在數(shù)學(xué)活動中感悟，在形式理解中生成

摘 要：大概念是一個概念、主題或問題，能使離散的事實(shí)和技能相互聯(lián)系并有一定的意義。它是使教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的重要抓手。《10的認(rèn)識》一課，要用十進(jìn)位值制記數(shù)法這一大概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容，具體要教清楚“新的計(jì)數(shù)單位：10個一是1個十”“位置值：十位上的‘1’表示1個十”這兩個方面。反思這一課的教學(xué)，認(rèn)識到：要在數(shù)學(xué)活動中感悟大概念，在形式理解中生成大概念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；大概念；10的認(rèn)識；感悟；形式理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確要求：“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。”［1］大概念是一個概念、主題或問題，能使離散的事實(shí)和技能相互聯(lián)系并有一定的意義。［2］因此，大概念是使教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的重要抓手。《10的認(rèn)識》一課教學(xué)，應(yīng)該用大概念來統(tǒng)領(lǐng)。

一、 教前思考

《10的認(rèn)識》一課教學(xué)，常見的做法是：數(shù)出情境中的10個物體，利用學(xué)具（一一對應(yīng)）擺出情境中的10個物體，借助算珠抽象出數(shù)10，然后教學(xué)10的讀寫方法，再練習(xí)鞏固。這樣的教學(xué)，沒有用記數(shù)制的大概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容，不利于學(xué)生對“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的整體理解與掌握。

實(shí)際上，“10的認(rèn)識”是體現(xiàn)十進(jìn)位值制記數(shù)法的起始內(nèi)容。十進(jìn)位值制記數(shù)法蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想，比如按群（計(jì)數(shù)單位）計(jì)數(shù)的整體思想、利用數(shù)位（位置值）記數(shù)的直觀思想，是小學(xué)階段認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)以及進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算時起到統(tǒng)領(lǐng)、遷移作用的大概念［3］。而且，即使教師不教，學(xué)生憑借1—9的認(rèn)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，也知道10表示的具體數(shù)量和序數(shù)含義。學(xué)生不太清楚的正是數(shù)10體現(xiàn)的大概念十進(jìn)位值制記數(shù)法，它具體表現(xiàn)在兩個方面：

一是新的計(jì)數(shù)單位：10個一是1個十。10與1—9的相同之處在于，都是由幾個一組成的，但是，10除了可以看成10個一，還可以看成1個十。學(xué)生需要將“一一對應(yīng)”的“按個計(jì)數(shù)”發(fā)展為“以一當(dāng)十”的“按群計(jì)數(shù)”，需要反復(fù)在“10個一”和“1個十”之間轉(zhuǎn)換，進(jìn)而建立新的計(jì)數(shù)單位“十”。有了“十”，就能以“十”為單位逐一累加，得到1個十是10、2個十是20、3個十是30等，這樣就為以后學(xué)習(xí)百、千、萬等更大的計(jì)數(shù)單位打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。人們總是用上位知識來思考和說明問題，這是人類長期進(jìn)化形成的本能。［4］借由10個一是1個十，形成“滿十進(jìn)一”的概念，相當(dāng)于制造了一個“腳手架”——雖然它只是心理上的一個表象，但它是上位表象，對下位知識的理解能起到實(shí)在的作用［5］。

二是位置值：十位上的“1”表示1個十——個位上的“0”用來占位。位置值是指不同的數(shù)位上的數(shù)代表不同的數(shù)值。它是人類歷史上“最妙的發(fā)明之一”［6］，只需要0—9這10個數(shù)字，就能表示任意自然數(shù)。10并不是“1”和“0”兩個數(shù)字的簡單組合，它完美體現(xiàn)了計(jì)數(shù)單位和位值原則，是記數(shù)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。個位上10個一，滿十進(jìn)一，在十位寫“1”，對個位用“0”占位。十位上的“1”，代表1個十，相當(dāng)于個位上的10個一。進(jìn)一步的發(fā)展便是由一的累加過渡到十的累加等。

《10的認(rèn)識》一課用大概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容，要教清楚這兩個方面。

二、 教學(xué)實(shí)踐

（一） 在9和10的關(guān)系中引入

師 （出示9個小朋友跳舞的主題圖）

有一些小朋友在跳舞，你知道一共有多少人嗎？

生 一共有9人。

師 在計(jì)數(shù)器上擺一擺，數(shù)一數(shù)，9里面有幾個一？

生 9里面有9個一。

師 現(xiàn)在又來了1人，一共有多少人？

生 一共有10人。

師 在計(jì)數(shù)器上擺一擺，數(shù)一數(shù)，10里面有幾個一？

生 10里面有10個一。

師 今天我們來認(rèn)識10，10怎么寫？

（學(xué)生回答后，教師板書“10”。）

師 對于10，你還有什么想說的？

生 9添上1是10。

生 10比9多1，9比10少1。

師 10和9比較，有什么相同和不同？

生 相同之處：都是由一組成的。

生 不同之處：9里面有9個一，10里面有10個一。即一的個數(shù)不同。

生 還有不同之處：9是一位數(shù)，10是兩位數(shù)，由“1”和“0”兩個數(shù)字組成。

師 你們真是善于發(fā)現(xiàn)！

激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)10的形成過程。計(jì)數(shù)單位“一”是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，通過觀察9里面有幾個一予以喚醒。在計(jì)數(shù)器上撥珠，9個小朋友需要撥9個算珠，它里面有9個一，添上1個一是10個一，得出10個一是10。比較9和10，發(fā)現(xiàn)它們相同之處是由一組成，不同之處是一的個數(shù)不同。

（二） 在實(shí)物操作中理解“10個一是1個十”

師 請你們數(shù)出10根小棒。

師 1根小棒是1個一，10根小棒是幾個一？

生 10根小棒是10個一。

師 為了一眼看出10，可以把10根小棒捆成一捆。

（學(xué)生操作。）

師 （出示1捆小棒圖）

1捆小棒表示1個十。再把一捆小棒打開。

（學(xué)生操作。）

師 1個十里面有幾個一？

生 1個十里面有10個一。

師 老師為每個小組準(zhǔn)備了幾樣小物品，請你選一種，數(shù)出10個打包。

（學(xué)生分組操作后匯報(bào)。）

生 10塊小橡皮裝1盒，1盒有10塊。

生 10支小蠟筆扎1捆，1捆有10支。

生 10枚一元硬幣摞在一起，1摞有10枚。

生 10個回形針串1串，1串有10個。

師 同學(xué)們會用“盒”“捆”“摞”“串”等詞語描述打包后的小物品，真了不起！聽完這些同學(xué)的匯報(bào)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生 10個同樣的物品打包成了1份。

生 10個一是1個十，1個十里面有10個一。

重視對計(jì)數(shù)單位“十”的體驗(yàn)。要求學(xué)生先用小棒表示10，再把10根捆成一捆，指出是“1個十”，由此得出：10個一是1個十。接著提問：一捆與分開的10根有什么聯(lián)系？學(xué)生操作發(fā)現(xiàn)：1個十是10個一。然后借助多種學(xué)具，把10個一打包成“一個整體”，隱喻1個十，擴(kuò)展“1個十里面有10個一”的外延。

（三） 在計(jì)數(shù)器表示中理解“十位上的‘1’表示1個十”

師 我們可以用計(jì)數(shù)器表示數(shù)，你能在計(jì)數(shù)器上表示10嗎？

（學(xué)生操作。）

師 （出示學(xué)生的表示方法，如圖1所示）

哪種方法表示的是10？

生 第②種方法表示的是10。

生 第③種方法表示的也是10。

師 第③種方法不是一個算珠嘛，怎么會表示10呢？

生 這一個算珠在十位上，代表1個十，1個十里面有10個一，所以表示10。

師 第①種方法為什么是錯的？

生 十位上有10個算珠，代表10個十。1個十是10，2個十是20，這樣數(shù)下去，10個十是100。

師 你真了不起！能推算出10個十是100。（課件演示，如圖2所示）10個十確實(shí)是100。

師 后兩種方法都表示10，你喜歡哪一種？

生 我喜歡第③種方法。

師 為什么？

生 這樣表示簡單，只需要在十位上撥一個算珠，而另一種則需要在個位上撥10個算珠。

師 第②種方法，個位上有10個算珠，可以在十位上用一個算珠表示，也就是第③種方法。這說明了什么？

生 10個一是1個十，1個十等于10個一。

讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥出10，通過兩種表示方法，理解“十位上的‘1’就是個位上的‘10’”，初步體現(xiàn)位置值。同時，借助進(jìn)位和退位的撥珠操作，幫助學(xué)生理解10個一是1個十、1個十是10個一，體會“滿十進(jìn)一”“退一作十”，強(qiáng)化一和十之間的關(guān)系。同時，基于學(xué)生生成，借助課件演示，滲透十與百之間的關(guān)系。

（四） 在比較中進(jìn)一步感受“基于計(jì)數(shù)單位的位置值”

師 （出示圖3）

這兩個算珠表示的數(shù)相同嗎？

生 左邊的算珠表示10，右邊的算珠表示1。

師 說說為什么。

生 這兩個算珠所在的位置不同，左邊的算珠在十位上，右邊算珠在個位上。

生 十位上的一個算珠可以看作一捆小棒，也就是10；個位上的一個算珠可以看作一根小棒，還是1。

生 十位上的“1”表示1個十，也就是10；個位上的“1”表示1個一，還是1。

師 你真善于觀察！同樣一個算珠，在個位上表示1個一，在十位上表示1個十。算珠所在的位置不同，表示的數(shù)量就不一樣，這叫作“位置值”（同步板書）。從右邊起，第一位是個位，第二位是十位。想一下：十位上的一個算珠可以換個位上的幾個算珠？個位上的一個算珠再添幾個后可以換十位上的一個算珠？

生 十位上的一個算珠可以換個位上的10個算珠。

生 個位上的一個算珠再添9個后可以換十位上的一個算珠。

師 真厲害！同學(xué)們能在腦子里“撥算珠”，然后回答問題。

為了讓剛進(jìn)入小學(xué)三個月的一年級學(xué)生充分感受“基于計(jì)數(shù)單位的位置值”的智慧，這里設(shè)計(jì)了兩個比較性問題。（1） 這兩個算珠表示的數(shù)相同嗎？學(xué)生在觀察時發(fā)現(xiàn)，雖然都是一個算珠，但是在不同的數(shù)位上，代表的數(shù)也不同，由此認(rèn)識個位和十位。（2） 為什么不同數(shù)位上的同樣一個算珠表示的數(shù)不同？學(xué)生聯(lián)系小棒操作，發(fā)現(xiàn)個位上的數(shù)以一（根）為計(jì)數(shù)單位，十位上的數(shù)以十（捆）為計(jì)數(shù)單位。由此，學(xué)生經(jīng)歷從計(jì)數(shù)單位到數(shù)位的抽象過程。

三、 教學(xué)反思

（一） 在數(shù)學(xué)活動中感悟大概念

大概念如同“認(rèn)知文件夾”，為人們認(rèn)識事物和建構(gòu)知識提供了一個框架或結(jié)構(gòu)。借助這個框架或結(jié)構(gòu)，人們不僅能溝通各個事實(shí)、經(jīng)驗(yàn)、事物、概念之間的聯(lián)系，而且能在一個連續(xù)的整體中理解各個事實(shí)、經(jīng)驗(yàn)、事物、概念的意義。［7］新課標(biāo)增加了一個描述過程目標(biāo)的行為動詞，即感悟，并將其解釋為“在數(shù)學(xué)活動中，通過獨(dú)立思考或合作交流，獲得初步的理性認(rèn)識”［8］，即強(qiáng)調(diào)“從感性經(jīng)驗(yàn)到理性認(rèn)識的活動過程”［9］。數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念是對數(shù)學(xué)知識（概念之間的關(guān)系）的抽象概括，即“對抽象的抽象”，因而是“活”的，具有“緘默”特征，也就無法直接傳授給學(xué)生，只能靠學(xué)生在有關(guān)的數(shù)學(xué)活動中自己“感悟”［10］。

上述教學(xué)案例顯然沒有直接告知學(xué)生關(guān)于十進(jìn)位值制記數(shù)法的大概念，而是分為四個環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)豐富的問題情境，提供充分的活動空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動的過程，讓原來模糊的概念一和十等計(jì)數(shù)單位、個位和十位等數(shù)位以及“滿十進(jìn)一”等關(guān)系在腦海里逐漸清晰，從而幫助學(xué)生感悟十進(jìn)位值制記數(shù)法的本質(zhì)屬性與獨(dú)特價(jià)值。

（二） 在形式理解中生成大概念

關(guān)于數(shù)學(xué)理解，“類型層次說”認(rèn)為，有直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解四個類型層次。［11］

直觀理解：基于形象化的感知，常用動作表達(dá)思維過程。如，先數(shù)出10個物體，捆成一捆，是1個十；再打開看看，里面有10個一，從而理解“10個一是1個十”。

程序理解：通過程序，即解決問題的方法、步驟來表明。如，先在計(jì)數(shù)器的個位上撥10個算珠，表示10個一；再把個位上的10個算珠撥去，在十位上撥1個算珠，表示1個十，從而理解“10個一是1個十”。

抽象理解：包含概念同程序分離、不變量的構(gòu)建兩個階段。如，在計(jì)數(shù)器的個位上撥10，滿十進(jìn)一，所以要在十位上撥“1”；在十位上撥“1”，退一作十，所以要在個位上撥10，從而理解“10個一是1個十”。它與直觀理解的區(qū)別在于，它能運(yùn)用“不變量”（如滿十進(jìn)一或退一作十）說明結(jié)果的合理性，而直觀理解要借助直觀表征說明結(jié)果的合理性。

形式理解：運(yùn)用“不變量”，基于邏輯推理，證明結(jié)果的合理性。抽象理解含有形式理解的水平，但是形式理解必須運(yùn)用“不變量”（如滿十進(jìn)一或退一作十）推理。如，得到“10個一是1個十”，像這樣一直數(shù)下去，自然會得出“10個十是一個百”“10個百是一個千”等，從而豐富“滿十進(jìn)一”的內(nèi)涵，擴(kuò)展它的外延。

大概念的抽象與普適（一般化、形式化）程度較高。而學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的心理表征方面存在具象性和“不靈活性”（不善于在心理表征的不同側(cè)面之間轉(zhuǎn)換）［12］。因此，教師需要精心創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)活動，蘊(yùn)含學(xué)習(xí)內(nèi)容，重視細(xì)節(jié)涵泳和能力訓(xùn)練，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)心理表征在不同側(cè)面之間的轉(zhuǎn)換，沿著“直觀理解—程序理解—抽象理解”的路徑達(dá)到形式理解，最終理解有關(guān)的大概念。

上述教學(xué)案例中，第二個環(huán)節(jié)屬于直觀理解，第三個環(huán)節(jié)屬于程序理解，第四個環(huán)節(jié)則包含抽象理解和形式理解。如最后解決“個位上的一個算珠再添幾個后可以換十位上的一個算珠？”這一問題時，學(xué)生要憑借“10個一是1個十”的操作表象進(jìn)行思考，利用“滿十進(jìn)一”這一規(guī)律，因此有抽象理解、形式理解的意味。

參考文獻(xiàn)：

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（趙 鴻，江蘇省南京市中華中學(xué)浦口雨山小學(xué)。）