基于等效地球半徑的超短波超視距時差定位方法

仇旭東，張海瑛，竇修全

(1.中國電子科技集團公司 第54研究所，石家莊 050081；2.河北省電磁頻譜認知與管控重點實驗室，石家莊 050081)

0 引言

相比短波信號而言，超短波信號的抗干擾能力更強，頻帶利用率更高，信道更加穩定，并且超短波通信設備更加輕便靈活，便于操作和攜帶，更加適用于各種作戰環境和部隊移動通信，因此，超短波通信在軍事領域應用非常廣泛[1]。隨著我國無源超視距偵測系統的不斷發展，信號偵收的有效距離得到大幅提升，大大提高了我國周邊區域的信號偵察能力。偵測系統所截獲的超視距信號，其中一些來自敵方高價值的超短波輻射源，對這些輻射源目標實現精確定位可以為我軍在戰場上占據主動提供強力支撐。

目前超短波超視距傳輸信道主要分為兩種：一種是大氣波導，另一種是對流層散射。其中，大氣波導[2]是指電磁波在靠近海平面傳播時，由于受到大氣折射的影響，導致其傳播軌跡的曲率大于地球表面曲率，致使部分電磁波陷獲在一定高度的大氣層中，形成大氣波導傳播，只有當電磁波發射仰角小于臨界仰角且電磁波的頻率高于截止頻率時，才會產生大氣波導現象，通常發生在超短波頻率較高的頻段或者更高的微波頻段。而對流層散射通信[3]是指電磁波利用對流層中不規則散射體的散射作用來實現超視距傳輸，通常發生在超短波頻段。本文考慮的是在超短波超視距無線信道背景下的定位場景，對更高頻段的微波以及發射仰角沒有特殊要求，因此選擇以對流層散射傳輸為主導來研究無線信道模型。

目前常用的定位方法，按照不同的定位參數，主要可以分為以下幾類：1)基于相位差變化率定位法[4-6]，該方法利用相互正交的相位干涉儀接收輻射源目標電磁信號的相位差，來獲得目標的角度信息，再利用相位差的變化率來獲得目標的距離信息，從而實現對目標的定位。此方法雖然精度較高，但易受信號波動影響，對多徑效應敏感，算法復雜度也比較高；2)基于多普勒頻差定位法[7-9]，該方法首先測定目標與定位站的相對速度，然后根據多普勒頻移效應，計算出目標到定位站的距離差，從而構成兩個以上的雙曲面，通過雙曲面的交點從而得到目標的位置。此方法需要高精度的頻率測量設備，且輻射源和接收設備之間的相對速度會對定位精度產生影響；3)測向交叉定位法[10-11]，該方法采用干涉儀測角原理，通過測量電磁波來波方向來測定目標相對于定位站基線的方位角，不同基線的定位站測出不同的方位角，不同方位角對應的指向線相交即可獲得目標的位置，此方法結構簡單，但定位精度受限于測向精度，對超視距目標定位效果不佳；4)時差定位法[12-14]，該方法通過多個定位站測量電磁波信號到達各定位站的時間差，每個時間差確定一條對應的雙曲線，多個時間差所對應的多條雙曲線交會，從而得到目標的位置信息。此方法原理簡單、精度高、實時性強，適用于超視距目標定位。相比于其他定位方法，時差定位法在處理復雜的多目標場景時也可以獲得較高的定位精度，因此，在許多實際應用場景中，時差定位法被廣泛采用。

對超短波時差定位方法進行無線傳輸信道的建模研究時，目前大多采用的是視距模型，但實際偵收到的超短波信號，許多來自數百公里之外的輻射源，由于受到地球曲率、對流層散射的影響，若繼續采用視距模型進行定位，將會產生較大的定位誤差。部分學者針對超視距信道模型進行了研究，鐘丹星等人[15]針對簡單球面模型在時差定位系統中存在誤差較大的問題，通過采用WGS-84地球橢球模型，建立目標位置的約束方程，有效提高了定位精度。王智顯等人[16]針對超視距目標采用平面時差定位誤差較大的問題，將信號經對流層散射的傳輸路徑近似為在一個等效球面上的弧線，相比平面時差定位，有效降低了定位誤差。李娟慧等人[17]分析了對流層散射點位置的不確定性對超視距無源定位精度的影響，認為散射點位置的不確定度會帶來相應的時差不確定度，從而影響超視距定位精度。楊豪強等人[18]介紹了一種通過數學積分的方法來計算電磁波在對流層散射傳播的軌跡，但在0°仰角附近計算比較困難。劉成國等人[19]使用高階Runge-Kutta數值微分解法，對電磁波在對流層散射中的射線描跡進行模擬計算，避免了0°仰角附近難以計算的問題。無論是積分還是微分方法計算路徑長度，都無法直接構建定位方程組，于是王翔等人[20]建立了一種鏡面反射模型，認為信號從目標到散射體與散射體到定位站的傳播路徑是鏡面對稱的直線路徑，在此模型下對時差定位的精度進行了仿真分析。為了將對流層散射傳輸路徑進行更好的近似，裴旭等人[21]對等效地球半徑模型與實際地球模型之間參數的對應關系進行了理論推導，證明在該模型下，可以簡單有效地描述電磁波經對流層散射的傳輸路徑。

本文在以上研究的基礎上，以實際應用背景和需求為牽引，針對傳統視距模型下對超短波超視距目標定位精度不高的問題，采用WGS-84地球橢球模型，同時引入對流層散射對傳輸路徑的影響，建立基于地球等效半徑的對流層散射傳播路徑的數學模型，由此建立全新的到達時差(TDOA，time difference of arrival)定位方程組，通過Chan算法與牛頓迭代法相結合對該非線性方程組進行求解，從而獲得目標的位置信息。

1 超短波超視距條件下信道模型的構建與修正

1.1 對流層散射傳輸模型

基于對流層散射的超短波超視距傳輸模型如圖1所示。目前針對超短波輻射源目標的定位體制，大都采用視距模型，即目標P與定位站M之間的水平距離d作為超短波信號的傳播路徑來構建定位模型，但實際的超短波超視距信號經對流層散射由路徑Lp和Lm到達定位站，如果繼續采用視距模型，勢必會給超視距目標的定位結果造成不可忽略的誤差，并且該誤差會隨著目標與定位站之間的距離越遠而越大，甚至直接導致定位失敗。因此，對超短波超視距目標進行定位時，需要精確建立輻射源目標到定位站之間的非直線傳播路徑的數學模型，從而構建準確的時差定位方程組以提高定位精度。

圖1 對流層散射傳輸模型示意圖

1.2 基于等效地球半徑模型的對流層散射信道修正

在基于對流層散射的超短波超視距傳輸模型下，信號經大氣折射的作用，其實際傳輸路徑是一條十分復雜的曲線，通過數學方法直接求解其長度幾乎不可能，但也不能簡單認為是輻射源到對流層散射點以及對流層散射點到定位站的直線路徑，需要將該直線路徑進行修正，使其接近真實路徑，所以考慮使用一種求解等效傳輸路徑的方法來近似得到真實的路徑長度。

大氣折射指數受大氣中溫度、濕度、氣壓等環境因素的影響，具有明顯的分層現象，且認為在各層中大氣折射率不變。對于平均高度為8～12 km的對流層來說，其內部分層效應并不明顯，因此可以認為大氣折射指數在對流層中是一個常數[22]。基于以上分析，本文利用等效地球半徑模型對超短波信號的傳輸路徑進行修正，該方法可以使超短波信號在對流層中復雜的傳輸路徑得到極大的簡化。如圖2所示，將實際地球模型下不規則的曲線路徑Lp+Lm近似為在等效地球半徑模型下的直線路徑Lpk+Lmk。實際地球半徑為OP=R0，等效地球半徑為OPk=Rk=kR0，球心角對應關系為α=kαi，k為等效地球半徑系數。根據Snell定理得到：

(1)

圖2 等效地球半徑模型與實際地球模型

式中，n為對流層散射點T處的折射指數，其值范圍為1.000 24～1.000 40，dn/dh為對流層的折射指數梯度，反映的是折射指數隨高度的變化關系，在標準大氣下，其值為-0.039×10-6/m，hp為發射端天線的高度。

本文研究的是位于地表的目標，不考慮天線高度影響，因此hp= 0。所以，式(1)可以寫為：

(2)

在實際地球模型中：輻射源目標位于地球表面P處，其輻射的超短波信號到定位站M的傳輸路徑為Lp+Lm。通過式(2)計算出等效地球半徑系數k≈ 1.331，用等效地球半徑模型代替實際地球模型。在等效地球半徑模型中：Pk對應點P，Tk對應點T，Mk對應點M，Lpk+Lmk對應實際信號傳輸路徑Lp+Lm。

在實際地球模型下，在△OPT中，由正弦定理，可以求得目標P到定位站M之間的直線距離：

l=lp+lm=

(3)

在等效地球半徑模型下，在△OPkTk中，由正弦定理，可以求得Pk到Mk的長度L為：

L=Lpk+Lmk=

(4)

式(4)為實際地球模型中信號的真實傳輸路徑Lp+Lm，R0為地球赤道半徑，h為對流層散射點距地面的高度，α為輻射源目標到定位站距離所對應的地心角。

2 基于等效地球半徑模型的TDOA定位優化算法

2.1 經緯度坐標與地心直角坐標坐標系轉換

地心直角坐標系就是常用的笛卡爾空間直角坐標系，該坐標系以橢球球心為坐標原點，本初子午面與赤道交線為X軸，橢球南北方向的旋轉軸為Z軸，赤道面與Z軸正交方向為Y軸，三軸構成右手坐標系。大地經緯度坐標系就是常用的經緯度與高度坐標，緯度是線面角，是坐標點的法線與赤道面的夾角，所以緯度范圍為[-π/2，π/2]，北緯為正，南緯為負；經度是面面角，是坐標點所在子午面與本初子午面的夾角，所以經度范圍為[-π，π]，東經為正，西經為負。兩種坐標系表達的都是空間中的同一點，二者可以相互轉化。從大地經緯度坐標轉換為地心直角坐標：

(5)

其中：x，y，z為地心直角坐標系下的坐標，J，W，H為大地經緯度坐標系下的坐標，分別為經度、緯度和高度；e為WGS-84橢球模型的離心率；Rl為目標位置卯酉圈半徑，其計算公式為：

(6)

其中：R0為地球赤道半徑，地心直角坐標系中的點(x，y，z)滿足如下關系式：

(7)

從地心直角坐標轉換為大地經緯度坐標：

(8)

(9)

(10)

本文考慮對位于地表的超視距輻射源目標進行定位，故設高度H= 0。于是式(7)可以簡化為：

(11)

以上為空間直角坐標系與大地經緯度坐標系之間的轉換關系。在實際工程中，輻射源的位置信息與定位站的站址信息均以大地經緯度坐標系下的經度、緯度和高度來表示，為了使算法中計算過程簡潔明了，故先將輻射源和定位站的位置坐標轉化為空間直角坐標系下的坐標，最后計算完成后，再逆變換為大地經緯度坐標系下的經度、緯度和高度。

2.2 基于修正模型的TDOA定位方程組求解原理

首先進行Chan算法的理論推導。當定位站數量為3個時，時差定位系統由一個主站及兩個輔站構成，各站的空間位置為(xi，yi)T，(i= 0，1，2)，i= 0表示主站，i= 1，2分別表示兩個輔站。設目標位置為(x，y)T，ri表示目標與第i站之間的距離，Δri表示目標到第i個輔站與到主站之間的距離差。根據時差定位原理，構建時差定位方程組為：

(12)

式中，c= 3×108m/s，ti為信號到達第i個輔站與到達主站的時差測量值，稱為第i站的TDOA測量值。對該方程組的求解過程如下：

將式(12)整理化簡后可得：

(x0-xi)x+(y0-yi)y=ki+r0Δri

(13)

其中：

(14)

當i分別取1、2時，得到的兩個方程構成了一個非線性方程組。為了求解該方程組，把r0看作是一個已知量，將上式寫成矩陣形式：

AX=F

(15)

其中：

(XTAT-FT)(AX-F)=

XTATAX-FTAX-XTATF+FTF=

XTATAX-(ATF)TX-XTATF+FTF

(16)

令其偏導為0，即：

2ATAX=2ATF

X=(ATA)-1ATF

(17)

于是求得方程AX=F的最小二乘解為：

(18)

代入式(18)，可以得到：

(19)

式中，

(20)

(21)

式中，

(22)

可以求得：

(23)

在利用3個定位站對地表輻射源目標進行定位的情況下，除了兩個時差方程，還需要第三個方程：地球表面方程，作為輻射源位置的約束條件。于是，定位方程組可以寫成：

(24)

(25)

整理化簡得到：

AX=F

(26)

其中：

此時，可以利用式(15)～(23)推導的Chan算法求解過程對式(26)進行求解，獲得目標位置的信息，然后將該位置信息作為初值，采用牛頓迭代法進行迭代，實現目標位置信息的精確求解，過程如下：

將兩個時差方程和標準橢球方程改寫成如下形式：

(27)

其中：S2= [x2，y2，z2]，令P(S)= [P1，P2，P3]T，對其進行求導得：

(28)

迭代公式：

Sk+1=Sk-[P′(Sk)]-1P(Sk)

(29)

終止條件：

[(Sk+1-Sk)(Sk+1-Sk)T]1/2<ε

(30)

ε為一個很小的正值。

當使用基于等效地球半徑模型對對流層散射路徑進行修正時，只需將上述求解過程中ri的計算式用式(31)代替即可：

(31)

其中：k為等效地球半徑系數，R0為地球赤道半徑，h為對流層散射點高度，αi為輻射源目標距第i個定位站距離所對應的地心角。

2.3 定位性能理論推導

為驗證本文所提定位方法的有效性，用幾何精度因子(GDOP，geometric dilution of precision)來衡量定位性能，GDOP值越小，時差定位的精度就越高，本小節對時差定位的GDOP求解過程進行推導。

對式Δri=ri-r0，(i= 1，2，…，m)等號兩邊求微分得到：

d(Δri)=(fix-f0x)dx+(fiy-f0y)dy+(fiz-f0z)dz+(k0-ki)

(32)

其中：

(33)

寫成矩陣形式dΔr=fdr+k，其中：

(34)

令：

(fTf)-1fT=B=[bij]3×3

(35)

則有：

(36)

由該式可知，定位誤差dr與測時誤差、站址誤差、輻射源目標相對各定位站位置有關。各時差測量都包含主站的測量誤差，因此Δri的誤差是相關的。各定位站均為固定站，因此站址誤差互不相關。于是定位誤差的協方差矩陣為：

B{E[dΔr·dΔrT]+E[k·kT]}BT

(37)

式中，

(38)

(39)

(40)

代入式(39)可得：

(41)

令E[dΔr·dΔrT]+E[k·kT]= [σij2]3×3，把式(38)和(41)代入，有：

(42)

于是，時差定位的GDOP為：

(43)

3 仿真驗證與分析

3.1 仿真條件

采用WGS-84地球橢球模型，橢球第一偏心率的平方e2= 0.006 694 379 990 13，地球赤道半徑R0= 6 378.137 km。主站位置為(E114°，N38°)，以主站為圓心，作半徑為50 km的距離圓，兩個輔站位于該距離圓上，通過改變兩個輔站與主站正北方向的夾角，便可以改變三站的相對位置。本仿真兩個輔站位置分別位于主站正北方向順時針旋轉60°與逆時針旋轉60°處，即兩個輔站與主站基線夾角為120°，3個站的位置坐標如表1所示。

表1 三站位置坐標

3.2 時差測量精度對定位性能的影響分析

定位站為固定站，其位置信息由北斗或GPS系統提供，精度通常在5 m以內，所以站址誤差可以忽略不計。因此在定位站分布不變的情況下，時差參數是影響定位精度最重要的因素，因為時差信息中包含著目標與定位站之間的距離信息，直接影響著時差定位方程組的解算結果。分別設時差精度為100 ns和200 ns，畫出不同時差精度下的GDOP誤差分布曲線，如圖3所示。

圖3 不同時差精度對定位精度影響

由圖3可知，時差精度對定位精度的影響很大，在定位站為固定站時，時差精度越高，定位精度也越高，相應的無解區域也會更小，并且當目標與定位站距離一定時，其相對定位站的方向對定位精度的影響也很大。因此，在實際工程中，提高時差精度是提高定位精度的有效方法，當定位站數量足夠多時，根據信號方向選取合適的定位站也可以有效提高定位精度。

3.3 鏡面反射模型與本文修正模型的定位性能對比

鏡面反射模型[20]雖引入非視距引起的距離誤差，但并未考慮實際信號經對流層散射的傳輸路徑為曲線，而是將目標到散射點、散射點到定位站這兩段路徑視為鏡面對稱的兩條直線，在此模型下信號的傳輸路徑為：

L=lp+lm=

(44)

通過3.2節的仿真分析可知，時差測量誤差會影響定位精度，該時間誤差反映到空間上，對應于信號不同傳輸路徑的距離差。對于多站定位來說，每個定位站收到的信號所對應的傳輸路徑不同，因此只有準確估計信號在不同定位站下對應的傳輸路徑，才能提高定位精度。為此本文提出使用等效地球半徑法將對流層散射傳輸路徑進行修正，通過對流層高度與折射梯度計算出等效地球半徑系數k，由1.2節推導出信號在該模型下的傳輸路徑為：

L=Lp+Lm=

(45)

下面對這兩種對流層散射時差定位模型進行仿真和對比分析，來驗證本文所提方法的有效性。設目標經度范圍為E112～E116°，緯度范圍為N41～N44°，主站到目標區域距離范圍為333.6 ～687.9 km，符合超視距定位的背景。時差測量誤差為10 ns，對流層散射點距地面高度設為10 km，不考慮站址誤差與接收天線的高度，對上述兩種模型下時差定位的GDOP進行仿真，結果如圖4、圖5所示。

圖4 鏡面反射模型下定位誤差

圖5 等效地球半徑模型下定位誤差

由圖可知，當定位站和時差測量誤差不變時，對同一位置目標進行定位時，采用等效地球半徑模型的定位誤差更小，當目標位置為(E113.8°，N43.2°)時，鏡面反射模型的定位誤差為710.3 m，等效地球半徑模型的定位誤差為660.8 m，定位誤差降低了6.97%。

下面分析當目標與定位站方位角不變時，不同距離下等效地球半徑模型對定位誤差的影響，結果如表2所示，當目標與定位站距離接近視距范圍時，等效地球半徑模型與鏡面反射模型定位誤差比較接近，隨著目標與定位站的距離越來越遠，等效地球半徑模型的優勢越發明顯，當目標與定位站距離為600 km時，等效地球半徑模型的定位誤差大約降低了7.79%，證明該模型在超視距定位背景下有更好的定位精度。

表2 不同距離下等效地球半徑模型對定位誤差的影響

4 結束語

本文研究了對流層散射信道下的超短波超視距時差定位方法，在考慮地球曲率對定位精度影響下采用WGS-84橢球模型的同時，通過地球等效半徑模型，構建了全新的對流層散射信道的數學模型，突破了地面定位站對視距目標定位的限制。通過Chan算法與牛頓迭代法相結合，實現了對超短波超視距目標位置信息的有效解算。通過試驗仿真分析了時差測量誤差對定位精度的影響，并且將等效地球半徑模型與傳統鏡面反射模型進行對比，結果表明在超視距定位場景下，通過等效地球半徑模型建立的信號傳輸路徑更加接近實際，可以有效降低定位誤差，具有一定的工程應用價值。在此基礎上，之后的研究可以考慮對流層散射點高度對時差定位精度的影響，對信道模型進行進一步的修正，使定位結果更加準確。