基于LAGRANGE 方程的深水鉆井隔水管–水下井口系統動力分析

馬永乾，趙鵬，暢元江，王仕超，張晏銘

1. 中國石化勝利石油工程公司鉆井工藝研究院，山東 東營 257000

2. 中國石油大學（華東）海洋油氣裝備與安全技術研究中心，山東 青島 266580

深水鉆井隔水管系統是連接鉆井平臺及水下井口的導管系統，是支撐海洋鉆井作業的關鍵核心設備，也是海洋鉆井作業最脆弱環節。隔水管系統作業時將受到復雜海洋環境載荷激勵和平臺運動激勵，使得其動態響應十分復雜且有斷裂、疲勞破壞等風險，嚴重影響鉆井作業的安全性。準確預測隔水管系統的運動狀態和力學特性，對于指導深水鉆井隔水管設計和作業安全具有重要意義[1]。

近年來，國內外針對鉆井隔水管系統動力學建模及分析方面的研究已取得了較多進展。在針對隔水管的單獨建模方面，Ham 等[2]、Iwona 等[3]基于柔性多體動力學、分段法、最小勢能原理等方法建立了隔水管系統的動力學空間模型，開展了動力學特性分析；Yang 等[4]提出考慮空間柔性和活動約束的隔水管幾何精確梁模型，提出動態響應的求解策略并對隔水管系統開展靜力分析和反沖分析；Mao 等[5]建立了硬懸掛條件下鉆井隔水管的動態分析模型，結合Newmark-β方法對模型進行了有限元求解；王宴濱等[6]建立深水鉆井隔水管緊急解脫后反沖響應力學模型和控制方程，研究隔水管系統反沖響應特性。在鉆井隔水管系統耦合建模方面，張慎顏等[7]采用多體動力學理論建立浮式平臺–張緊器–隔水管耦合動力學模型，研究了多體耦合系統中隔水管系統的響應特性；Liu 等[8]建立了包含張緊器的隔水管系統多體動力學模型，基于所開發的程序分析了深水鉆井隔水管系統在不同平臺運動下的靜動態特性；Low 等[9]建立了浮式平臺–錨泊系統–隔水管全時域耦合動力學分析模型，認為整個系統本質的兩類耦合為浮式平臺/錨泊系統/隔水管的耦合以及平臺平均偏移、波頻運動和低頻運動之間的耦合；Su 等[10]建立了SBOP–隔水管–導管系統的運動方程和自由振動方程，提出一種基于剖分延拓概念的自由振動半解析方法，并分析了井口和導管的動態響應參數敏感性；廖茂林等[11]提出了管中管動力學模型，采用 ABAQUS 有限元軟件，對建立的管柱動力學模型進行動態響應模擬。目前在隔水管與防噴器組的耦合動力學建模方面還未見有文獻報道，傳統理論建模方法往往將鉆井隔水管系統作為一個單獨的研究對象來進行簡化建模和分析，未考慮底部大質量防噴器組的存在及其對隔水管系統的影響，將會導致動力學分析結果與實際情況存在差異；或者采用耦合建模方法將防噴器組簡化為質量和管單元的組合進行有限元分析，這種做法缺少理論依據，無法確定隔水管系統動力學分析的準確度。

由于隔水管具有超大長徑比的特點，將其看作柔性梁來研究，而防噴器組因其剛度大的特點常被視為剛體模型，二者組成的系統屬于典型的剛柔耦合范疇，借助于剛柔耦合動力學相關理論建立耦合模型。在剛柔耦合動力學建模方面，國內外學者已做了大量研究和探索，相關理論及方法已被廣泛應用于航空航天、軍事武器以及機器人等領域，而在海洋工程領域鮮有文獻報道。陳思佳等[12]建立帶有載荷的柔性機器人剛柔耦合動力學模型，研究柔性機器人在做大范圍運動時關節鉸的柔性以及桿端載荷對機器人運動響應的影響。李崔春等[13]建立撓性航天器的剛柔耦合動力學模型，研究其姿態機動軌跡并對其姿態進行控制。呂濤等[14]考慮樁腿柔性對自升式海洋平臺升降作業的影響，研究平臺整體升降動力學。目前主流剛柔耦合動力學建模方法有3 種：第二類LAGRANGE 法、Kane 方程法及哈密頓原理[15]，皆以分析力學原理為基礎，使用能量、虛功等進行建模，其中采用LAGRANGE 方法建模不需要考慮各結構間的復雜內力關系，僅需通過計算系統動能和勢能即可推導動力學方程，從而使得推導過程簡潔有效。

考慮深水隔水管與防噴器組的結構特點，本文提出隔水管與防噴器組剛柔耦合概念，基于剛柔耦合理論和LAGRANGE 方程建立系統剛柔耦合動力學理論模型，采用科學計算軟件和Newmark-β直接積分法進行數值計算，并以南海某深水井為例對理論模型計算結果進行對比分析。

1 深水鉆井隔水管系統耦合動力學建模

深水鉆井作業時，鉆井隔水管與水下防噴器組通過下撓性接頭連接，在海洋環境載荷的作用下，隔水管與防噴器組將發生相對運動并產生相對角位移。防噴器組坐在高壓井口上并與其鎖緊，受鉆井隔水管柱所傳遞的動載荷作用，防噴器組會在水平方向產生一定往復運動。深水鉆井隔水管–防噴器組運動如圖1 所示。

圖1 深水鉆井隔水管–防噴器組運動示意

1.1 耦合系統動能

在對細長鉆井隔水管進行建模時，可將其看作為柔性梁模型進行處理，梁模型上任一點P，在下撓性接頭局部坐標系xjyj下的位置矢量可以表示為

式中：u(x,t)為點P的軸向位移變形，w(x,t)為點P的橫向位移變形。

點P在全局坐標下的位置矢量可以表示為

式中：(rp)j為任一點P在局部坐標系xjyj下的位置向量；A(θb)是從防噴器組局部坐標系xbyb到慣性參考系的旋轉變換矩陣；是從局部坐標系xjyj到局部坐標系xbyb的旋轉變換矩陣，可分別表示為如下形式：

式中： θb為剛性防噴器組的轉角，θj=θJ?θb為下撓性接頭相對于坐標系xbyb的轉角。下面分別對隔水管、下撓性接頭和防噴器組的動能和勢能進行推導。

隔水管系統在波流載荷以及平臺運動的共同作用下會發生振動從而引起動能變化，將隔水管系統視為梁模型，其動能包括梁的橫向和縱向位移變形引起的動能，可以表示為

式中：ρ為隔水管的材料密度，kg/m3；S為隔水管截面面積，m2。

將下撓性接頭簡化為線彈性扭轉彈簧的形式，經分析可知，撓性接頭運動軌跡是以水下井口基準面為圓心、以水下防噴器組高度為半徑的圓周運動，基于線彈性扭簧的假設[16]，下撓性接頭動能包括平動動能和轉動動能，可表示為

式中：mJ為下撓性接頭質量，kg；LJ為1/2 下撓性接頭高度，m；JJ為下撓性接頭的轉動慣量，kg·m2；LB為水下防噴器組高度，m。

防噴器組的運動可描述為繞水下井口基準面中心點處的轉動，其動能可以表示為

由于防噴器組形狀復雜，為簡化計算，在建模過程中將其等效為剛性管單元和質量單元的組合，其轉動慣量可以表示為

式中：r為圓柱體半徑，m；mB為防噴器組質量，kg。

將上述推導的隔水管、下撓性接頭、防噴器組動能相加得到耦合系統的總動能：

1.2 耦合系統勢能

隔水管梁模型的彎曲勢能和拉壓勢能共同組成隔水管的變形勢能：

式中：E為隔水管彈性模量，kPa；ρ為隔水管密度，kg/m3；I為截面慣性矩，m4。

下撓性接頭的彎曲勢能可以表示為

式中：kJ為下撓性接頭轉動剛度，kN·m/(°)。由于防噴器組自身剛度較大，自身產生的變形很小，故忽略其變形能變化。將上述推導的隔水管、撓性接頭勢能相加得到耦合系統總勢能表達式：

將式(1)和下式表示為廣義坐標的函數，并代入LAGRANGE 方程進行推導得到

1.3 隔水管系統耦合動力學方程推導

采用有限元法對柔性梁模型進行離散化，將柔性梁軸向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)用形函數和位移函數描述為

其中，方程中部分參數表達式如下所示：

式中：M11、M22、M33分別為系統的轉動慣量和梁的質量矩陣；M11是隔水管梁模型的彎曲和下撓性接頭轉動自由度的彈性變形對剛體轉動慣量的貢獻；M12、M13、M23為BOPs 運動、隔水管梁彎曲變形和下撓性接頭轉動變形之間的非線性慣性耦合，該系統的阻尼矩陣是撓性接頭轉動變形及其時間導數的非線性函數；K為受BOPs 運動和下撓性接頭轉角影響的剛度矩陣；M為隔水管系統剛度的質量矩陣。式(2)右端表示系統所受外力載荷向量。

2 隔水管系統耦合動力學模型求解

2.1 求解邊界條件

為求解方程，取隔水管–防噴器組耦合系統的頂部和底部位移、彎矩等參數作為方程求解邊界條件。選取上撓性接頭處為作為上邊界條件，在以往的研究中往往將下撓性接頭當作下邊界條件進行處理，忽視了防噴器組通過下撓性接頭與隔水管的耦合關系，且忽略了防噴器組的運動，故本文考慮到其耦合關系和水下井口運動，將方程的下邊界條件設置在水下井口模型底部。

若不計鉆井平臺的升沉運動，可將隔水管上邊界條件設為簡諧縱蕩運動：

對于下邊界條件，此處采用“等效樁法”，并取泥面下3 m 處固支約束[17]，于是下邊界條件為

2.2 求解步驟

采用科學計算軟件對隔水管與防噴器組剛柔耦合模型系統方程進行求解，模型求解采用Newmark-β直接積分法進行，具體計算步驟如下：

1） 初始狀態計算：

② 計算系統質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K；

③ 依據所需精度要求選擇β、γ及Δt，并滿足如下積分常數：

2）依據時間步長進行迭代計算：

① 有效剛度矩陣計算

②t+Δt時刻有效載荷計算

③t+Δt時刻位移計算

④t+Δt時刻加速度和速度計算

⑤ 重復運行步驟2）進行迭代運算。由于剛度矩陣會隨時間發生變化，故每進行一個時間步的計算都需要計算新的有效剛度矩陣。為了獲得穩態的剛柔耦合系統動態響應結果并可以研究更多耦合系統動態響應規律，選擇1 500 s 作為分析時間。

隔水管–防噴器組–水下井口耦合動力學算法與流程如圖2 所示。

圖2 隔水管系統耦合動力學算法與流程

3 算例

3.1 算例參數

本文以南海某水深627 m 井為研究對象，隔水管系統配置見表1，隔水管外徑0.533 4 m，壁厚0.015 875 m；導管外徑0.762 m，壁厚0.025 4 m。海水密度和鉆井液密度分別為1 025 和1 200 kg/m3。通過底部殘余張力法[18]確定隔水管頂部張緊力為2.01 MN。上、下撓性接頭轉角剛度分別為733.386和1 873.572 KN·m/(°)，LMRP/BOPs 參數來自某深水鉆井平臺。海流剖面見表2，波高取8.4 m，波浪周期為12.1 s。

表1 鉆井隔水管系統配置

表2 鉆井隔水管系統配置

3.2 動力學分析與模型驗證

本節借助有限元分析軟件ABAQUS 建立隔水管–防噴器組剛柔耦合動力學仿真模型，根據挪威船級社的推薦做法建立水下井口等效模型，具體建模及等效過程見文獻[17]。以上述627 m 水深隔水管系統為例，建立隔水管–防噴器組–水下井口系統耦合動力學理論模型和ABAQUS 仿真模型進行動態響應對比分析。根據文獻[17]的方法，采用ABAQUS 建立隔水管系統有限元模型時，將隔水管采用管單元進行模擬，防噴器組被建模為管單元和質量單元的組合，管外徑為0.914 4 m，壁厚為0.219 m，質量根據LMRP/BOPs 的實際質量沿高度方向平均分配。提取500 s 隔水管系統不同位置處節點位移、單元彎矩以及上、下撓性接頭轉角等時間歷程，分別如圖3～5 所示。圖3～5 中紅色實線為本文理論模型的計算結果，藍色虛線為ABAQUS 仿真模型計算結果。

圖3 隔水管系統橫向位移時程曲線

圖4 隔水管彎矩時程曲線

圖5 上、下部撓性接頭轉角時程曲線

由圖3～5 可知，采用本文建立的隔水管–防噴器組剛柔耦合動力學模型得到的動態響應計算結果，包括位移、彎矩和轉角等時程曲線，均與ABAQUS 仿真結果吻合良好。2 種模型動態響應幅值均值最大偏差為8.8%，初步證明了本文理論模型的正確性。

為了進一步驗證本文模型的計算精度，此處提取隔水管橫向位移包絡線和彎矩包絡線進行對比驗證，分別如圖6 和圖7 所示。圖6～7 中，實線為本文理論模型計算結果，虛線為采用文獻[17]方法的計算結果。

圖6 整體側向位移包絡線結果對比

圖7 整體彎矩包絡線結果對比

由圖6 和圖7 可知，采用本文理論模型和參考文獻模型得到的隔水管整體橫向變形包絡線、整體彎矩包絡線計算結果吻合良好，2 種模型得到的隔水管整體橫向變形包絡線范圍分別為?9.9～11.4 m 和?9.93～10.95 m；得到的隔水管整體彎矩包絡線范圍分別為?113.97～128.47 kN·m 和?115.65～124.93 kN·m。由此可見，相較于ABAQUS仿真模型，本文根據柔性隔水管與剛性防噴器組的結構特點所建立的隔水管–防噴器組–水下井口系統耦合動力學模型更接近于實際情況，更加適用工程應用環境，在隔水管系統耦合動力學分析上具有專用性。在計算效率上，本文模型計算效率高、求解速度快且計算結果更加準確。

4 結論

本文開展基于LAGRANGE 方法的深水鉆井隔水管–防噴器組–水下井口耦合系統動力學建模與數值計算研究，所取得主要結論如下：

1）基于剛柔耦合動力學理論，采用LAGRANGE方法和有限元法建立隔水管–防噴器組–水下井口系統耦合動力學理論模型，采用Newmark-β直接積分法對動力學模型進行求解并采用科學計算軟件開發動力學求解程序，實現了基于LAGRANGE方法的隔水管–防噴器組–水下井口系統耦合動力學數值計算。

2）以南海深水隔水管為算例開展動態響應分析，采用ABAQUS 建立隔水管–防噴器組–水下井口系統仿真模型，計算得到理論模型與仿真模型在節點橫向位移、單元彎矩及上部和下部撓性接頭轉角等吻合良好，動態響應幅值均值偏差為8.8%。

3）對理論模型和ABAQUS 有限元仿真分析得到的整體側向位移包絡線和彎矩包絡線進行對比分析，結果表明2 組包絡線亦吻合良好，證明采用本文理論模型進行仿真分析時可以將防噴器組模擬為剛性管單元和質量單元的組合，從而可為深水隔水管和水下井口系統動態分析提供理論參考。