3.00處和滴定體積為30.00 mL處均沒有觀察到突變的結果相一致。上述討論分析充分表明，一般認為或設想的幾元弱酸就應有幾個滴定突躍的主觀結論是不正確的。

2.4 混合酸(堿)的滴定

混合酸(堿)的滴定以HCl→Na2CO3和NaOH (或NaHCO3)混合堿為例，根據上述1.4小節中軟件操作流程，在“酸滴定堿”選項卡下，選擇被滴物為混合堿，設置滴定劑HCl的濃度和體積分別為0.1000 mol·L?1和40.00 mL，被滴物Na2CO3和NaOH (或NaHCO3)混合液體積為10.00 mL，濃度均為0.1000 mol·L?1，NaOH的Kb為1.0e14，NaHCO3的Kb為2.4e?8，Na2CO3的Kb1和Kb2分別設置為1.8e?4和2.4e?8。兩種混合堿的滴定曲線圖像及相應的導數曲線分別如圖5(a)和5(b)所示，橫坐標分別顯示為滴定分數和滴定劑體積。

圖5 不同混合堿的滴定曲線(a)及其導數曲線(b)

由圖5可以看出，HCl→NaOH和Na2CO3混合堿時，在滴定分數為1.00和1.50處各出現1個較明顯的pH滴定突躍變化，對應的導數曲線分別在滴定體積為20.00 mL和30.00 mL處，即第一和第二化學計量點處均有一個清晰的小突變，峰高值分別為2.0和5.3，小于上述準確滴定判別式中峰高值10。這種曲線變化表明Na2CO3的Kb1和Kb2相差較小(解離常數比值接近于104，小于105)，能夠被分步滴定，有2個化學計量點，但滴定分析準確度低，誤差大于一元弱堿(酸)準確滴定判別式的要求；同時也證實由于Na2CO3的第一步解離(或水解)程度較大，NaOH和Na2CO3不能夠被分步滴定，即NaOH和Na2CO3第一步解離的OH?同時被一次滴定。圖5(a)滴定分數為0.50處沒有觀察到較明顯的pH滴定突躍變化和圖5(b)滴定體積為10.00 mL處沒有發現較大的突變均能夠印證上述推論。

HCl→NaHCO3和Na2CO3時，在滴定分數為0.50和1.50時分別有1個較明顯的pH滴定突躍變化，其導數曲線相應地在滴定體積為10.00和30.00 mL處，即第一和第二化學計量點處分別有一個清晰的小突變，這種曲線變化進一步表明Na2CO3的第一步和第二步解離的OH?能夠分步滴定，會出現2個化學計量點。上述討論分析表明，根據滴定曲線或其導數曲線中滴定突躍發生時對應的橫坐標值大小，可推斷出未知混合堿的組成。此外，兩種混合堿的pH滴定突躍現象分別發生在pH為8.3和3.9附近，實際操作中分別選用酚酞和甲基橙作為指示劑，即采用雙指示劑法測定混合堿的組成情況。

2.5 酸堿滴定誤差的計算

以0.10 mol·L?1的NaOH滴定等濃度H3PO4、HAc和HCl溶液為例，計算分別以百里酚酞(滴定至第二滴定終點，pHep= 10.0)、酚酞(pHep= 9.1)和甲基橙(pHep= 4.0)為滴定終點指示劑進行分析時的滴定誤差[1]。首先根據前述方法繪制出相應的滴定曲線，如圖6所示。由滴定曲線圖像可知上述三種酸堿滴定體系的化學計量點體積Vsp均為20.00 mL。其次在滴定曲線附近單擊鼠標右鍵，選擇“添加直線”輸入終點pH即指示劑變色點時pHep為10.0 (以NaOH→H3PO4為例)，單擊“OK”后會有條紅色虛線與滴定曲線相交，選擇左下角的放大鏡按鈕，鼠標指針此時會變成“十”字形狀，將添加線和滴定曲線的交點處局部放大，使放大后的交點處與“十”字形完全重疊，精確讀取交點處對應的橫坐標NaOH消耗的體積Vep，即獲取滴定終點坐標(Vep, pHep)為(20.058, 10.0)。

圖6 不同酸堿滴定體系滴定誤差的計算結果

單擊軟件“工具”菜單中滴定誤差(通用型)小助手，輸入相應的化學計量點的滴定體積Vsp(20.00 mL)、滴定終點pHep(10.0)以及滴定終點時對應的滴定體積Vep(20.058 mL)，點擊計算按鈕即可獲得滴定誤差TE% = 0.290，如圖6插圖所示。

類似地，由圖6中NaOH→HAc和NaOH→HCl兩種滴定體系的曲線圖像可獲得相應的終點坐標信息分別為(20.005, 9.1)和(19.959, 4.0)，從而計算獲得滴定誤差TE%分別為0.025和?0.205，軟件給出的計算結果與教科書計算結果一致[1]。

3 結語

本文將酸堿滴定分析教學與現代信息技術深度融合，基于Python編程語言，采用PyQt5設計開發了圖形用戶界面(GUI)酸堿滴定學習軟件。該軟件界面設計簡潔、操作方便，無需建立復雜的函數或計算方程，僅需簡單的滴定參數設置，即可靜態顯示或動態可視化繪制不同類型酸堿體系的滴定曲線圖像，同時還可以實現化學計量點、滴定突躍范圍和滴定誤差的計算，具有較強的開放性、靈活性和實踐性。軟件使用時，無需安裝和編程基礎知識，可直接在Windows平臺上運行，便于教師教學和學生自主探究學習。