一種沖擊噪聲下的多目標跟蹤算法

VU Van Toi，高洪元，孫溶辰，陳暄

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

目標跟蹤是陣列信號處理領域的關鍵技術，在雷達和通信感知系統(tǒng)中有廣泛的應用。早期的跟蹤算法主要應用于武器控制和導彈靶場測量，通過測量目標信息，預測炮彈或導彈的未來位置，進而引導火炮瞄準并設定引信時間，或為導彈提供制導信息并計算著彈點[1]。傳統(tǒng)的跟蹤方法通過發(fā)射筆形單脈沖波束以接收單個目標的回波，對目標的方位、距離和多普勒等信息進行跟蹤，但存在精度不高且只能跟蹤一個目標的問題[2]。隨著相控陣雷達和高分辨估計技術的發(fā)展，以PARAFAC 算法和卡爾曼濾波（Kalman filtering，KF）等技術為代表的精密跟蹤方法得到了廣泛關注[3?4]。同時，隨著通信技術的發(fā)展和大規(guī)模陣列的普及，在通信場景下對多個終端目標同時進行跟蹤的需求也越來越大，精密跟蹤算法在移動通信和自動駕駛等領域得到了應用[5]，研究其在雷達和通信感知系統(tǒng)中具有普適性的多目標跟蹤算法具有重要的研究意義和價值。然而，現(xiàn)有的精密多目標跟蹤算法和方位估計算法大多將噪聲建模為高斯白噪聲，這理想化的假設雖然使同等功率下估計的理論下界達到最低，但并不能保證算法在沖擊噪聲下仍具有魯棒性[6]。實際環(huán)境中，自然界中的雷電和海雜波引起的噪聲和許多人工噪聲都具有沖擊性[7]，這給信號的檢測、估計和跟蹤帶來了巨大的挑戰(zhàn)。學者們使用多種厚拖尾的概率密度函數(shù)對沖擊噪聲進行建模，其中 α穩(wěn)定分布具有很好的普適性，由此也相應地發(fā)展出許多去沖擊方法，具有代表性的有分數(shù)低階統(tǒng)計量方法、零記憶非線性處理方法和濾波器方法[8?11]。

實時性是評估目標跟蹤算法的重要指標。為了對跟蹤方程進行快速求解，使用群智能算法是一種可行的方法。貓群算法是一種針對多維尋優(yōu)問題設計的群智能優(yōu)化算法，受貓群內部的信息交流機制的啟發(fā)，在復雜的多維多峰優(yōu)化問題中表現(xiàn)出較好的性能，但是收斂速度較慢。如何平衡開發(fā)與探索，即保證收斂到全局最優(yōu)的條件下，在有限的迭代次數(shù)內得到盡可能高的收斂精度是智能優(yōu)化算法所面臨的共性難題。而量子群智能是一類優(yōu)化算法的統(tǒng)稱[12]，量子群智能受量子物理中概念的啟發(fā)，可以將量子原理與傳統(tǒng)的連續(xù)或離散優(yōu)化算法結合，用模擬的量子旋轉門對算法中的個體進行演化，獲得優(yōu)于原始算法的性能。

為了解決沖擊噪聲環(huán)境的動態(tài)跟蹤難題，本文提出了一種在沖擊噪聲下的魯棒多目標跟蹤方法，在動態(tài)更新搜索區(qū)間的同時，設計了量子貓群算法對極大似然跟蹤方程進行求解，保證了算法的實時性、魯棒性和高精度。

1 沖擊噪聲下多目標跟蹤數(shù)學模型

1.1 目標信號模型

跟蹤問題可以等效為對角度等信息的參數(shù)估計。假設經(jīng)N個目標反射后的回波信號入射到M個陣元的陣列上，在t時刻，經(jīng)第n個跟蹤目標反射后的回波信號表示為sn(t)，其角度為 θn，則第m個陣元接收到的數(shù)據(jù)為

式中：amn為陣列對回波信號的響應，n(t)為噪聲。則陣列接收數(shù)據(jù)也可以表示成矢量形式具體為

式中：θ=[θ1,θ2,···,θN]；A(θ)為陣列流型矩陣，其每一列對應一個目標的導向矢量。陣列接收到的數(shù)據(jù)將被采樣，采樣后的離散數(shù)據(jù)表示為x(k) ，k=1,2,···,K。則對于靜止目標，其協(xié)方差矩陣的估計公式為

而對于運動目標，由于導向矢量a(θ)將隨時間變化，故需要按時間順序進行下一脈沖時刻協(xié)方差矩陣的更新，協(xié)方差矩陣的更新公式為

即需先逐個計算單個脈沖數(shù)據(jù)的協(xié)方差R(k)=x(k)xH(k)后，帶入式(1)得到更新后的協(xié)方差(k)， 0 ＜μ＜1稱為遺忘系數(shù)，當遺忘系數(shù) μ取值較大時，當前時刻的數(shù)據(jù)所占比重較大，而過去時刻數(shù)據(jù)的占比相應減小，使算法的跟蹤能力較強，但是穩(wěn)定性較差；而 μ取值較小時，算法的穩(wěn)態(tài)性能更好，但難以對快速運動的目標進行準確跟蹤。

由于陣列流型矩陣A(θ)中的每一列將隨時間變化，因此信號子空間支撐的范圍也將隨時間發(fā)生變化。

式中：Q(k)=[Qs(k)Qn(k)]為協(xié)方差矩陣R(k)的特征矢量，由信號子空間和噪聲子空間的正交基組成；Ds(k)是由信號特征值組成的對角陣；σ2(k)為噪聲的特征值。為了同時跟蹤多個目標，將子空間跟蹤法與來波方向（direction of arriva，DOA）估計器結合是一種常用的方法，即在每個時刻，將更新后的子空間輸入到DOA 估計器中得到角度隨時間變化的結果，實現(xiàn)多目標跟蹤。但這種方法存在無法解相干的問題。除此之外，傳統(tǒng)的方法對噪聲進行了理想化的假設，使其難以在工程實際中表現(xiàn)出預期的性能。本文將在1.2 和1.3 小節(jié)中針對這些問題設計新的多目標跟蹤方法。

1.2 沖擊噪聲的建模

多數(shù)的研究將噪聲建模為高斯白噪聲，即假設噪聲子空間中的特征值σ2(k)為常數(shù)，此時噪聲子空間是球形的。但實際應用中，陣列接收到噪聲常具有沖擊性，這將會對跟蹤算法的精度產生很大影響，甚至使其失效。本文中將沖擊噪聲建模為服從 α穩(wěn)定分布的隨機變量。

對稱 α穩(wěn)定分布被廣泛應用于對雷達雜波進行建模，其特征函數(shù)具有如下形式：

式中： α為特征指數(shù)，滿足0 ＜α ≤2，特征指數(shù)反映了噪聲在時域的沖擊性， α越大沖擊性越強，概率密度拖尾也越厚； γ為分散系數(shù)，γ=1時為標準α穩(wěn)定分布噪聲； μ為位置參數(shù)，滿足?∞＜μ≤∞，代表了隨機變量的中值或均值。

已有的研究表明，通過使用高斯核函數(shù)，可以有效地濾除沖擊噪聲[13]。本文設計了一種零記憶非線性預處理方法，通過從空域維度對每個采樣時刻的數(shù)據(jù)進行加權，將沖擊噪聲轉化為方差為有限值的噪聲，并使輸出數(shù)據(jù)近似地服從高斯分布，具體步驟如下：首先在第k個采樣時刻，取M個陣元的采樣值的絕對值中最大值和最小值分別為

由此定義基于高斯核函數(shù)的加權函數(shù)為

式中 ω為高斯核的超參數(shù)。高斯核加權也可以理解為由陣列輸出指數(shù)加權的無窮范數(shù)歸一化處理[14]，由于加權函數(shù)的值只與當前時刻的陣列輸出相關，即具有零記憶特性，相比于時域濾波等傳統(tǒng)抗沖擊方法更適合對動態(tài)目標進行處理；而高斯核函數(shù)的非線性特性也使這種方法相對于低階矩等方法在強沖擊環(huán)境下魯棒性更強。經(jīng)加權后的第m個陣元的輸出為

將第m個陣元加權后的全部數(shù)據(jù)寫成向量形式為

按照式(2)完成更新后，最近時刻的快拍數(shù)據(jù)將獲得最大的權重，而之前時刻數(shù)據(jù)的權重隨時間衰減，達到目標點跡平滑的目的。

1.3 極大似然多目標跟蹤方程

當信號為相干信源時，無法通過特征分解得到準確的信號或噪聲子空間，子空間類的跟蹤算法將無法跟蹤多個目標。針對這一問題，本文將根據(jù)極大似然原理，推導多目標跟蹤的似然函數(shù)。

首先，為了使模型與觀測數(shù)據(jù)的距離最小化，定義誤差函數(shù)為

將A(θ)視為常量，針對信號波形進行求解得到(k)=(A(θ)HA(θ))?1A(θ)Hy(k)并帶回式(3)，得

利用正交投影得性質，可以將最小化f(θ,k)轉化為最大化的優(yōu)化問題，由此定義似然函數(shù)L(θ,k)為

式中PA(θ)=A(θ)(A(θ)HA(θ))?1A(θ)H為陣列流型矩陣的投影矩陣，使似然函數(shù)最大即可得到對來波方向的最大似然估計結果，將這一過程表示為估計方程如下

2 基于量子貓群算法的多目標跟蹤

由于多目標跟蹤方程沒有閉式解，傳統(tǒng)的網(wǎng)格搜索耗時巨大且有量化誤差，本文設計了一種新的量子群智能算法，稱為量子貓群算法（quantum cat swarm optimization, QCSO）對其進行快速求解。

2.1 量子貓群算法

量子貓群算法借鑒了貓群算法的原理，對狩獵過程中貓種群內的交流聯(lián)系機制進行研究，在貓捕食獵物的過程中，每個量子貓綜合考慮與當前種群中的多個的量子貓的距離，模仿貓之間信息交流包圍獵物，并將量子貓的搜索空間轉換為量子態(tài)的量子貓個體，具體的數(shù)學模型和尋優(yōu)機制如下。

在P維的搜索空間中，量子貓的個數(shù)為L，最大迭代次數(shù)為G，當前迭代數(shù)為g，g∈[1,G]，第g次迭代中第l個量子貓記為量子貓的優(yōu)劣由適應度值的大小決定，標記為。規(guī)定適應度最大和最小的量子貓為最優(yōu)量子貓和最差量子貓，適應度分別為和。

在量子貓算法中，使用模擬量子旋轉門實現(xiàn)量子貓捕食獵物的尋優(yōu)搜索過程，在第g次迭代中，首先計算參數(shù)

由此計算全部量子貓中的適應度大于 ξg的個數(shù)為

每個量子貓根據(jù)自身與適應度排名前Qg的量子貓的距離確定運動方向與距離。由此得到第l個量子貓的第p維向第q個量子貓的第p維運動量子旋轉角計算公式為

式中(q)為[0,1]的均勻隨機數(shù)。另外規(guī)定，若(q)=0，則令

式中sign為符號判決函數(shù)。

使用模擬量子旋轉門計算第l個量子貓的第p維向第q個量子貓的第p維運動的位移分量(q)，位移分量的計算公式為

則運動后的第l個 量子貓的第p維取值為

得到新一代的量子貓種群后，判斷是否達到最大迭代次數(shù)，當?shù)瓿珊髮⒆顑?yōu)量子貓的位置映射到解空間輸出。量子貓群算法適當?shù)仄胶饬怂惴ǖ娜趾途植克阉髂芰?，實現(xiàn)高效的尋優(yōu)搜索且不易陷入局部最優(yōu)。

2.2 量子貓群算法在多目標跟蹤中的應用

使用量子貓群算法對多目標跟蹤方程進行求解時，設定搜索空間為角度空間，即P=N，建立量子態(tài)的量子貓個體與其在搜索范圍中的映射態(tài)的線性映射關系具體為

根據(jù)多目標跟蹤方程定義量子貓個體的適應度函數(shù)為

在收到第一個回波信號并得到估計結果后，根據(jù)這一結果縮小搜索范圍，以節(jié)省計算量，搜索范圍的下界與上界的更新公式分別為

量子貓群算法的最大迭代次數(shù)由當前搜索范圍的最大值向下取整得到

基于量子貓群算法的多目標跟蹤算法步驟總結如下：

1）陣列接收回波信號后進行采樣，并進行加權處理；

2）按照式(1)對協(xié)方差矩陣進行更新；

3）根據(jù)前一時刻的信息，按照式(4)和式(5)確定搜索邊界；

4）根據(jù)式(6)確定算法的迭代次數(shù)，用量子貓群算法對多目標跟蹤方程進行求解，在達到最大迭代次數(shù)后，輸出當前時刻點的估計值；

5）獲取下一個脈沖回波數(shù)據(jù)后返回步驟1）否則輸出跟蹤結果。

3 仿真實驗

本節(jié)通過設計仿真實驗對所提出的沖擊噪聲下基于量子貓群的多目標跟蹤方法進行性能對比。

實驗1 首先對比了QCSO 在不同維度的測試函數(shù)上與幾種傳統(tǒng)算法的收斂性能。對比算法包括改進的并行貓群算法[15]（enhanced cat swarm optimization, CSO）、原始的貓群算法[16]（cat swarm optimization, CSO）、遺傳算法（genetic algorithm,GA）和粒子群算法（particle swarm optimizer, PSO），對比算法參數(shù)設置見相應參考文獻。選取的標準測試函數(shù)的表達式為

式中D為 搜索空間的維度。D取2、10 和100 的條件下得到的收斂精度隨迭代數(shù)變化曲線分別如圖1 所示。

圖1 收斂精度隨迭代數(shù)變化曲線

從仿真結果可以看出，所設計的量子貓群算法在不同維度的優(yōu)化問題中都表現(xiàn)出更快的收斂速度，達到最大迭代數(shù)后的收斂精度也更高。

在測試函數(shù)上的表現(xiàn)證明了所設計的算法具有較強的尋優(yōu)搜索能力。接下來將在不同的噪聲背景下，對比所設計方法與現(xiàn)有方法對多目標跟蹤的性能。

實驗2假設空間中同時存在2 個相干目標，回波信號從不同方向入射到均勻線陣上，仿真實驗中采用2 個同頻同相的等功率正弦波，頻率均為1 GHz，角度隨時間變化規(guī)律為：θ1(k)=20+k/50，θ2(k)=80?3k/100，k=1,2,···,500，陣列采樣頻率為1 kHz，持續(xù)時間為0.5 s，陣元數(shù)為8。規(guī)定每個脈沖下，對于每個目標，跟蹤角度結果與實際角度的差值低于1°為跟蹤成功。對比方法包括基于分數(shù)低階協(xié)方差（fractional low-order covariance,FLOC）的跟蹤方法[17?18]、基于無窮范數(shù)歸一化的跟蹤方法[19]和基于共變矩（robust covariation,ROC）的跟蹤方法[20]。當沖擊噪聲的特征指數(shù)固定為1.2 和1.6 時，得到的跟蹤成功概率隨信噪比變化曲線分別如圖2 所示。固定信噪比為15 dB，仿真跟蹤成功概率隨特征指數(shù)變化曲線如圖3 所示，特征指數(shù)為1.6 時的跟蹤結果的示意如圖4所示。

圖2 跟蹤成功概率變化曲線

圖3 跟蹤成功概率隨特征指數(shù)變化曲線

圖4 2 個目標情況下的跟蹤示意

從仿真結果可以看出，本文所提出的沖擊噪聲下的多目標跟蹤方法在不同信噪比和不同特征指數(shù)的都較傳統(tǒng)方法有性能優(yōu)勢。尤其是在特征指數(shù)較?。◤姏_擊）和信噪比較低的環(huán)境下，本文所提方法的性能優(yōu)勢更明顯，具有很好的魯棒性。

實驗3假設空間中存在4 個部分相關的目標，信號形式同上但信號幅值服從高斯分布，即這4 個目標兩兩之間的相關系數(shù)介于0 與1 之間。角度隨時間變化規(guī)律分別為

其他參數(shù)設置不變。角度隨時間變化的規(guī)律用實線標注，跟蹤結果用不同的圖形標注如圖5。

圖5 4 個目標情況下的跟蹤示意

由圖5 可以看出，信號在角度空間雖然發(fā)生了交疊，但所設計的方法可以分辨多個目標并進行有效跟蹤。需要注意的是，目標相對于陣列的角度變化規(guī)律體現(xiàn)為運動軌跡，與信號之間的相關性在物理意義上無關。

從以上仿真結果可以看出，本文所提方法可以對獨立、部分相關和全相干的多目標進行高效準確跟蹤，適合應用于偵察和火控雷達系統(tǒng)中。

4 結論

本文針對沖擊噪聲環(huán)境下的多目標跟蹤問題，設計了新的抗沖擊方法，推導了極大似然多目標動態(tài)跟蹤方程，并設計了一種新的量子智能優(yōu)化算法對其進行高效求解，具體的結論如下：

1）構造了一種新的基于零記憶非線性處理的抗沖擊預處理方法，在沖擊噪聲背景具有魯棒性且在不同信噪比條件下都表現(xiàn)出優(yōu)于現(xiàn)有抗沖擊方法的性能，尤其在強沖擊環(huán)境下性能優(yōu)勢更明顯。

2）推導了的極大似然多目標跟蹤方程，解決了現(xiàn)有的基于子空間更新的動態(tài)跟蹤方法無法對相干信源進行跟蹤的問題，突破了應用局限。

3）設計了一種新的量子貓群算法，為對多目標跟蹤方程進行快速、準確的求解。所設計的算法通過應用量子機制，在收斂速度和收斂精度上較傳統(tǒng)的優(yōu)化算法具有優(yōu)勢，可以實現(xiàn)無量化誤差的求解。

仿真實驗證明，本文提出的基于量子貓群算法的動態(tài)跟蹤方法在不僅在沖擊噪聲下具有很好的魯棒性，在高斯噪聲背景下也同樣適用。且具有實時性好的優(yōu)點，在先進的精密跟蹤雷達和通信感知系統(tǒng)中有廣泛應用前景。本文所設計的量子貓群算法是一種高效的尋優(yōu)搜索算法，也可以被應用于解決其他工程問題。下一階段將繼續(xù)研究抗沖擊性能更優(yōu)的處理方法，進一步提高精密跟蹤系統(tǒng)的性能，促進智能信號處理技術的發(fā)展。