基于卡爾曼濾波的激光外差干涉位移測量誤差補償

周志鵬， 樓盈天， 王升帆， 陳 宇， 陳本永

（浙江理工大學 信息科學與工程學院，浙江 杭州 310018）

1 引 言

激光外差干涉測量具有分辨率高、抗干擾能力強等優(yōu)點，被廣泛應用于超精密測量、工業(yè)制造等領域，是生產(chǎn)精密零部件和檢測的關鍵技術［1-3］。在激光干涉位移測量中，可采用角錐棱鏡或者平面鏡作為測量鏡。由于測量鏡與被測對象剛性連接，位移測量結(jié)果存在多自由度運動誤差。以角錐棱鏡為測量鏡，位移測量結(jié)果與偏擺、俯仰和滾轉(zhuǎn)三個轉(zhuǎn)角誤差以及垂直、水平直線度誤差兩個平移誤差耦合。角錐棱鏡隨被測對象旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)角雖然不改變反射光束方向，但會帶來測量光軸上的線位移測量誤差，且轉(zhuǎn)角和直線度誤差耦合而產(chǎn)生光束平移，導致波前相位移動而產(chǎn)生額外的位移測量誤差。相較于角錐棱鏡，平面鏡因其特性，其位移測量結(jié)果不受滾轉(zhuǎn)誤差、垂直與水平直線度誤差的影響，只與偏擺、俯仰兩個轉(zhuǎn)角誤差耦合。平面鏡隨被測對象旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)角會引入測量光軸上的位移測量誤差與反射光束方向變化而產(chǎn)生的位移測量誤差。平面鏡位移測量相對容易實現(xiàn)轉(zhuǎn)角誤差解耦［4-5］。

為消除上述平面鏡旋轉(zhuǎn)帶來的位移測量影響，需先測出測量鏡轉(zhuǎn)角［6］，再根據(jù)轉(zhuǎn)角與位移的解耦數(shù)學模型對位移進行補償。相比于偏振泄露等因素造成的非線性誤差，測量鏡轉(zhuǎn)角誤差會給位移測量結(jié)果帶來更大的影響［7-8］。目前，激光外差干涉儀轉(zhuǎn)角測量有激光準直方法［9-11］，該方法在測量位移的同時，用位置敏感探測器（Position Sensitive Detector， PSD）等輔助工具探測光斑位置的變化來測量轉(zhuǎn)角。Feng 等［12］提出了一種可進行六自由度同時測量的激光外差干涉裝置，采用外差干涉原理測量位移，轉(zhuǎn)角通過位置光電探測器和凸透鏡測得的光斑位置偏移量算得。Zhang 等［13］提出了一種帶有轉(zhuǎn)角補償?shù)募す馔獠罡缮鎯x，改進光路設計用偏振分光鏡PBS 把測量光另分開一束結(jié)合凸透鏡和位置敏感探測器進行測量鏡的轉(zhuǎn)角測量。Ren 等［14］也是采用位置敏感探測器和凸透鏡對二維轉(zhuǎn)角進行測量，建立姿態(tài)角測量模型和分析光斑畸變，并且采用樣條插值法減小了PSD 非線性的影響。Wang 等［15］提出轉(zhuǎn)角測量系統(tǒng)，還分析了透鏡和PSD 軸向、徑向等安裝偏離誤差并且進行校正，提高了轉(zhuǎn)角測量精度。

這類激光準直方法大多利用凸透鏡和位置敏感探測器探測光斑位置變化來進行轉(zhuǎn)角測量，然后根據(jù)測得轉(zhuǎn)角對位移進行補償。因此，位移測量精度取決于轉(zhuǎn)角的測量精度，而轉(zhuǎn)角的測量精度取決于光斑位置變化量的探測精度。但是在實際應用中，探測器噪聲等因素限制了光斑位置測量的穩(wěn)定性和準確性，導致后續(xù)轉(zhuǎn)角測量誤差，為此需要對光斑位置信號進行降噪處理。

本文利用PSD 檢測激光外差干涉儀測量鏡轉(zhuǎn)角導致的光斑位置變化，通過輸入光斑位置信號觀測數(shù)據(jù)，采用卡爾曼濾波對光斑位置狀態(tài)進行預測，對含噪聲的光斑位置信號進行處理，求得誤差為最小的真實信號估計值［16-19］，從而對光斑位置信號進行降噪，獲得更為準確的轉(zhuǎn)角測量結(jié)果，再根據(jù)補償模型對位移測量結(jié)果進行補償，最終實現(xiàn)高精度的激光外差干涉位移測量。

2 基于卡爾曼濾波算法的光斑位置測量

2.1 測量原理

PSD 能夠根據(jù)探測光斑位置輸出4 路光電流［20-21］。將PSD 的4 個光電流進行運放后，可以得到包括光斑位置水平方向電壓信號Vx、垂直方向電壓信號Vy和總電壓信號Vsum，分別表示為：

式中：IA，IB，IC和ID是二維PSD 表面電極產(chǎn)生與光斑位置相關聯(lián)的4 個光電流，R是運放電路的等效電阻。

通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC 對PSD 三路代表光斑位置的直流電壓進行采集，F(xiàn)PGA 采用卡爾曼濾波算法對ADC 采集的直流電壓信號進行濾波去噪。以電壓信號Vx為例，建立卡爾曼預測信號電壓模型為：

對信號電壓Vx進行最優(yōu)狀態(tài)估計，即此刻濾波后的電壓為：

式中：Vxk為此時ADC 采集到的信號電壓Vx，Gk為卡爾曼濾波增益。Gk可表示為：

式中：Pk-1為上一刻的電壓估計誤差協(xié)方差，q為過程噪聲協(xié)方差，該值反映相信電壓信號預測值的程度。最后更新電壓估計誤差協(xié)方差為：

1.3 口腔黏膜炎分級標準［12］ 參照WHO抗癌藥急性及亞急性毒性反應分級標準，將口腔潰瘍分為0～3度，0度:無任何口腔不適;I度:口腔黏膜干燥、潮紅、變薄，未有破損，進食時可有輕觸痛;Ⅱ度:局部口腔黏膜有輕微破損、脫皮，破損灶不超過3個，范圍不超過3 mm ×3 mm，進食時伴有明顯疼痛;Ⅲ度:口腔黏膜多處潰爛、出血，伴有劇烈疼痛，且范圍超過3 mm×3 mm，不能進食。

根據(jù)式（6），可得到卡爾曼濾波降噪后的電壓信號V′x，同理可以得到降噪后的電壓信號V′y和V′sum。最后對濾波后的三路電壓信號進行運算，可得到光斑的二維位置信息為：

式中：w為位置敏感探測器探測面的橫向邊長，h為位置敏感探測器探測面的縱向邊長。

綜上，基于卡爾曼濾波降噪的光斑位置測量的具體流程如圖1 所示。首先對PSD 三個端口電壓信號進行同時采集，然后對這三個電壓信號進行卡爾曼濾波；在濾波算法中，先給濾波電壓值Vk-1和電壓估計誤差協(xié)方差Pk-1賦初值，再修正先驗電壓值和先驗電壓估計誤差協(xié)方差，算出實時采集的電壓與先驗電壓估計值的差，對濾波輸出電壓Vk、卡爾曼增益Gk和電壓估計誤差協(xié)方差Pk進行預測；預測完再次循環(huán)進行修正，不斷迭代，最終輸出穩(wěn)定的位置電壓信號。對PSD 三個端口的位置電壓同時進行卡爾曼濾波降噪后，再根據(jù)位置電壓信號和光斑位置的關系式即可得到去噪后的光斑二維位置。

圖1 卡爾曼濾波流程框圖Fig.1 Block diagram of Kalman filter flow

2.2 位置電壓信號卡爾曼濾波降噪仿真

由于PSD 三個代表位置的信號端口輸出的是直流電壓信號，實際進行AD 采樣時這些端口的位置信號呈現(xiàn)幅值再疊加含高斯白噪聲信號，當光斑位置改變時，幅值也跟著改變。為了驗證卡爾曼濾波降噪算法的可行性，使用MATLAB軟件進行位置電壓信號卡爾曼濾波降噪仿真。以其中一個端口電壓信號為例，如圖2（a）所示，選擇實驗時真實采集到的有用信號恒為0.4 V 的直流電壓信號為理想信號，一段時間后該理想位置電壓信號變?yōu)?.25 V。選擇均值為0，在±1.5 mV 均勻隨機分布的高斯白噪聲作為噪聲信號，如圖2（b）所示，理想信號和高斯白噪聲疊加作為仿真輸入信號。設置濾波器迭代10 000次，過程噪聲協(xié)方差q值取10-6，測量噪聲協(xié)方差r值取0.05，仿真結(jié)果如圖2（c）和圖2（d）所示。

圖2 卡爾曼濾波仿真效果Fig.2 Kalman filter simulation effect

圖2 （c）是卡爾曼濾波后信號仿真結(jié)果，可以看出卡爾曼濾波過程需要1 500 次迭代，但若算法在FPGA+ARM 架構(gòu)上實現(xiàn)，運算速度能達到10 MHz 以上，意味著最多0.15 ms 延遲完成濾波，可滿足光斑位置變化的測量要求。圖2（d）是濾波信號與理想信號差值的仿真結(jié)果，穩(wěn)定后的濾波信號與理想信號差值從±1.5 mV 降到±0.14 mV，輸出的電壓信號中毛刺大幅減小。仿真結(jié)果表明，卡爾曼濾波具有較好的降噪效果，經(jīng)過電壓與光斑位置換算關系進行運算后，能夠?qū)崟r得到更為準確的PSD 光斑位置信息。

3 激光外差干涉位移測量及角度補償系統(tǒng)

激光外差干涉位移測量及角度補償系統(tǒng)裝置如圖3 所示。He-Ne 激光器發(fā)出兩正交偏振且不同頻率的光，經(jīng)PBS 反射的s偏振光經(jīng)過1/4波片QWP1和平面反射鏡MR1反射，再經(jīng)過QWP1后變成p偏振光作為參考光，而從PBS 透射的p偏振光依次經(jīng)過QWP2和MR2反射，再次經(jīng)過QWP2后變成s偏振光并作為測量光。測量光和參考光經(jīng)過BS 分為兩路，一路經(jīng)過與兩偏振方向呈45°偏振片P2后在光電探測器PD 處形成干涉信號；另一路經(jīng)過偏振片P1濾除掉參考光后，入射到位置敏感探測器PSD 上作為角度測量光。假設作為移動測量鏡的MR2移動的距離為S，探測器PD 處干涉信號的相位也發(fā)生變化，通過對干涉信號相位進行解調(diào)可以得到移動距離：

圖3 激光外差干涉位移測量及角度補償系統(tǒng)Fig.3 Laser heterodyne interferometric displacement measurement and angle compensation system

實際上，測量鏡MR2在移動過程中會隨著被測物體偏轉(zhuǎn)而產(chǎn)生轉(zhuǎn)角。從圖3 中可以看到，MR2偏轉(zhuǎn)使得反射測量光的路徑和光程發(fā)生變化，帶來位移測量誤差。測量鏡產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角能夠體現(xiàn)在激光光斑位置在PSD 探測面的變化上，通過分析激光光斑位置的變化可以算出轉(zhuǎn)角，再根據(jù)轉(zhuǎn)角與位移補償模型對位移進行補償。

由于平面反射鏡的特性，滾轉(zhuǎn)角帶來的位移測量誤差影響可以忽略，因此這里主要對俯仰角和偏擺角進行測量。平面反射鏡會產(chǎn)生偏擺角β和俯仰角α。以產(chǎn)生偏擺角為例，如圖3 所示，光束在水平和豎直方向分別產(chǎn)生2β和2α的角度偏移，最終經(jīng)過凸透鏡后在位置敏感探測器PSD 匯聚成一個光點，由PSD 探測到激光光斑在兩個方向的偏移量?xPSD和?yPSD，求得俯仰角和偏擺角為：

式中：?xPSD是激光光斑在水平方向的偏移量，?yPSD是激光光斑在豎直方向的偏移量，f是凸透鏡的焦距。根據(jù)幾何關系［22］可推出位移補償公式為：

式中：S0表示PBS 和MR2之間的距離，S1表示PBS 和PD 之間的距離，S表示補償前系統(tǒng)測得的移動測量鏡的位移，S′表示補償后系統(tǒng)測得的移動測量鏡的位移，Hz表示激光光斑中心到y(tǒng)軸的距離，Hy表示激光光斑中心到z軸的距離。

4 實驗及結(jié)果分析

為驗證本文位移測量及角度補償效果，實驗搭建了激光外差干涉測量裝置，如圖4 所示。它包括雙頻激光器、偏振分光鏡、四分之一波片、平面反射鏡、偏振片、凸透鏡、光電探測器和位置敏感探測器。其中，雙頻激光器采用美國Agilent公司的5517D 型激光器，波長為632.991 37 nm，位置敏感探測器采用美國索雷博公司的PDP90A 探測器，光電探測器采用美國索雷博公司的PDA36A2 探測器。

圖4 激光外差干涉位移測量補償裝置Fig.4 Compensation devices of laser heterodyne interference displacement measurement

為實現(xiàn)位移與轉(zhuǎn)角的同時測量，采用上海宇志通信公司的MFSS6842 信號處理板進行位移測量信號處理，AD 采樣速度最高可達125 MHz，輸入電壓為±5 V，14 位分辨率，滿足位移干涉信號的采集和信號處理要求；采用上海芯驛電子科技有限公司AX7Z010 開發(fā)板及AD7606 模塊負責位置敏感探測器PSD 信號的AD 采集和處理，AD 采樣速度最高可達200 kS/S，輸入電壓為±5 V，16 位分辨率，采集精度能夠達到0.15 mV，能夠準確測量PSD 位置電壓信號；最后，將兩塊信號處理板處理后得到相位和濾波后直流電壓值上傳到LabVIEW 上位機，在上位機進行運算得到位移、轉(zhuǎn)角測量結(jié)果及補償后的位移測量結(jié)果。

4.1 光斑位置穩(wěn)定性測量實驗

為驗證所設計去噪算法的可行性，首先進行了光斑位置穩(wěn)定性測試實驗。將測量平面反射鏡安裝在美國Thorlabs 公司的六自由度轉(zhuǎn)臺MAX606M 上跟隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動5×10-4°后靜止，記錄15 s 未去噪處理的原始光斑位置、卡爾曼濾波后的光斑位置以及索雷博自帶去噪算法得到的光斑位置，然后轉(zhuǎn)臺再進行轉(zhuǎn)角運動如此反復記錄多組數(shù)據(jù)，對這3 組不同算法下得到的光斑位置數(shù)據(jù)進行對比。以y方向激光光斑位置測量為例，穩(wěn)定性測量實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 光斑位置穩(wěn)定性測量實驗結(jié)果Fig.5 Experimental results of spot position stability measurement

從圖5 中數(shù)據(jù)可以看到，F(xiàn)PGA 得到的原始未去噪處理的光斑位置、卡爾曼濾波后的光斑位置與索雷博自帶去噪算法得到的光斑位置存在一定偏差，但相對位置的變化趨勢是一致的，根據(jù)式（13）和式（14），轉(zhuǎn)角測量需要測得的是光斑位置的相對變化量，這驗證了卡爾曼濾波算法可用于轉(zhuǎn)角的測量。截取第一段數(shù)據(jù)放大進行顯示，索雷博去噪算法得到的光斑位置最大抖動偏差為0.8 μm，最小抖動偏差為-0.4 μm，抖動標準差為0.23 μm。未去噪處理的原始光斑位置抖動較為明顯，最大抖動偏差達到了2.5 μm，最小抖動偏差為-1.58 μm，抖動標準差為0.52 μm，而經(jīng)卡爾曼濾波后光斑位置的最大抖動偏差為0.5 μm，最小抖動偏差為-0.3 μm，抖動標準差降至0.18 μm。由此可知，卡爾曼濾波算法可以有效降低位置敏感探測器的測量噪聲。

4.2 角度測量驗證實驗

為了驗證角度測量的準確性，同樣將測量平面反射鏡安裝在美國Thorlabs 公司的六自由度平臺MAX606M 上跟隨平臺轉(zhuǎn)動，該平臺的轉(zhuǎn)角精度為1.031 4×10-6°（0.018 μrad）。以俯仰角測量為例，控制MAX606M 依次做5 次俯仰運動，每次俯仰0.005°，將測量得到的角度跟索雷博六自由度平臺的轉(zhuǎn)角進行比較，實驗結(jié)果如圖6 所示。

圖6 角度測量對比實驗結(jié)果Fig.6 Experimental results for comparison of angle measurement

為顯示清晰，圖6 藍色的六自由度轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)角曲線上移0.001°。從圖6 可以看出，測量系統(tǒng)卡爾曼濾波算法的延遲較小，具有較好的實時性，濾波后光斑位置穩(wěn)定性好，測得轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)與索雷博六自由度轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)偏差在±1.38×10-4°內(nèi)，符合角度測量精度要求。角度測量結(jié)果表明，該系統(tǒng)滿足角度測量的精度要求，可以對激光外差干涉位移測量進行補償。

4.3 激光外差干涉位移測量補償實驗

為驗證實際位移測量的補償效果，以分辨率為0.1 μm 的德國PI 公司的M-531.DD 導軌為測量對象，將測量平面反射鏡固定安裝在M-531.DD 導軌起始位置上，M-531. DD 導軌起始位置距離激光器50 cm。轉(zhuǎn)角引入的位移量與測量鏡平面反射鏡的轉(zhuǎn)動支點位置有關，這里測量鏡轉(zhuǎn)動支點與導軌安裝平臺中心x軸方向的距離為1 cm，與導軌安裝平臺中心y軸方向的距離為0.8 cm。

實驗時，控制導軌以1 mm/s 運動速度步進，每次步進后記錄測量位移和測量轉(zhuǎn)角，一共步進200 次，總移動位移為200 mm。系統(tǒng)測得俯仰和偏擺角度測量結(jié)果如圖7 所示，位移補償前后對比測量結(jié)果如圖8 所示。

圖7 激光外差干涉位移測量系統(tǒng)測得的測量鏡轉(zhuǎn)角Fig.7 Angle of measuring mirror measured by laser heterodyne interferometric displacement measuring system

圖8 位移補償前后對比Fig.8 Comparison before and after displacement compensation

由圖7 可以看出，測量鏡在M-531.DD 線性導軌的0~200 mm 行程內(nèi)，偏擺角最大為2.97×10-4°，最小為 -2.072×10-3°，俯仰角最大為2.986×10-3°，最小為-2.44×10-4°。為方便觀察，將補償后的位移測量數(shù)據(jù)向上整體平移10 mm。由圖8 可以看出，補償前位移測量結(jié)果與M-531. DD 線性導軌的位移數(shù)據(jù)趨勢不一致，其偏差結(jié)果呈現(xiàn)出“拋物線”曲線，最大偏差為2.39 μm，最小偏差為-3.16 μm，標準差為1.55 μm；補償后位移測量數(shù)據(jù)與M-531.DD 線性導軌位移數(shù)據(jù)的最大偏差降至0.68 μm，最小偏差降至-0.61 μm，標準差降至0.29 μm，驗證了本文位移補償方法的有效性。

5 結(jié) 論

本文針對激光外差干涉儀在測量過程中由被測對象轉(zhuǎn)角引入位移測量誤差的問題，提出了一種激光外差干涉儀轉(zhuǎn)角誤差測量及位移補償?shù)姆椒ǎㄟ^FPGA+ARM 架構(gòu)對位置敏感探測器信號進行采集，使用卡爾曼濾波算法對光斑位置信號進行去噪，提高光斑位置的測量精度，得到更為準確的轉(zhuǎn)角測量結(jié)果，最后根據(jù)補償模型對位移進行補償。為驗證轉(zhuǎn)角測量及補償方法的可行性，進行了光斑位置穩(wěn)定性、角度測量精度、位移測量及補償實驗。實驗結(jié)果表明，所提出的卡爾曼濾波方法能夠有效減小位置敏感探測器的噪聲誤差，最大抖動偏差從2.5 μm 減小到0.5 μm，最小偏差從-1.58 μm 減小到-0.3 μm，抖動標準差從0.52 μm 減小到0.18 μm；系統(tǒng)測量的角度與索雷博六自由度轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)角偏差在±1.38×10-4°內(nèi)；經(jīng)過位移補償，位移測量結(jié)果與M-531. DD 導軌定位數(shù)據(jù)的最大偏差從2.39 μm 減小到0.68 μm，最小偏差從-3.16 μm 變到-0.61 μm，標準差從1.55 μm 減小到0.29 μm，有效補償了測量鏡在移動過程中轉(zhuǎn)角帶來的位移測量誤差，提高了位移測量精度，可應用于微納米測量等領域。