基于擴(kuò)展有限元法梁裂紋擴(kuò)展有限元分析

胡啟明，楊佳霖

(中國建筑第八工程局有限公司東北分公司,遼寧 大連 116000)

0 引言

混凝土是最常用的建筑材料,廣泛應(yīng)用于土木工程、水利工程、礦業(yè)工程等領(lǐng)域。斷裂特性以及斷裂參數(shù)對工程的安全及耐久性具有重要影響[1]。近些年,由于混凝土結(jié)構(gòu)破壞斷裂而引發(fā)的重大事故時(shí)有發(fā)生,造成了極其慘痛的后果,包括人員的傷亡和財(cái)產(chǎn)的損失。

混凝土材料具有抗拉強(qiáng)度低、易開裂等特點(diǎn),而且絕大部分時(shí)間混凝土結(jié)構(gòu)都是帶裂縫情況下工作。因此,研究出混凝土開裂破壞的機(jī)理和裂紋擴(kuò)展的趨勢,并確定其中合理的斷裂參數(shù),具有重大的理論價(jià)值和實(shí)際意義[2]。然而,混凝土結(jié)構(gòu)作為一種復(fù)合材料,其機(jī)理結(jié)構(gòu)并非均質(zhì),研究其斷裂過程將變得十分復(fù)雜,想要預(yù)測其裂紋的斷裂開展路徑,并確定各種斷裂參數(shù)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。目前,國內(nèi)外研究人員對混凝土材料損傷及斷裂破壞進(jìn)行了大量研究,如何對混凝土材料斷裂破壞進(jìn)行有效的數(shù)值模擬也是斷裂力學(xué)研究的熱點(diǎn)。

混凝土裂紋擴(kuò)展數(shù)值模擬現(xiàn)在有很多有效的途徑,例如:邊界元法、無網(wǎng)格法、有限元法等,其中有限元方法數(shù)學(xué)理論較為成熟,并且也有各種成熟的商業(yè)軟件作為支撐,讓其成為了目前實(shí)際工程應(yīng)用中使用最為廣泛的方法。盡管如此,傳統(tǒng)方法并不能有效模擬出裂紋擴(kuò)展的路徑,因?yàn)閭鹘y(tǒng)有限元方法只能使用自由面來模擬裂紋表面,當(dāng)裂紋進(jìn)行擴(kuò)展時(shí),計(jì)算網(wǎng)格不斷變化用來保證裂紋始終位于自由面[3]。而擴(kuò)展有限元相比較于常規(guī)方法,在判別裂紋擴(kuò)展時(shí)更具有優(yōu)勢,其中引入了富集函數(shù),它能有效判別裂紋位移特性,使裂紋獨(dú)立于計(jì)算網(wǎng)格,這樣就不需要在裂紋擴(kuò)展時(shí)不斷變化網(wǎng)格以符合裂紋擴(kuò)展趨勢,解決了傳統(tǒng)有限元方法在求解此問題時(shí)遇到的困難[4]。

本文基于擴(kuò)展有限元,對混凝土梁三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)中的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬,并且繪制荷載-裂紋張開曲線與既有實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比,進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值模擬的可靠性,并且求解不同加載時(shí)間段的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1 擴(kuò)展有限元法(XFEM)的基本原理

1.1 虛擬節(jié)點(diǎn)法

擴(kuò)展有限元(Extended Finite Element Method)的中心思想是利用附加函數(shù),即富集區(qū)函數(shù)來改進(jìn)傳統(tǒng)有限元,使得裂紋可以獨(dú)立于計(jì)算網(wǎng)格。富集區(qū)網(wǎng)格如圖1所示。

當(dāng)使用擴(kuò)展有限元模擬裂紋擴(kuò)展問題時(shí),因?yàn)榱鸭y兩側(cè)的位移場被間斷,位移呈現(xiàn)跳躍式變化,并且裂紋尖端區(qū)域存在應(yīng)力集中現(xiàn)象[5]。為了能夠描述這種裂紋兩側(cè)的不連續(xù)位移和裂紋尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象,擴(kuò)展有限元對于包含裂紋的區(qū)域采用的位移場可表示為[6]:

(1)

1.2 裂紋擴(kuò)展模擬方法

混凝土材料一般被視為脆性材料,本文應(yīng)用有限元軟件ANSYS,使用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則。最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則認(rèn)為,混凝土裂紋是沿著最大拉應(yīng)力的方向進(jìn)行開裂,其裂縫條件滿足以下方程[8]。

(2)

沿著裂縫方向的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ可表示為:

(3)

其中,KⅠ為一型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子;KⅡ?yàn)槎土鸭y應(yīng)力強(qiáng)度因子;θ0為開裂角[9]。

基于最大周向拉應(yīng)力理論的裂紋臨界起裂角θ0可由求解式(2)推導(dǎo)得[10]:

(4)

裂縫尖端應(yīng)力場如圖2所示。

2 三點(diǎn)彎曲梁裂紋擴(kuò)展有限元模型建立

混凝土三點(diǎn)彎曲梁幾何尺寸如圖3所示,試件跨中位置設(shè)置一道預(yù)制裂紋,預(yù)制裂紋初始高度a0=80 mm,初始逢高比α0(α0=a0/h)為0.4。混凝土其他參數(shù)見表1。

表1 混凝土材料參數(shù)

本文利用有限元軟件ANSYS基于擴(kuò)展有限元(XFEM)建立混凝土三點(diǎn)彎曲梁模型,如圖4所示。使用Solid185單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格,在預(yù)制裂紋處使用MESH200定義預(yù)制裂紋并且定義富集區(qū),裂紋擴(kuò)展方向根據(jù)最大周向應(yīng)力確定。

3 結(jié)果比對分析

3.1 建立荷載-裂紋張開位移曲線

根據(jù)以上建立的梁裂紋模型,固定時(shí)間施加位移荷載對裂紋擴(kuò)展進(jìn)行有限元模擬。選取同尺寸模型,將模擬結(jié)果與論文中實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。圖5為混凝土三點(diǎn)彎曲梁荷載-裂紋張開位移曲線,分別畫出有限元模擬結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果,兩者進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)吻合程度較高。

當(dāng)達(dá)到峰值荷載時(shí)關(guān)鍵的斷裂參數(shù)見表2。

表2 試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果

3.2 荷載-裂紋張開位移曲線研究

根據(jù)圖5可以了解到,在裂紋擴(kuò)展前期,荷載與裂紋張開位移之間基本呈現(xiàn)一種線性關(guān)系,加載至某一時(shí)刻時(shí),梁構(gòu)件發(fā)生開裂,荷載與裂紋張開位移之間呈現(xiàn)出一種非線性關(guān)系;當(dāng)荷載到達(dá)峰值荷載之后進(jìn)行卸載。由圖5可以看到實(shí)際實(shí)驗(yàn)的峰值是略高于有限元模擬的峰值結(jié)果,這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中存在摩擦力,產(chǎn)生于支座與平臺(tái)之間,但是有限元模擬中顯然是不存在這種摩擦力阻止混凝土構(gòu)件開裂,所以兩者會(huì)產(chǎn)生這種誤差。

當(dāng)荷載達(dá)到峰值之后,實(shí)驗(yàn)所得到的曲線呈現(xiàn)快速下滑的趨勢,而有限元模擬的曲線比較圓滑,這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中有加速度的作用,加速了混凝土構(gòu)件的開裂,從而兩者曲線在此階段存在一定不吻合。

圖6—圖8為混凝土三點(diǎn)彎曲裂紋擴(kuò)展有限元模擬的應(yīng)力云圖,選取三個(gè)階段分別為:施加荷載初期階段、峰值荷載階段、卸載階段。可以很直觀地發(fā)現(xiàn)在施加荷載初期階段以及峰值荷載階段裂紋尖端拉應(yīng)力較大,存在應(yīng)力集中現(xiàn)象[11]。在卸載階段,裂紋尖端還是存在奇異性,應(yīng)力集中現(xiàn)象存在但是變小。

擴(kuò)展有限元模型基本模擬出了梁構(gòu)件從裂紋萌生直到失穩(wěn)破壞的整個(gè)過程,裂紋擴(kuò)展的趨勢大概可分為三個(gè)階段:第一階段為線性上升階段,這個(gè)階段梁裂紋并沒有發(fā)生擴(kuò)展;第二階段為非線性上升階段,此時(shí)的荷載已經(jīng)基本達(dá)到峰值荷載,裂紋發(fā)生擴(kuò)展;第三階段為非線性下降階段,這時(shí)的梁處于失穩(wěn)狀態(tài),裂紋發(fā)生快速擴(kuò)展[12]。

有限元模型可以改變不同的尺寸數(shù)據(jù),結(jié)果表明,混凝土抵抗斷裂破壞的能力隨著梁長L的增加而降低,隨著預(yù)制裂紋長度增加而降低。

4 應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂紋擴(kuò)展可以近似看為在拉力作用下單邊Ⅰ型裂紋擴(kuò)展,其中應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的計(jì)算表達(dá)式如式(5)所示。

(5)

其中,σ為應(yīng)力;a為裂紋初始長度;W為截面寬度。

本文利用GET函數(shù)提取裂紋張開位移來求解三維應(yīng)力強(qiáng)度因子。在裂紋尖端厚度方向分別根據(jù)不同的加載速率提取出4個(gè)對稱積分點(diǎn),利用其計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行對比[13],得到時(shí)間與應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線圖(見圖9),并且根據(jù)式(5)中理論值與有限元分析求解出的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行對比分析,可以發(fā)現(xiàn)兩者較為接近。

當(dāng)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí),相比較于傳統(tǒng)有限元計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度方法,如相互作用積分法或者位移外推法,利用擴(kuò)展有限元具有較多便利之處[14]。因?yàn)槔脭U(kuò)展有限元方法模擬裂紋擴(kuò)展的時(shí)候,其網(wǎng)格是獨(dú)立于裂紋面的,所以就不需要像傳統(tǒng)方法一樣對裂紋尖端的網(wǎng)格進(jìn)行加密,同時(shí)也不需要像位移外推法一樣對裂紋尖端進(jìn)行1/4節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格退化用來滿足裂紋尖端的奇異性。這就很大程度地簡化了前處理階段,提升了計(jì)算效率。

5 結(jié)語

本文基于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則,應(yīng)用有限元軟件ANSYS對混凝土三點(diǎn)彎曲裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬。在含有初始裂紋情況下,利用擴(kuò)展有限元方法模擬了三點(diǎn)彎曲梁裂紋擴(kuò)展的全過程。對比數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)所得的荷載-裂紋張開位移曲線,兩個(gè)吻合度較高。

提取裂紋張開位移以用來求解裂紋擴(kuò)展各階段應(yīng)力強(qiáng)度因子,XFEM方法對比與其他方法前處理過程較為簡單。擴(kuò)展有限元方法作為一種計(jì)算非連續(xù)體變形的新方法,具有廣闊的應(yīng)用前景。