混合隨機(jī)波動(dòng)模型下帶隨機(jī)工資的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略

邵艷宇，夏登峰，費(fèi)為銀，明 健

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院,安徽 蕪湖)

隨著科技發(fā)展,醫(yī)療水平不斷提升,我國(guó)人口老齡化的增速加快,養(yǎng)老金支付壓力劇增,制定養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略對(duì)實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老金的保值增值以及提升退休人員生活質(zhì)量起著至關(guān)重要的作用。養(yǎng)老金計(jì)劃主要有兩種：1)確定收益型(defined benefit,DB)養(yǎng)老金計(jì)劃,參與者的收益是確定的,市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)由基金管理者承擔(dān);2)確定繳費(fèi)型DC養(yǎng)老金計(jì)劃,參與者的繳費(fèi)率是固定的,其收益主要取決于退休前的累積繳費(fèi)值以及長(zhǎng)期收益水平,市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)由基金參與者承擔(dān),有利于緩解政府財(cái)政壓力。因此,DC型養(yǎng)老金計(jì)劃更符合我國(guó)社會(huì)發(fā)展體系的需要。

Merton[1-2]將隨機(jī)控制方法應(yīng)用于研究投資組合選擇問(wèn)題后,隨機(jī)控制方法則被廣泛應(yīng)用于探究DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資組合問(wèn)題。大部分關(guān)于投資組合的文獻(xiàn)[3-5]都假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),價(jià)格波動(dòng)率假設(shè)為常數(shù)。然而在實(shí)際金融市場(chǎng)環(huán)境中,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率是隨機(jī)變動(dòng)的。近年來(lái),有學(xué)者開(kāi)始提出Heston隨機(jī)波動(dòng)模型下的最優(yōu)投資問(wèn)題：Li等[6]研究Heston模型下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)時(shí)間一致性投資和再保險(xiǎn)策略;張初兵等[7]研究Heston模型下以最大化期望冪效用為目標(biāo)的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題;孫景云等[8]研究Heston模型下基于均值-方差準(zhǔn)則的最優(yōu)投資組合問(wèn)題;Ma等[9]研究Heston模型下具有股票誤定價(jià)的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題,應(yīng)用隨機(jī)控制理論建立了相應(yīng)的HJB(Hamilton-Jacob-Bellman) 方程,并給出了在CRRA(constant relative risk aversion) 效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略。

實(shí)際經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變動(dòng)往往會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)利率的隨機(jī)波動(dòng)。文獻(xiàn)[10-13]對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題進(jìn)行研究。Vasicek[10]利用隨機(jī)利率模型O-U(Ornstein-Uhlenbeck) 描述利率動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。Cox等[11]提出CIR(Cox-Ingersoll-Ross) 模型模擬名義利率的動(dòng)態(tài)變化。張初兵等[12]研究仿射利率模型下的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略。Mwanakatwe等[13]研究利率遵循Hull-White模型時(shí)的DC型養(yǎng)老金投資策略。

此外,也有學(xué)者同時(shí)研究隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題。Guan等[14]探究具有隨機(jī)仿射利率和Heston隨機(jī)波動(dòng)率的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題。Wang等[15]考慮DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的穩(wěn)健性最優(yōu)投資問(wèn)題,其中隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率分別由仿射利率模型和Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型驅(qū)動(dòng)。常浩等[16]研究在隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率環(huán)境下的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題。Kim等[17]利用具有Hull-White利率模型和隨機(jī)波動(dòng)率模型的混合模型來(lái)評(píng)估期權(quán)價(jià)格對(duì)利率變化的敏感性,并表明了具有隨機(jī)利率的隨機(jī)波動(dòng)率模型優(yōu)于具有恒定利率的模型。Mwanakatwe等[18]研究混合隨機(jī)波動(dòng)(Heston-Hull-White) 模型下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資和收益支付策略,并成功地給出了CRRA效用函數(shù)下的精確解。目前大多數(shù)文獻(xiàn)采用CRRA效用函數(shù)來(lái)刻畫投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好,然而,與CRRA效用函數(shù)相比,CARA(constant absolute risk aversion) 效用函數(shù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度不依賴于當(dāng)前財(cái)富水平,因此,本文采用CARA效用函數(shù)來(lái)刻畫基金管理者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

由于養(yǎng)老金的投資期限較長(zhǎng),基金管理者不僅要考慮利率風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),還要考慮隨機(jī)工資。費(fèi)為銀等[19]研究了在CIR隨機(jī)利率模型下帶有隨機(jī)工資的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題。Li等[20]在均值-方差準(zhǔn)則下探究具有通脹風(fēng)險(xiǎn)和隨機(jī)工資的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略。李方超等[21]在均值-方差準(zhǔn)則下分析具有隨機(jī)工資和保費(fèi)退還條款的DC型養(yǎng)老金的時(shí)間一致性投資策略。Wang等[22]研究具有隨機(jī)工資和通脹風(fēng)險(xiǎn)的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略。Yan等[23]分析具有隨機(jī)工資和保費(fèi)返還條款的DC型養(yǎng)老金穩(wěn)健性最優(yōu)投資策略。

為建立更符合實(shí)際金融市場(chǎng)的模型,本文根據(jù)文獻(xiàn)[18-19]研究,在混合隨機(jī)波動(dòng)(Heston-Hull-White)模型中引入了隨機(jī)工資,運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,得到在CARA效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略,拓展了現(xiàn)有研究結(jié)果。本研究主要特點(diǎn)：1)假定金融市場(chǎng)中的股票價(jià)格服從混合隨機(jī)波動(dòng)模型,這更符合實(shí)際金融市場(chǎng);2)在模型中引入了隨機(jī)工資;3)采用CARA效用函數(shù)來(lái)刻畫基金管理者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

1 模型建立

設(shè)(Ω,,{t}t≥0)為一個(gè)完備概率空間,且{t}t≥0滿足通常條件,即{t}t≥0是右連續(xù)且-完備的,t表示截止到t時(shí)刻之前所有可用的信息。假設(shè)本文中的所有隨機(jī)過(guò)程都定義在此概率空間上。此外,假設(shè)金融市場(chǎng)是無(wú)摩擦的,沒(méi)有交易成本和稅收且無(wú)賣空限制,且金融市場(chǎng)包括一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種股票且可連續(xù)交易。

假設(shè)1無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)t時(shí)刻的價(jià)格S0(t)服從常微分方程式(1)。

(1)

式中：r(t)>0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;s0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的初始價(jià)格。

假設(shè)2金融市場(chǎng)中的股票在t時(shí)刻的價(jià)格S(t)滿足混合隨機(jī)波動(dòng)(Heston-Hull-White)模型,其價(jià)格動(dòng)態(tài)過(guò)程如式(2)所示。

(2)

本文假定Wv與Wr相互獨(dú)立,且Cov(Ws,Wv)=ρ1t,Cov(Ws,Wr)=ρ2t,其中ρ1∈[-1,1],ρ2∈[-1,1]。此外,為保證對(duì)?t∈[0,T],v(t)>0恒成立,需要滿足2κψ>σv2。

由于養(yǎng)老金的投資期限較長(zhǎng),因此考慮隨機(jī)工資更加符合實(shí)際情況。本文假定t時(shí)刻的工資水平L(t)滿足隨機(jī)微分方程式(3)。

(3)

式中：μ>0為工資的期望增長(zhǎng)率;σ為工資的波動(dòng)率。

本文研究退休前的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題,假定參與者在退休日之前,按照工資的固定比例c向養(yǎng)老金個(gè)人賬戶持續(xù)繳費(fèi),養(yǎng)老金被允許投資在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種股票,并假設(shè)t時(shí)刻投資在股票上的資金比例是π(t),則t時(shí)刻投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金比例是1-π(t)。定義X(t)為養(yǎng)老金在t時(shí)刻的財(cái)富,則DC型養(yǎng)老金的財(cái)富過(guò)程如式(4)所示。

(4)

定義1可容許策略。如果一個(gè)投資策略π(t)滿足：1)?t∈[0,T],π(t)是t可測(cè)的;隨機(jī)微分方程;4)有唯一解;則稱π(t)為可容許策略,記Π為所有可容許策略組成的集合。

在養(yǎng)老金積累階段,基金管理者的目標(biāo)是尋求一個(gè)最優(yōu)投資策略π*(t),使得其終端財(cái)富的期望效用最大化,最優(yōu)控制問(wèn)題如式(5)所示。

(5)

本文選用CARA效用函數(shù)來(lái)刻畫基金管理者的風(fēng)險(xiǎn)偏好,CARA效用函數(shù)可表示為

式中：q>0為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。

2 最優(yōu)投資策略

利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和變量分離法求解在CARA效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略。定義值函數(shù)如下：

其中邊界條件為V(T,x,r,v,l)=U(x)。

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,假設(shè)V(t,x,r,v,l)∈C1,2,2,2,2([0,T]×R×R+×R+×R+),則V(t,x,r,v,l)滿足HJB方程如式(6)所示。

(6)

式中：Vt、Vx、Vr、Vv、Vl、Vxx、Vrr、Vvv、Vll、Vxr、Vxv、Vxl、Vrl、Vvl分別表示V(t,x,r,v,l)關(guān)于變量t、x、r、v、l的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)一階最優(yōu)條件可得最優(yōu)投資策略如式(7)所示。

(7)

將式(7)代入式(6)可得如下偏微分方程：

(8)

假設(shè)方程(8)的解具有如下結(jié)構(gòu)：

計(jì)算V(t,x,r,v,l)的各階偏導(dǎo)數(shù)如式(9)所示。

(9)

將式(9)中各偏導(dǎo)數(shù)代入式(8)中可得

(10)

假設(shè)b(t,v)的形式為b(t,v)=A(t)+B(t)v,A(T)=B(T)=0

計(jì)算其偏導(dǎo)數(shù)可得

bt=At+Btv,bv=B,bvv=0

(11)

將式(11)中各偏導(dǎo)數(shù)代入式(10)中可得

化簡(jiǎn)得

通過(guò)分離變量,得到微分方程式(12)。

at+ar=0

(12)

(13)

At+(σrσvρ1ρ2qB-λr)A+κψB=0

(14)

(15)

(16)

解式(12)可得

a(t)=er(T-t)

(17)

的根的判別式。若Δ>0,

若Δ=0,

若Δ<0,

因此,式(13)的解為

(18)

解式(14)可得式(19)。

(19)

解式(15)可得式(20)。

(20)

解式(16)可得式(21)。

(21)

綜上所述,可以得到以下定理：

定理1在CARA效用函數(shù)下,養(yǎng)老金終端財(cái)富的期望效用最大化的最優(yōu)投資策略可表示為

值函數(shù)可表示為

其中,a(t)、B(t)、A(t)、m(t)、n(t)分別由式(17)、(18)、(19)、(20)、(21)給出。

3 數(shù)值分析

利用數(shù)值算例分析風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)、利率參數(shù)和波動(dòng)率等參數(shù)對(duì)基金管理者的最優(yōu)投資策略的影響。本文采用文獻(xiàn)[15,23]中的部分參數(shù)設(shè)置,基本參數(shù)設(shè)置如表1所示(另有說(shuō)明的參數(shù)除外)。

表1 基本參數(shù)Table 1 The basic parameters

3.1 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)q對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)q對(duì)基金管理者的最優(yōu)投資策略的影響如圖1所示。由圖1可知,股票的投資比例隨風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的增加而降低。這是由于隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加,基金管理者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度增加。為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),基金管理者更傾向于減少對(duì)股票的投資,而增加對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資,這符合實(shí)際的市場(chǎng)情況,進(jìn)一步說(shuō)明模型的有效性。

圖1 參數(shù)q對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.1 Effects of parameter q on the optimal investment strategy

3.2 利率參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

利率參數(shù)對(duì)基金管理者的最優(yōu)投資策略的影響如圖2所示。由圖2可知,隨著利率的均值回復(fù)速度λr變大,利率對(duì)均值的回復(fù)時(shí)間變短,利率偏離均值水平的程度變小。因此,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)幅度減小,基金管理者更傾向于增加無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例,而減少股票的投資比例。利率的波動(dòng)率σr增加,表示利率風(fēng)險(xiǎn)增加,基金管理者更傾向于減少對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例,增加對(duì)股票的投資比例。

圖2 參數(shù)λr和σr對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.2 Effects of parametersλr and σr on the optimal investment strategy

3.3 波動(dòng)率參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

波動(dòng)率參數(shù)對(duì)基金管理者的最優(yōu)投資策略的影響如圖3所示。由圖3可知,隨著股票波動(dòng)率的均值回復(fù)速度κ的增加,波動(dòng)率對(duì)均值的回復(fù)時(shí)間變短,股票的價(jià)格變化幅度減小,股票的回報(bào)變得更加可預(yù)測(cè),因此基金經(jīng)理傾向于增加股票的投資比例。股票的方差波動(dòng)率σv越大通常意味著股票的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)越高,因此基金經(jīng)理傾向于降低股票的投資比例以避免風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié) 語(yǔ)

在DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題中,基金管理者需同時(shí)考慮利率風(fēng)險(xiǎn)、波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)和隨機(jī)工資具有現(xiàn)實(shí)意義和理論價(jià)值。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,通過(guò)求解HJB方程,得到在CARA效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略。通過(guò)數(shù)值算例分析了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)、利率參數(shù)和波動(dòng)率參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。研究結(jié)果表明：隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的增大,投資于股票的比例顯著下降;利率均值回復(fù)速度和股票的方差波動(dòng)率的增加均會(huì)導(dǎo)致投資于股票的比例下降,而利率波動(dòng)率和股票均值回復(fù)速度的增加均會(huì)導(dǎo)致投資于股票的比例上升。本文不僅擴(kuò)展了原有的模型,而且使得擴(kuò)展后的模型更貼近實(shí)際市場(chǎng)。研究結(jié)果對(duì)基金管理者的投資決策具有一定的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義,為后續(xù)的研究提供一定的理論基礎(chǔ)。