夾緊變形條件下齒輪齒廓偏差和齒距偏差的評(píng)定

丁明亮，陳鴻健

（1.中國(guó)航發(fā)哈爾濱東安發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司，哈爾濱 150066；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

齒輪的夾緊方式一般有徑向夾緊和軸向夾緊兩種，在夾緊齒輪后進(jìn)行磨齒加工時(shí)，受到夾緊力場(chǎng)和磨削力場(chǎng)的耦合作用，導(dǎo)致相對(duì)于初始的安裝位置會(huì)有偏心和偏擺誤差，即位姿誤差，而機(jī)床上的砂輪并不會(huì)隨著齒輪位置的改變而進(jìn)行補(bǔ)償修正，從而導(dǎo)致齒輪的加工精度受到影響。姜忠立等[1]通過(guò)有限元法計(jì)算得到了齒輪加工中的變形量，并根據(jù)約束條件設(shè)計(jì)出合適的齒輪專(zhuān)用夾具。王歡[2]以薄壁齒圈為研究對(duì)象，分析了夾緊力和切削參數(shù)之間的關(guān)系，以?shī)A緊變形最小為目標(biāo)優(yōu)化，得到了扇形卡盤(pán)的扇形圓心角。鞏赟[3]針對(duì)齒輪的液壓膨脹式精密夾具進(jìn)行了有限元分析，計(jì)算得到了加壓后薄壁套筒的最大變形和夾緊力。段榮鑫[4]通過(guò)有限元仿真分析了薄壁齒輪的夾緊變形規(guī)律，并用遺傳算法對(duì)夾緊力進(jìn)行了優(yōu)化。液壓膨脹芯軸是一種高精度夾具，能使加工后齒輪的徑向跳動(dòng)≤3 μm[5]。航空齒輪加工精度高，精度等級(jí)需達(dá)到5級(jí)以?xún)?nèi)，成形磨削作為齒輪精加工的最后一道工序，夾緊變形誤差和熱變形誤差能占到總誤差的40%～70%，因此有必要深入分析夾緊變形對(duì)齒廓偏差、齒距偏差的影響規(guī)律，以實(shí)現(xiàn)磨削參數(shù)的優(yōu)選，這對(duì)提高齒輪成形磨削精度具有重要意義。

1 齒輪齒廓總偏差和齒距偏差的評(píng)定方法

在齒輪磨齒加工過(guò)程中，受諸多因素的影響，實(shí)際得到的齒輪齒廓總是會(huì)與理想的漸開(kāi)線齒廓有一定的偏差，這些齒廓偏差的存在會(huì)導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)過(guò)程中不能保持恒定的傳動(dòng)比，產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，因此在GB/T 10095.1—2008的標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)齒輪精度評(píng)級(jí)采用的是齒廓總偏差。因?yàn)閷?shí)際加工得到的齒輪齒廓并不完全是漸開(kāi)線，在漸開(kāi)線與齒根圓連接處還有一段圓弧進(jìn)行過(guò)渡，所以在計(jì)算齒廓總偏差前還要對(duì)計(jì)值范圍進(jìn)行界定。GB/T 10095.1—2008中規(guī)定了從齒頂圓開(kāi)始到齒廓上漸開(kāi)線的起始點(diǎn)為齒廓的有效長(zhǎng)度LAE，齒廓的計(jì)值范圍Lα為有效長(zhǎng)度LAE的92%。實(shí)際加工得到的齒輪齒廓示意圖如圖1所示[6]，坐標(biāo)系中的第一象限內(nèi)有一條實(shí)際的右齒廓，假設(shè)已得到該齒廓上一系列測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值（xi，yi），對(duì)于上面任一測(cè)量點(diǎn)K作過(guò)它的一條理想漸開(kāi)線（圖中的細(xì)實(shí)線），設(shè)齒廓漸開(kāi)線的基圓半徑為rb、K點(diǎn)坐標(biāo)值為（xk，yk），則漸開(kāi)線上K點(diǎn)的向徑rk=、壓力角αk=arccos（rb/rk）、展角θk=tan αk-αk，K點(diǎn)向徑與X軸正方向的夾角φk為

圖1 實(shí)際齒廓示意圖

若K點(diǎn)在第三或第四象限，即yk≤0時(shí)，需使φk=2πφk。得到K點(diǎn)的展角θk及向徑與X軸的夾角φk后，則過(guò)K點(diǎn)的理想漸開(kāi)線起始角τk=φk-θk。

首先通過(guò)計(jì)算得到各測(cè)量點(diǎn)上的理論漸開(kāi)線起始角τi，并從一系列τi中找出τmin和τmax。根據(jù)漸開(kāi)線的形成原理可知，同一基圓上兩個(gè)漸開(kāi)線的法向距離等于基圓上兩漸開(kāi)線起始點(diǎn)的距離，則實(shí)際齒廓的齒廓總偏差Fα[7-8]為

當(dāng)實(shí)際齒廓中同時(shí)有處于第一和第四象限的測(cè)量點(diǎn)時(shí)，得到的τmin和τmax會(huì)相差過(guò)大，此時(shí)求得的齒廓總偏差Fα是錯(cuò)誤的，需要對(duì)其中一些測(cè)量點(diǎn)的τi值進(jìn)行修正。當(dāng)τmax-τmin＞2π/z時(shí)，從一系列測(cè)量點(diǎn)中找出τi＞π的值進(jìn)行修正，使τi=τi-2π，修正后再?gòu)囊幌盗笑觟中找到τmin和τmax，即可得到最終的齒廓總偏差。

齒輪齒距偏差的存在會(huì)使齒輪在傳動(dòng)中產(chǎn)生振動(dòng)、沖擊和噪聲，影響了齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性，因此在齒輪的精度等級(jí)評(píng)定時(shí)還需考慮齒距偏差的大小，GB/T 10095.1—2008中的齒距偏差有3種，分別為單個(gè)齒距偏差、齒距累積偏差和齒距累積總偏差。齒距偏差示意圖如圖2所示，圖中實(shí)線為實(shí)際齒廓，虛線為理想齒廓，pt為單個(gè)理論齒距pt=πd/z。單個(gè)齒距偏差fpt為在齒輪的分度圓上任意兩個(gè)相鄰?fù)瑐?cè)齒廓的實(shí)際齒距與理論齒距之差。齒距累積偏差Fpk為任意k+1個(gè)同側(cè)齒廓的實(shí)際齒距與理論齒距之差，理論上齒距累積偏差Fpk等于k個(gè)單個(gè)齒距偏差之和，k可從1取到齒數(shù)z。在任意齒距累積偏差中的最大齒距累積偏差為齒距累積總偏差Fp。

圖2 齒距偏差示意圖

當(dāng)齒廓在分度圓上的點(diǎn)坐標(biāo)值（xi，yi）已知時(shí)，利用余弦定理可以算出分度圓上相鄰齒廓兩點(diǎn)之間的向徑夾角θi，則單個(gè)齒距偏差fpti可表示為[7-8]：

齒距累積偏差Fpk可表示為

通過(guò)計(jì)算得到一系列的齒距累積偏差最大值和最小值后，可求得齒距累積總偏差Fp為[7-8]

2 成形磨齒齒面參數(shù)模型的建立

齒輪夾緊變形示意圖如圖3所示，若在齒輪初始安裝位置的中心上建立靜坐標(biāo)系O0-x0y0z0，在齒輪夾緊變形后的位置中心上建立工件坐標(biāo)系Oi-xiyizi，則可用齊次坐標(biāo)變換矩陣表示齒輪位姿。

圖3 齒輪夾緊變形示意圖

當(dāng)工件坐標(biāo)系Oi-xiyizi變換到靜坐標(biāo)系O0-x0y0z0時(shí)，需要繞xi軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δα，繞yi軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δβ，再繞zi軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δθ，最后再分別沿xi、yi、zi軸平移Δx、Δy、Δz，由于轉(zhuǎn)動(dòng)角Δα、Δβ、Δθ都為極小的值，旋轉(zhuǎn)矩陣的次序沒(méi)有影響，設(shè)c代表cos、s代表sin，則齊次位姿變換矩陣為[9]

因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)角Δα、Δβ、Δθ都為極小值，所以各轉(zhuǎn)動(dòng)角的cos（）值為1，各轉(zhuǎn)動(dòng)角的sin（）值為其轉(zhuǎn)動(dòng)角的弧度值，忽略變換矩陣中各項(xiàng)的高階無(wú)窮小，則矩陣可簡(jiǎn)化為[9]

忽略?shī)A緊變形時(shí)，砂輪磨齒加工得到的齒廓在靜坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系下的參數(shù)方程均為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線參數(shù)方程，砂輪加工在靜坐標(biāo)系的位置并不會(huì)改變。但是齒輪夾緊變形以后，砂輪在工件坐標(biāo)系中的位置就會(huì)發(fā)生改變，利用靜坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，可得到在夾緊變形條件下齒輪齒面方程為

根據(jù)前述齒廓偏差和齒距偏差的評(píng)定方法，則可計(jì)算在夾緊變形條件下的齒廓偏差、齒距偏差。

3 齒廓總偏差和齒距偏差的計(jì)算步驟

齒廓總偏差的計(jì)算步驟如下：1）根據(jù)齒輪夾緊變形后的位姿變化，得到齊次坐標(biāo)變換矩陣rot（x，y，z），將其與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒面方程相乘得夾緊變形條件下的誤差齒面參數(shù)方程；2）在第i個(gè)誤差齒面中部的齒廓上等間距取測(cè)量點(diǎn)，分別計(jì)算出各測(cè)量點(diǎn)的展角θk、φk及τk；3）從各測(cè)量點(diǎn)的漸開(kāi)線起始角τk中找出τmin和τmax，根據(jù)式（2）計(jì)算出該齒廓的齒廓總偏差，若偏差過(guò)大，進(jìn)行修正后重新計(jì)算；4）對(duì)各輪齒重復(fù)2）、3）步，求出各齒的齒廓偏差，各齒中最大的即為該齒輪夾緊變形條件下的齒廓總偏差。

齒距偏差的計(jì)算步驟如下：1）根據(jù)齒輪夾緊變形后的位姿變化，得到齊次坐標(biāo)變換矩陣rot（x，y，z），與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒面方程相乘得夾緊變形條件下的誤差齒面參數(shù)方程；2）求出各個(gè)誤差齒面中部齒廓與分度圓的交點(diǎn)（xi，yi），根據(jù)式（3）、式（4）可算得各相鄰輪齒間的單個(gè)齒距偏差；3）根據(jù)式（5）、式（6）可算得齒距累積偏差和齒距累積總偏差。

4 位姿誤差對(duì)齒廓偏差、齒距偏差的影響規(guī)律

在夾緊變形條件下齒輪產(chǎn)生的位姿誤差可分為沿x/y軸的平移、繞x/y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)、沿z軸的平移和繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)4種，而沿z軸的平移誤差對(duì)齒輪的精度評(píng)定基本沒(méi)有影響，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)。以模數(shù)為4 mm、齒數(shù)為19、壓力角為25°、齒寬為72 mm的漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪為例，假設(shè)沿y軸平移的誤差Δy=3 μm、繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差Δβ=0.02°，以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差Δθ=0.2°，并取齒輪中部橫截面的右側(cè)齒廓進(jìn)行分析，分析各種誤差對(duì)齒輪齒廓偏差和齒距偏差的影響規(guī)律。

沿y軸平移3 μm誤差條件下得到的各輪齒的齒廓偏差、齒距偏差計(jì)算結(jié)果如圖4所示。由圖4可見(jiàn)，沿y軸的平移誤差對(duì)齒距累積偏差和齒距累積總偏差均會(huì)產(chǎn)生較大的影響，這兩項(xiàng)偏差的最大值大約是平移誤差的2倍（6 μm左右），而對(duì)齒廓總偏差影響稍小，產(chǎn)生的齒廓總偏差約為2 μm左右，對(duì)單個(gè)齒距偏差影響最小，產(chǎn)生的單個(gè)齒距偏差最大值約為1 μm，因此沿x/y軸的平移誤差主要會(huì)影響齒輪的齒廓總偏差和齒距累積偏差。

繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)0.02°誤差條件下得到的各輪齒的齒廓偏差、齒距偏差計(jì)算結(jié)果如圖5所示。其中影響最大的是齒距累積偏差和齒距累積總偏差，偏差最大值分別約為22 μm和27 μm左右，其次是對(duì)齒廓總偏差的影響較大，產(chǎn)生的齒廓總偏差最大值約為8 μm，對(duì)單個(gè)齒距偏差的影響是最小的，產(chǎn)生的單個(gè)齒距偏差最大值在5 μm以下，因此沿x/y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差主要影響齒輪的齒廓總偏差和齒距累積偏差。

圖5 繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)0.02°誤差下各輪齒的齒廓偏差、齒距偏差

當(dāng)齒輪繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)0.2°時(shí)，由于繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差對(duì)齒距偏差基本沒(méi)有影響，僅考慮其對(duì)齒廓偏差的影響，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)齒輪上每個(gè)輪齒的齒廓總偏差大小基本相等，約為0.15 μm左右，這表明繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差對(duì)齒廓總偏差的影響較小。

5 結(jié)論

本文綜合考慮夾緊變形的影響，通過(guò)齊次坐標(biāo)變換矩陣建立了齒輪成形磨削齒面參數(shù)方程，分析了齒輪在夾緊變形條件下位姿誤差對(duì)齒廓偏差、齒距偏差的影響規(guī)律。結(jié)果表明：沿x/y軸的平移、繞x/y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)這兩類(lèi)位姿誤差主要影響的是齒輪的齒廓總偏差、齒距累積偏差及齒距累積總偏差，而對(duì)單個(gè)齒距偏差的影響較小。另外，繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差對(duì)齒距偏差基本無(wú)影響，對(duì)齒廓總偏差影響較小。