一定是對稱的嗎
——一道彈簧雙振子問題分析

郭培東

(漳州臺商區(qū)第一中學(xué))

1 問題的提出

2023年福建省七地市第一次模擬考有一道彈簧雙振子的題目.該類題目平常只需定性分析兩振子的運動,定量關(guān)系在高中不作要求.該題的選項B、C 引起師生的熱烈討論.基于此,本文定量分析了兩選項,并借用GeoGebra軟件作了進一步討論與驗證,希望能給大家一些參考.

2 原題展示

原題如圖1-甲所示,質(zhì)量為m的物塊P與物塊Q(質(zhì)量未知)之間拴接一輕彈簧,靜止在光滑的水平地面上,彈簧恰好處于原長.現(xiàn)給物塊P一瞬時初速度v0,并把此時記為0 時刻,規(guī)定向左為正方向,0～2t0時間內(nèi)P、Q物塊運動的a-t圖像如圖1-乙所示,其中t軸下方部分的面積大小為S1,t軸上方部分的面積大小為S2,則( ).

圖1

A.物塊Q的質(zhì)量為

B.t0時刻物塊Q的速度為vQ＝S2

C.t0時刻物塊P的速度為

D.0～2t0時間內(nèi)彈簧始終對物塊Q做正功

3 定性分析

P、Q兩物塊從初始狀態(tài)到t0時刻過程中,P做加速度逐漸增大的減速運動,Q做加速度逐漸增大的加速運動.再根據(jù)a-t圖像與坐標(biāo)軸所包圍的面積的物理意義表示該過程的速度變化量,同時,由圖像易得全程面積關(guān)于t＝t0軸對稱,因此該過程P速度減少了,Q速度增加了,即t0時刻

可知選項B錯誤,選項C正確.

細(xì)致的學(xué)生馬上就提出疑問:如何確定“全程面積關(guān)于t＝t0軸對稱”.如果P、Q做的是簡諧運動,則其位移、速度、加速度都按正弦函數(shù)變化,圖像必然關(guān)于中間軸對稱,但本題系統(tǒng)的運動類似“毛毛蟲運動”,系統(tǒng)質(zhì)心一直向前做勻速直線運動.假設(shè)P、Q做簡諧運動,但題中平衡位置一直是變化的,這就說明假設(shè)錯誤,系統(tǒng)做的應(yīng)該不是簡諧運動.進一步考慮,如果P、Q振子相對于質(zhì)心做簡諧運動,那么圖像是不是也就對稱了,問題是否就能解決了? 由以上分析可以發(fā)現(xiàn)這里面圖像的對稱性并沒有那么簡單,基于此,下文針對該模型進行定量分析.

4 定量分析

如圖2所示,取P、Q為系統(tǒng),初始時系統(tǒng)的質(zhì)心C位于坐標(biāo)原點,以向左為正方向,建立一維坐標(biāo)系.設(shè)彈簧原長為l0,勁度系數(shù)為k,為方便書寫,物塊P相關(guān)量下標(biāo)為1,物塊Q相關(guān)量下標(biāo)為2.

圖2

對物塊P由牛頓第二定律得

對物塊Q由牛頓第二定律得

對系統(tǒng)由動量守恒定律得

為把x2用x1表示,式③對t積分得

即

聯(lián)立式①④得

系統(tǒng)質(zhì)心C做勻速直線運動,,易得t時刻質(zhì)心的位置.

物塊P相對質(zhì)心C的位置設(shè)為X1,則有

代入式⑤得

同理可得,Q相對質(zhì)心C位置

Q相對質(zhì)心C位移

Q實際位置

由S1、S2的表達(dá)式可知:兩振子相對質(zhì)心的運動確實是簡諧運動,且振動步調(diào)完全相反,振動周期相同,都為.

將x1、x2的表達(dá)式代入式①②得

顯然a1、a2都是正弦函數(shù),圖像必然關(guān)于中間軸對稱了.

為形象地讓學(xué)生理解兩振子的運動,利用GeoGebra的函數(shù)功能畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,如圖3、4所示.

圖3 位置—時間圖像

圖4 相對質(zhì)心C 位移—時間圖像

5 在高考中的應(yīng)用

例(2022年全國乙卷,有刪減)如圖5-甲所示,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上.物塊B向A運動,t＝0時與彈簧接觸,到t＝2t0時與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖5-乙所示.已知從t＝0到t＝t0時間內(nèi),物塊A運動的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運動的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi).求:

圖5

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值.

分析本題參考答案為 (1);(2)0.768v0t0.

在講解過程中,會有學(xué)生對題中的0.36v0t0這個數(shù)據(jù)是否科學(xué)產(chǎn)生疑問.下文通過兩種方法驗證一下.

方法1根據(jù)機械能守恒有

則只需驗證從初始狀態(tài)到壓縮最短時間t′＝t0,由簡諧運動相關(guān)規(guī)律有

聯(lián)立式①②③可得t′＝1.01t0,數(shù)據(jù)得證.

方法2借助GeoGebra描繪出函數(shù)圖像,并根據(jù)其積分功能直接算出函數(shù)圖像包圍面積.由式①得,賦值m＝1kg,t0＝4s,v0＝2m·s－1,則k＝0.13N·kg－1.對以上x1、x2的表達(dá)式進行微分,同時考慮B的初速度為1.2v0,可以得到A、B的速度表達(dá)式分別為

如圖6所示,輸入函數(shù)表達(dá)式得到兩個v-t圖像.

圖6 速度—時間圖像

輸入框輸入:積分(vA,0,4),就可以得到物塊A在t0時間內(nèi)的位移為2.88,即等于0.36v0t0,數(shù)據(jù)得證.

6 總結(jié)

本文從定性到定量兩個維度分析了有初速度的彈簧雙振子模型的運動規(guī)律,得出了彈簧雙振子模型可等效為相對質(zhì)心的彈簧諧振子模型,更有說服力也更加通俗易懂.同時借用GeoGebra的函數(shù)功能直觀地畫出振子的運動情況,簡單地驗證了高考中彈簧雙振子模型數(shù)據(jù)的科學(xué)性.

(完)