基于矩陣重構和酉變換的DOA 估計

李齊衡，孫溶辰，孫志國

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

在雷達、聲吶、通信、探測以及醫療等領域，波達方向(direction of arrival，DOA)估計作為一種重要技術被廣泛應用[1?4]。為了實現DOA 估計，許多經典的超分辨子空間算法被提出，比如多重信號分類算法[5](multiple signal classification, MUSIC)和旋轉不變性的信號參數算法[6](estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)等子空間類算法，但這些算法的適用條件之一是入射信號相互獨立。由于高山、建筑物的反射等原因產生的多徑效應以及同頻干擾的存在，使得在現實生活中不僅有獨立信號，還存在著大量的強相關或相干信號，導致信號協方差矩陣缺秩，破壞了陣列導向矢量與噪聲子空間的正交關系，從而使MUSIC 等算法性能下降甚至失效[7?9]。

因此，尋找有效的相干信號DOA 估計算法具有重大的現實意義[10]。文獻[11]基于概率密度模型來提出了最大似然方法(maximum 1ikelihood，ML)，具有較好的解相干效果。文獻[12]提出的加權子空間擬合(weighted subspace fitting，WSF)算法可以有效地對相干信號進行DOA 估計。但是這2 種算法實現過程很復雜，需要進行多維搜索來實現DOA 估計，計算量巨大，且DOA 測向受初始值的影響較大[13]。文獻[14]通過利用自協方差與互協方差信息進行矩陣重構進行解相干，有較高的DOA 估計精度，但計算復雜度高。文獻[15]通過對各快拍數據進行矩陣重構得到不同時刻的秩恢復矩陣，然后將其與不同陣元的數據進行相關處理，最后對相關矩陣的平方進行加權求和，從而實現相干信號的DOA 估計。該算法無需提前消噪，但低信噪比(signal to noise ratio,SNR)、低快拍條件下估計性能不佳。

空間平滑類方法(spatial smoothing techniques，SST)最早是由Evans 等[16]提出，Shan 等[17?18]將其發展成有效的解相干預處理方法，即前向空間平滑算法(forward spatial smoothing，FSS)，它是通過對各前向子陣列自相關矩陣求和取平均，從而達到去相干的目的。文獻[19]提出了一種雙向空間平滑算法(forward/backward spatial smoothing，FBSS)，增加了后向子陣列的平滑，使接收數據得到更充分的利用，從而提高了相干信源的估計性能。上述空間平滑類算法雖然在快拍數較少的條件下有良好的估計性能，但是具有計算量較大且在低信噪比的環境下估計性能較差的問題。

為了提高低信噪比的環境下的估計性能，文獻[20]提出了奇異值分解法(extended singular value decomposition，ESVD)法，通過利用信號子空間的信息得到新的協方差矩陣然后進行DOA 估計，雖然提高了分辨率，但是需要2 次特征分解，計算量大，不利于DOA 估計的實時實現。為減少計算量，文獻[21]提出了改進的旋轉不變性的信號參數算法(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques-like, ESPRIT-Like)算法，該方法通過將協方差矩陣的任意一行（一列）進行Toeplitz 矩陣重構，得到新的協方差矩陣從而實現解相干，該方法計算量相對較低，在低信噪比條件下仍具有很高精度，但是卻存在入射信號的相干系數不為正時會出現DOA 估計失效的情況。為了進一步降低計算量，文獻[22?26]提出基于酉變換的ESPRIT 方法，能充分利用復數觀測數據本身及其共軛部分的信息，相當于增加了信息觀測量，能提高信號參數的估計能力。同時，基于酉變換的ESPRIT 法利用酉變換將陣列接收數據矩陣轉化為中心復共軛對稱矩陣從而使其處于實數域，然后通過相應的實值運算得到信號子空間，可以實現快速DOA 估計，是一種比較有效的實值ESPRIT 方法，但是解相干性能較差。本文在對信號子空間進行Toeplitz 矩陣重構的基礎上，利用酉變換減少計算量和充分運用陣列接收數據的共軛信息，提高了運算效率和DOA 估計精度。

1 數學模型

如圖1 所示，設有N個陣元的均勻線陣(N=2M+1，M為正整數)，陣元間距為d≤0.5λ( λ為信號波長)；由P個遠場窄帶相干信號分別從角度θ1,θ2,···,θP入射到均勻線陣上。

圖1 均勻線陣信號模型

參考陣元是位置0 處的陣元，則位置k處的陣元上的觀測數據可表示為

式中：ui=exp(?j2πdsinθi/λ)， βi為相干系數且β1=1，nk(t) 是噪聲功率為 σ2、均值為0 且與信號獨立的理想高斯白噪聲。將式(1)寫成矩陣形式為

式中

其中 (·)T表示轉置。若總的快拍數為L，則接收數據矩陣為

式中

觀測信號陣列協方差矩陣Rxx為

式中：RS=E(s(t)s(t)H)為來波信號的協方差矩陣，IN為N×N維單位矩陣， (·)H為共軛轉置。

對于相干信號，陣列信號協方差Rxx的秩將退化為1，對Rxx進行特征分解以后，得到的信號子空間維數為1，即小于入射信號的個數，導致信號子空間與陣列導向矢量張成的空間不是同一空間，使得MUSIC 和ESPRIT 等類算法完全失效。

2 ESPRIT-Like 算法

為了對相干信號進行解相干，文獻[21]提出了ESPRIT-Like 算法，該算法不僅成功恢復了陣列協方差的秩，而且大大降低了解相干過程的運算量，并且在低信噪比的條件下仍然有較強的解相干能力。下面介紹ESPRIT-like 算法。

根據文獻[27]可知，協方差Rxx的元素可以表示為

式中

式中 (·)?表示共軛。由文獻[27]可知，重構Toeplitz矩陣為

式中

式中：diag(·)表示對角化； λ0為無噪聲時R(m)的最大特征值，最后篩選最大特征值對應的特征向量找出信號子空間US，用ESPRIT 算法對其進行處理即可得各信號的入射角 θi。

若相干系數實部不為正的條件下，特征值λ0的實部可能是負數，如果沒有噪聲影響即σ2=0，信號子空間可以準確地確定；如果有噪聲的影響，那么在 λi實部絕對值接近噪聲功率 σ2且其虛部很小的情況下，R(m)的特征值λ0+σ2絕對值小于 σ2，這會導致部分甚至全部噪聲子空間會被誤判為信號子空間，導致該算法測向精度下降甚至不能估計DOA。這類情況在低信噪比的條件下更容易發生。

例如陣元數為5 的均勻線陣接收到10°和45°的相干信號，快拍數為200，相干系數為[1,?0.6?0.1j]，若沒有噪聲，R(m)的特征值分別為1.392 8?0.344 0j、?0.785 1+0.3440j、0，其中1.3928?0.344 0j、?0.785 1+0.344 0j 對應的特征向量是信號子空間US；若有噪聲且信噪比為0 dB，則R(m)的特征值分別為2.094 7?0.340 7j、0.365 3+0.2791j、1.009 7+0.061 6j，而信號子空間US對應的特征值為2.094 7?0.340 7j、0.365 3+0.279 1j，不是較大特征值2.094 7?0.340 7j、1.009 7+0.061 6j，此時的DOA 估計結果如圖2 所示，ESPRIT-Like 算法明顯失效。為了解決上述問題和降低計算量，本文提出了酉矩陣重構算法。

圖2 ESPRIT-Like 算法失效圖

3 本文算法

將接收數據矩陣X寫成如下形式：

式中：X1和X2均為M×L維矩陣，X0為1×L維向量。為充分利用共軛的觀測數據的信息，可以對觀測數據進行擴維以達到數據加倍的效果，利用n×n維的交換矩陣Jn構造一個N×2L維的復矩陣Z=[X JNX?JL]。容易驗證Z是一個中心復共軛對稱矩陣[28]。下面通過酉矩陣將復矩陣轉變為實值矩陣T(X)：

式中Qn為稀疏的酉矩陣，其奇數與偶維分別定義為

酉矩陣具有以下性質：

從上述分析可知，T(X)變換可以將復矩陣變成實矩陣，這樣就可以大大地減少矩陣運算量[29]，提高運算效率，由JN A=A?可得

RS1=

式中，由式（3）可得陣列協方差矩陣：

用e表示R′最大特征值對應的特征向量，由文獻[29]可知：

重構Toeplitz 矩陣得到新的協方差矩陣為

式中：G=diag(α1,α2,···,αn)為利用信號子空間的共軛信息，構造矩陣將其進行酉變換可得實矩陣并得到以下矩陣R2：

即R2的信號子空間由均勻線陣旋轉不變性[30]K2Ar=K1ArΦ可得

令H=1QM+1，結合式（7）與式（8）得：

由陣列流型與信號子空間張成同一空間可知，存在滿秩矩陣T，使得Ar=US rT，即AT=EsT，則有

由最小二乘法可得

式中 (·)+表示取廣義逆，對TΦT?1進行特征分解，其特征值為進而估計出θk。

綜上所述，本文算法步驟為：

1） 利用式(2)將接收數據從復矩陣轉化為實矩陣；

2） 利用式(3)和(4)計算數據協方差R′；

3） 將R′進行分解得到信號子空間e，并通過式(5)進行Toeplitz 矩陣重構得到新的協方差矩陣R1；

4） 利用式（6）進行酉變換，將R1轉化為實對稱矩陣R2，將其進行特征分解得到信號子空間Es；

5） 利用式(9)進行DOA 估計。

4 仿真分析

本節為進一步驗證本文算法的DOA 估計能力，通過仿真試驗進行分析。實驗采用均勻線陣，陣元間隔為半波長，信號入射角的范圍是0°～90°。當實際信號角度與信號估計角度之差絕對值小于等于0.69°時，認為估計成功。成功率定義為多次獨立實驗中正確的實驗次數和總實驗次數之間的比值。將相干系數實部全為正的條件記為A 類，相干系數實部不全為正的條件記為B 類，均方根誤差(root mean square error，RMSE)RMSE定義式如下：

式中：L為實驗的次數，為 θi（真實值）第j次估計結果。

仿真1算法有效性比較。有2 個完全相干的信號入射，入射角分別是20°和50°，快拍數300，陣元數11，相干系數為[1,?0.6?0.1j]，在信噪比為0 dB 的條件下，分別用前向空間平滑方法、ESPRIT-Like 算法和本文算法進行20 次實驗。由圖3 可知，在相干系數實部為正的情況下，3 種算法均能有效估計DOA。

圖3 A 類且低信噪比的DOA 估計

僅改變信噪比，將其改為10 dB，如圖4 所示，3 種算法均能準確估計DOA。說明在相干系數實部全為正和高信噪比的條件下，3 種算法均有效。

圖4 B 類且高信噪比DOA 估計

改變信噪比和相干系數，信噪比改為10 dB，相干系數改為[1,?0.6?0.1j]。圖5 為A 類且高信噪比DOA 估計。由圖5 可知，3 種算法均能有效估計DOA。說明在相干系數不全為正及高信噪比條件下，3 種算法均有效。

圖5 A 類且高信噪比DOA 估計

僅改變信號的相干性，入射信號的相干系數為[1,?0.6?0.1j]，由圖6 可知，ESPRIT-Like 算法已經失效,本文算法和前向空間平滑ESPRIT 算法可以有效地估計DOA，并且本文算法精度較高。

圖6 B 類且低信噪比DOA 估計

仿真2 算法性能比較。假設入射信號的相干系數為[1,0.6?0.1j]，獨立實驗次數400，快拍數200，信噪比從?2 dB 增加到4 dB，其余實驗條件與實驗1 相同，與前向空間平滑ESPRIT 算法與ESPRIT-like 算法進行對比。如圖7(a)所示，3 個算法的成功率均隨信噪比的上升而呈總體增大的趨勢，3 種算法的成功率均在61%以上，并且其他2 種算法成功率明顯低于本文算法。說明即使在高信噪比的條件下，本文算法的性能仍不低于ESPRIT-Like 算法，而前向空間平滑方法成功率明顯低于ESPRIT-like 算法和本文算法。

圖7 成功率隨信噪比的變化

改變信號的相干性，將入射信號的相干系數改為[1,?0.6?0.1j]，如圖7(b)所示，當SNR ≤?1 dB時，ESPRIT-like 算法成功率為0，本文算法的成功率在80%以上，前向空間平滑ESPRIT 算法成功率明顯低于本文算法；當?1 dB ＜SNR ≤6 dB時，ESPRIT-like 算法成功率雖不為0，但是其曲線和前向空間平滑ESPRIT 算法曲線仍在本文算法之下；當SNR ≥7dB時，3 種算法的曲線重合，表明在低信噪比條件下，ESPRIT-like 算法已經無法估計DOA 了，本文算法仍然可以估計DOA。

仿真3信噪比變化對算法性能的影響。為了比較前向空間平滑ESPRIT 算法、雙向空間平滑ESPRIT 算法、ESPRIT-like 算法和本文算法的DOA 估計性能，假設有2 個相干信號從10°和30°方向入射，相干系數為[1,0.62?0.1j]，信噪比為?5～4 dB，快拍數為100。

圖8 是RMSE 隨SNR 的變化圖，其結果為對每個SNR 點做500 次獨立實驗仿真的統計結果。如圖8(a)可知，4 種算法性能曲線隨著信噪比的增大而下降，本文算法的曲線在其他算法曲線的下方。這表明4 種算法在相干系數實部全為正的條件下均能有效地估計DOA，信噪比越高估計越準確且本文算法估計性能最好。

圖8 RMSE 隨信噪比的變化

改變信號的相干性， 將相干系數改為[1,?0.62?0.1j]如圖8(b)和圖8(c)可知，ESPRITlike 算法的RMSE 非常高，已經偏離正常范圍，表明ESPRIT-like 算法此時已經失效。其他3 種算法均在合理范圍內，本文算法RMSE 低于其他3 種算法。這表明在相干系數實部不全為正和低信噪比的條件下ESPRIT-like 算法無法有效估計DOA，其他2 種算法和本文算法在此時仍然有效且本文算法精度較高，可以準確估計DOA。

仿真4 陣元數對算法性能的影響。入射角度為10°和45°，陣元數從11 增加至23，快拍數30，獨立實驗次數650，分別在相干系數為 [1,0.6?0.1j]及信噪比為0 dB 和相干系數為[1,?0.6?0.1j]及信噪比為0 dB 情況下進行仿真實驗，由圖9(a)可知，在相干系數實部全為正條件下4 種算法的總體趨勢是RMSE 曲線隨著陣元數的增加而下降，而本文算法性能明顯優于其他3 種算法。由圖9(b)和圖9(c)可知，在相干系數實部不全為正且低信噪比的條件下，盡管陣元數在增大，但ESPRIT-Like 算法的RMSE 曲線嚴重偏離了正常范圍，而本文算法和其他2 種算法卻仍然保持在正常范圍且本文算法RMSE 較小，其曲線隨著陣元數的增加而下降。這表明在相干系數實部不全為正的條件下，ESPRIT-Like 算法不會因為陣元數的增加而能有效地估計DOA，本文算法仍能有效地估計DOA。

圖9 RMSE 隨陣元數變化

仿真5快拍數對算法性能的影響。信號入射角度10°和50°，獨立實驗次數600，快拍數從100 增加至900，陣元數為11，分別在相干系數為[1, 0.63?0.1j]及信噪比為0 dB 和相干系數為[1,?0.63?0.1j]及信噪比為0 dB 的情況下進行仿真實驗。由圖10(a)可知，在相干系數實部全為正或者高信噪比條件下，4 種算法的曲線總體趨勢是隨快拍數的增加而下降，總體而言，其余4 種算法和本文算法的RMSE 大致相同且均在合理范圍內，由于本文算法充分利用了最大特征向量所有信息的信號，因此性能明顯優于其余3 種算法。這表明在ESPRIT-Like 算法有效的條件下，本文算法仍然有效且性能不低于其他4 種算法。由圖10(b)和圖10(c)可知，在相干系數實部不全為正且低信噪比的條件下，雙向空間平滑ESPRIT算法、前向空間平滑ESPRIT 算法和本文算法性能受快拍數影響不大，RMSE 較小且隨快拍數增大變化平緩且本文算法RMSE 低于其他2 種算法，但ESPRIT-Like 算法的RMSE 很大，嚴重偏離了正常范圍。說明無論快拍數有多大，本文算法仍然可以有效地估計DOA，而ESPRIT-Like 算法完全失效。

圖10 RMSE 隨快拍數變化

仿真6運算效率對比。信號入射角分別為20°和50°，快拍數為300，陣元數為11，相干系數為[1, 0, 5?0.2j]，信噪比為0 dB，本文算法、前向空間平滑算法、后向空間平滑算法和ESPRITLike 算法運行時間如表1 所示。

表1 運行時間對比

由表1 可知，本文算法的運行時間低于其他算法的時間，是ESPRIT-Like 算法的71.2%左右，這是由于本文算法采用酉變換將復數運算轉化為實值運算以及用矩陣重構的方法取代空間平滑方法，使得計算量得到降低，運算效率得到提高。

5 結論

1）本文提出了基于矩陣重構和酉變換方法的算法進行解相干，該方法通過將觀測數據通過酉變換并進行實值化處理，充分利用了陣列接收數據及其共軛的信息，提高了估計性能，降低了計算量，進一步利用信號子空間的信息得到具有Toeplitz 性質的新協方差矩陣，提高了DOA 估計精度。

2）進行了相應的理論分析和計算機仿真，并與ESPRIT-like 算法以及空間平滑類算法進行了對比。分析和仿真的結果表明，ESPRIT-Like 算法會在相干系數實部不全為正以及低信噪比的條件下失效，無法準確估計DOA，而本文算法在此條件下，仍可以準確地估計DOA，且在高信噪比或相干系數實部全為正條件估計精度優于ESPRITLike 算法。

此外，本文算法的性能及運算效率優于前向空間平滑ESPRIT 算法、雙向空間平滑ESPRIT 算法。由于本文算法研究局限于一維相干信號DOA 估計這一問題，所以將其應用至二維相干信號DOA 估計成為后續研究的重要內容。