一類分數階時滯微分系統的精確解及Hyers-Ulam穩定性

鄔憶萱，寇春海

(東華大學 理學院, 上海)

分數階微積分是廣義微積分的一個分支[1]。作為整數階微積分的一種推廣,分數階微積分主要研究任意階微積分理論及其應用。分數階微分算子為非局部算子,具有記憶性的特征,能很好地反映具有遺傳特性的現象和過程,因此分數階系統的研究引起了較廣泛的關注[2-3]。在多種分數階微積分定義中,Riemann-Liouville定義和Caputo定義的使用最為廣泛。

分數階微分方程的發展自然帶來了對其穩定性問題的研究。Ulam[4]最先提出了同態穩定性的問題。Hyers[5]在此問題上有了突破性的進展,給出了相關穩定性定理。此外,Rassias 等[6]通過減弱柯西差分的條件,成功地推廣了Hyers定理的結果,該研究結果引起了數學家們對泛函方程穩定性問題的關注[7]。Alsina等[8]將Hyers-Ulam穩定性的研究范圍從泛函方程領域延伸到了微分方程領域,證明了一類一階線性微分方程的Hyers-Ulam穩定性。這一基本結果目前已經被陸續推廣到差分方程和脈沖微分方程等方向[9-10]。近年來,國內外學者研究了多種分數階微分方程的Hyers-Ulam穩定[11-13],但關于分數階時滯微分方程的Hyers-Ulam穩定性的研究還較為少見。

眾所周知,時滯微分方程在自然科學的一些應用問題中時常出現。由于系統需要有限的時間來感知信息,然后像自動引擎一樣做出反應[14-17],因此幾乎所有涉及反饋控制的系統都會存在時滯。文獻 [18-20]針對n維時滯線性微分方程提出了時滯矩陣函數的概念,并利用常數變易法分別研究了單、多時滯線性微分系統柯西問題解的表示。在此基礎上,Li等[21]用類似方法研究了Riemann-Liouville分數階單時滯微分方程的精確解表示。Liu等[22]考慮了Caputo分數階單時滯微分方程的精確解及Hyers-Ulam穩定性。值得注意的是,多時滯系統的許多研究結果都是建立在系數矩陣可交換的前提下的[23-24]。Pospí?il[25]提出了不可交換矩陣的多項式定理,討論了具有多個時滯和不可交換系數矩陣的一階微分方程的精確解表示。Elshenhab等[26]采用類似方法,研究了二階多時滯微分方程的精確解表示。

受此啟發,本文研究一類具有多個時滯的Caputo分數階線性微分方程,在不要求系數矩陣可交換的前提下,得到了系統的精確解表示,并研究了其有限時間內的Hyers-Ulam穩定性,建立了充分條件,將已有的整數階研究成果推廣到了分數階微分系統。

1 預備工作

定義1[1]假設α∈C,Re(α)≥0。函數y(x)：[0,+∞)→R的α階Caputo分數階導數定義為

其中,

Caputo分數階導數的下述性質被廣泛地應用于分數階微分方程。

則有

特別地,若1<α<2,則

引理2[27]對于向量值函數φ(x),φ1(x),φ2(x)：R→Rn以及充分大的s,Laplace變換有如下性質成立：

1)對任意常數a、b,Laplace變換具有線性性,即

根據歐拉Γ函數和B函數的定義,得到下述結論。

引理3對任意常數a,b≥0及p,q>0,有如下等式成立。

此外,本文研究的分數階時滯線性方程如式(1)。

(1)

定義2假設常數K>0,任意ε>0,求得式(2)。

(2)

則稱式(1)在I上具有“Hyers-Ulam穩定性(HUS)”,并稱這樣的常數K為該方程的“HUS常數”。

2 單時滯分數階微分系統的精確解

假設式(1)中m=1,f(x)≡θ(θ為零向量),考慮單時滯線性微分系統的初始問題

(3)

其中,φ∈C2([-τ,0],Rn)。

定理1若式(3)的解y(x)及其α階導數的Laplace變換均存在,則y(x)可表示為式(4)所示。

(4)

其中,

其中k∈N+。

證明：根據引理1和引理2,對式(3)方程兩端分別作Laplace變換,可得

下面分別對M1、M2、M3作Laplace逆變換。

1)由于

結合引理5得

2)由于

對M1作Laplace逆變換的計算,可得

3)根據

再結合引理2可得

綜上所述,x>0時,式(3)的解具有如下形式：

推論1定理1中建立的時滯矩陣函數Sα(x)和Cα(x)具有如下性質：

2)Sα(x)和Cα(x)均是方程(3)的解。

證明：1)對任意k∈N+,kτ≤x<(k+1)τ時,

同上可得

綜上知推論成立。

采用常數變易法求解單時滯常微分系統,得到了相應的時滯矩陣函數[22],由本文推論1可以看出,雖然與文獻[22]中使用的直接法不同,但本文使用Laplace變換方法求解單時滯分數階微分系統,得到的時滯矩陣函數依然具有文獻[22]中時滯矩陣函數類似的性質,同樣能夠構成該齊次方程式(3)的基礎解系,從而將已有的研究成果推廣到分數階微分系統。

3 多時滯分數階微分系統的精確解

考慮多時滯非齊次分數階微分系統

(5)

式中：f為[0,∞)→Rn指數有界;φ∈C2([-τ,0],Rn)。

定理2若式(5)的解y(x)及其α階導數的Laplace變換均存在,則y(x)可表示為如式(6)。

(6)

其中,

證明：根據引理1和引理2,對式(5)方程兩端作Laplace變換可得到

又由引理4和引理5,

下面分別對H1、H2、H3、H4作Laplace逆變換。

1)由于

故

2)由于

作Laplace逆變換計算可得

3)由于

可求得

則

4)由

可得

綜上所述,x>0時,式(5)的解具有如下形式：

推論2若A1,A2,…,Am為n×n可交換非零實矩陣,即AiAj=AjAi,1≤i≠j≤m,則式(5)的解可表示為

其中,

證明：結合引理4和AiAj=AjAi,易得

將上式代入定理2中,可知結論成立。

在系數矩陣可交換的前提下得到相應的時滯矩陣函數及多時滯系統的解[24],由推論2可知,本節的結果同樣適用于系數矩陣可交換的情形,并且對應的形式與文獻[24]中建立的時滯矩陣函數類似。

定理3

是系統

(7)

的解。

上述定理表明式(6)確為式(5)的解。

4 Hyers-Ulam穩定性

定理4方程式(1)在有限時間[0,T]內具有Hyers-Ulam穩定性。

(8)

則‖Z(x)‖≤ε。對式(8)兩端分別作Laplace變換可以得到：

即

由定理2可知方程式(1)存在形如式(6)的解,設此解為y(x),則

則有

5 示例

例1考慮系統

(9)

其中,

其中,k∈N+。

例2考慮系統

(10)

則根據推論2的結論,可以得到系統的解為

其中,

6 結 語

本文利用新的時滯矩陣函數和Laplace變換,在α∈(1,2)時,研究一類具有多個時滯的n維線性α階微分系統的解的表示。本文在不要求系數矩陣可交換的前提下,利用不可交換矩陣的多項式定理,研究了多時滯系統的精確解并進行了代入驗證。其中得到的時滯矩陣函數與整數階微分系統、單時滯系統與已有研究結果中時滯矩陣函數具有類似正余弦性質,精確解的形式也囊括系數矩陣可交換的情形。利用已求得的精確解,采用Laplace變換,得到方程在有限時間[0,T]內具有Hyers-Ulam穩定性的結論。由此,本文將整數階多時滯系統精確解的研究推廣到了分數階領域,除Caputo分數階定義外,還有多種分數階定義的情形可以考慮。