基于三周期極小曲面的多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能研究

張曦,丁力平,吳沛豪

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 210016)

0 引言

三周期極小曲面(triply periodic minimal surfaces,TPMS)是一種基于數(shù)學(xué)模型表達(dá)的隱式曲面,具有三維周期性、零曲率、幾何形狀多樣等特點(diǎn)[1]。基于TPMS設(shè)計(jì)的多孔結(jié)構(gòu)相較于傳統(tǒng)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)(如體心立方結(jié)構(gòu))具有高表面積與體積比、表面光滑、孔隙連通性優(yōu)越、孔隙特征可控等優(yōu)點(diǎn)[2],在醫(yī)學(xué)植入物、結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

在多孔結(jié)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中,多孔結(jié)構(gòu)往往需要滿足一定的強(qiáng)度要求,Gibson-Ashby 模型是評(píng)估多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能最為經(jīng)典的模型。Gibson-Ashby模型表達(dá)了多孔結(jié)構(gòu)孔隙率與力學(xué)性能之間的關(guān)系[3],但是除了孔隙率這一影響多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的主要因素外,孔隙形狀、尺寸及空間分布也會(huì)對(duì)其力學(xué)性能產(chǎn)生影響[4],而且由于多孔結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征,其成形實(shí)體與設(shè)計(jì)模型之間往往存在較大誤差[5],在多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)階段難以準(zhǔn)確地評(píng)估其真實(shí)孔隙率,因此采用Gibson-Ashby 模型預(yù)估的力學(xué)性能與實(shí)際值相差較大,如吳先哲等[6]采用Gibson-Ashby 模型預(yù)測(cè)的多孔結(jié)構(gòu)彈性模量與實(shí)際值相差高達(dá)96%;張國(guó)慶等[7]采用Gibson-Ashby 模型預(yù)測(cè)的正八面體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能與實(shí)際值相差高達(dá)68.3%。為了解決這一問題,國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)Gibson-Ashby 模型進(jìn)行了修正。JHA等[8]根據(jù)多孔結(jié)構(gòu)的孔隙特征修正了Gibson-Ashby 模型的系數(shù),并提出了修正后系數(shù)的取值規(guī)律;阮文超等[9]修正了孔隙率的計(jì)算方式,進(jìn)而完成了對(duì)Gibson-Ashby 模型的修正;韓春光[10]分析了開孔泡沫材料的變形機(jī)制,對(duì)Gibson-Ashby 模型進(jìn)行了推廣;HU等[11]通過分析結(jié)構(gòu)的宏觀特征,引入有效相對(duì)密度這一概念來修正Gibson-Ashby 模型。

盡管國(guó)內(nèi)外許多研究人員針對(duì)Gibson-Ashby 模型做了一定的修正,但是這些研究主要是通過進(jìn)行大量的試驗(yàn)和理論計(jì)算,依據(jù)多孔結(jié)構(gòu)的孔隙特征修正Gibson-Ashby 模型的系數(shù),修正過程繁瑣。此外,由于難以定量地描述多孔結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)孔隙特征的影響,因此未能建立多孔結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與力學(xué)性能之間的關(guān)系模型,在設(shè)計(jì)多孔結(jié)構(gòu)時(shí)不能直觀地預(yù)估其力學(xué)性能。針對(duì)在多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段難以直接預(yù)測(cè)其力學(xué)性能的問題,本文以TPMS模型中的Schwarz_P結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,采用選區(qū)激光熔化(selective laser melting,SLM)技術(shù)制備了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu),進(jìn)行了壓縮試驗(yàn),研究了其力學(xué)性能,建立了力學(xué)性能與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系模型。

1 試驗(yàn)方法、材料及設(shè)備

1.1 Schwarz_P結(jié)構(gòu)

本文以TPMS模型中的Schwarz_P曲面為研究對(duì)象,Schwarz_P曲面方程φΡ(x,y,z)如式(1)所示。

(1)

式中:k為單元大小;c為形狀因子。

圖1為不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu)的圖像。由圖1可知,改變單元大小k值, Schwarz_P元胞單元大小隨之改變,Schwarz_P結(jié)構(gòu)的孔隙大小發(fā)生改變;改變形狀因子c值,Schwarz_P曲面偏移值隨之改變,Schwarz_P結(jié)構(gòu)的形狀進(jìn)而發(fā)生變化。因此通過調(diào)控單元大小和形狀因子的取值可實(shí)現(xiàn)對(duì)Schwarz_P結(jié)構(gòu)孔隙特征的精確化控制。

圖1 Schwarz_P結(jié)構(gòu)圖像

需要指出的是,形狀因子c存在閾值,即當(dāng)c達(dá)到一定值時(shí),Schwarz_P結(jié)構(gòu)上下層連接線過細(xì),產(chǎn)生夾斷現(xiàn)象,夾斷現(xiàn)象的產(chǎn)生導(dǎo)致Schwarz_P結(jié)構(gòu)不連續(xù),因此需要對(duì)形狀因子的取值做出限制。張明康[12]對(duì)Schwarz_P結(jié)構(gòu)的夾斷行為做了一定研究,研究結(jié)果表明當(dāng)形狀因子c為1時(shí),Schwarz_P結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)夾斷現(xiàn)象,因此形狀因子c最大值應(yīng)小于1。

1.2 基于加工軌跡構(gòu)造的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法

本文采用基于加工軌跡構(gòu)造的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法完成Schwarz_P結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì),該設(shè)計(jì)方法相較于多孔結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的顯著區(qū)別是無需構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu)的CAD模型,僅僅需要構(gòu)建為多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供空間尺寸約束的殼體模型,通過隱式函數(shù)方程或者自然規(guī)則來完成多孔結(jié)構(gòu)的隱式表達(dá),依據(jù)隱式表達(dá)構(gòu)造多孔結(jié)構(gòu)加工軌跡,最后生成打印文件[13]。Schwarz_P結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要流程如下:1)對(duì)殼體模型切片,在切片得到的二維輪廓內(nèi)生成點(diǎn)陣區(qū)域,將點(diǎn)陣區(qū)域劃分為二維輪廓內(nèi)部點(diǎn)、邊界點(diǎn)和外部點(diǎn),舍棄外部點(diǎn),保留內(nèi)部點(diǎn)和邊界點(diǎn);2)依據(jù)Schwarz_P曲面方程生成元胞單元軌跡;3)將點(diǎn)陣與元胞單元軌跡求交,邊界點(diǎn)和內(nèi)部點(diǎn)與元胞單元軌跡的求交結(jié)果分別為Schwarz_P結(jié)構(gòu)的邊界軌跡和內(nèi)部軌跡;4)合并邊界軌跡和內(nèi)部軌跡,完成一層Schwarz_P結(jié)構(gòu)的軌跡構(gòu)造;5)重復(fù)上述步驟,完成所有二維輪廓的軌跡構(gòu)造,生成打印文件,即完成Schwarz_P結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

1.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文以Schwarz_P結(jié)構(gòu)的單元大小k和形狀因子c為因素,設(shè)計(jì)兩因素五水平的全因子試驗(yàn),Schwarz_P結(jié)構(gòu)的三維尺寸為(10×10×20)mm3,并采用SLM技術(shù)制備,全因子試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表1所示。為了保證試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性,每組結(jié)構(gòu)參數(shù)制造3個(gè)樣品。在制備不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu)時(shí),SLM工藝參數(shù)保持一致,SLM工藝參數(shù)如表2所示。

表1 全因子試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

表2 SLM工藝參數(shù)

1.4 試驗(yàn)材料及設(shè)備

Schwarz_P結(jié)構(gòu)成形試驗(yàn)選用的粉末是某公司生產(chǎn)的Ti6Al4V粉末,成形設(shè)備為某公司研發(fā)的Ti150打印機(jī)。本文參照《GB/T7314—2017金屬材料室溫壓縮試驗(yàn)方法》和《GB/T1453—2005夾層結(jié)構(gòu)或芯子平壓性能試驗(yàn)方法》[14-15],在室溫下采用cmt505電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行壓縮試驗(yàn),同一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu)進(jìn)行3次壓縮試驗(yàn),試驗(yàn)機(jī)載荷加載速度為2mm/min,載荷加載方向與Schwarz_P結(jié)構(gòu)成形方向一致。

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 試驗(yàn)結(jié)果

圖2為本文制備的Schwarz_P結(jié)構(gòu)樣品。由圖2可知,本文制備的Schwarz_P結(jié)構(gòu)表面無宏觀缺陷,成形效果良好。圖3為Schwarz_P結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(本刊黑白印刷,相關(guān)疑問咨詢作者)。由圖3可知,Schwarz_P結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)周期性上升和下降的現(xiàn)象,這是由于Schwarz_P結(jié)構(gòu)具有周期性,在壓縮過程中多孔單元逐層被壓潰,因此其應(yīng)力-應(yīng)變曲線為周期性上升和下降的曲線。

圖2 Schwarz_P結(jié)構(gòu)樣品

圖3 Schwarz_P結(jié)構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

本文對(duì)Schwarz_P結(jié)構(gòu)彈性變形階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行線性擬合,以擬合直線的斜率作為Schwarz_P結(jié)構(gòu)的彈性模量,以應(yīng)力-應(yīng)變曲線中的應(yīng)力峰值作為Schwarz_P結(jié)構(gòu)的抗壓強(qiáng)度,Schwarz_P結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能如圖4所示。本文取3次壓縮試驗(yàn)得到的彈性模量和抗壓強(qiáng)度的平均值作為Schwarz_P結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和抗壓強(qiáng)度,如圖5所示。由圖5可知,本文制備的Schwarz_P結(jié)構(gòu)的最大彈性模量為2.175GPa(k=1、c=0.6),最小彈性模量為0.097GPa(k=5、c=0.2),最大抗壓強(qiáng)度為101.663MPa(k=1、c=0.6),最小抗壓強(qiáng)度為2.442MPa(k=5、c=0.4)。

圖4 3次壓縮試驗(yàn)得到的力學(xué)性能

圖5 Schwarz_P結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能

2.2 主因子分析

本文采用Schwarz_P結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與力學(xué)性能的交互作用圖和主效應(yīng)圖來分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)力學(xué)性能的影響,如圖6、圖7所示。由圖6(a)和圖7(a)可知,交互作用圖中的直線近乎重合,單元大小k和形狀因子c未發(fā)生交互作用;由圖6(b)和圖7(b)可知,彈性模量和抗壓強(qiáng)度均隨單元大小k的增加而顯著減少,形狀因子c的變化對(duì)彈性模量和抗壓強(qiáng)度影響甚微,單元大小k為影響Schwarz_P結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的主要因素。綜合對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)與力學(xué)性能的交互作用圖和主效應(yīng)圖的分析可知,Schwarz_P結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能由單元大小k決定,與形狀因子c無關(guān)。

圖6 彈性模量因子圖

圖7 抗壓強(qiáng)度因子圖

2.3 模型擬合

為了對(duì)Schwarz_P結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行直觀的預(yù)測(cè),結(jié)合2.2節(jié)關(guān)于Schwarz_P結(jié)構(gòu)參數(shù)的主因子分析,本文建立變量為單元大小k的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型描述結(jié)構(gòu)參數(shù)與力學(xué)性能之間的關(guān)系,分別如式(2)、式(3)所示。

E=a+b×k+c×k2+d×k3

(2)

σ=e+f×k+g×k2+h×k3

(3)

式中:E為彈性模量;σ為抗壓強(qiáng)度;k為單元大小;a、b、c、d、e、f、g、h均為待擬合的常數(shù)。擬合結(jié)果如圖8所示。由圖8可知,彈性模量與單元大小k之間的關(guān)系模型的擬合優(yōu)度R2為0.996 86,抗壓強(qiáng)度與單元大小k之間的關(guān)系模型的擬合優(yōu)度R2為0.988 14,擬合效果良好。此外,由圖8可知,存在個(gè)別樣品(樣品結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為:k=1,c=0.4;k=2,c=0.8)的力學(xué)性能明顯偏離擬合曲線的情況。這是因?yàn)樵赟LM成形過程中,這些樣品表面附著了大量未完全熔化的粉末顆粒[16],因此其力學(xué)性能與擬合曲線之間存在較大的偏差。

圖8 Schwarz_P結(jié)構(gòu)力學(xué)性能關(guān)系模型擬合結(jié)果

2.4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建立的關(guān)系模型的有效性,本文采用相同的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了5組不同于1.3節(jié)全因子試驗(yàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu),采用SLM技術(shù)制備,SLM成形工藝參數(shù)與表2相同,并在相同的試驗(yàn)條件下測(cè)試其力學(xué)性能,與采用本文建立的模型預(yù)測(cè)的力學(xué)性能進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖9所示。由圖9可知,采用本文建立的模型預(yù)測(cè)的力學(xué)性能與實(shí)際力學(xué)性能基本保持一致,彈性模量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的最大誤差為9.5%,最小誤差為3.9%,抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的最大誤差為7.9%,最小誤差為4.6%。此外,由于本文建立的關(guān)系模型直接描述了Schwarz_P結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與力學(xué)性能之間的關(guān)系,因此該模型可在多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段直觀地預(yù)測(cè)多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,能夠?yàn)镾chwarz_P結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

圖9 力學(xué)性能驗(yàn)證試驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文選取TPMS模型中的Schwarz_P曲面,采用基于加工軌跡構(gòu)造的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的Schwarz_P結(jié)構(gòu),利用SLM技術(shù)成功制備,通過壓縮試驗(yàn)研究了Schwarz_P結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,建立了彈性模量和抗壓強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系模型,模型擬合優(yōu)度分別為0.996 86和0.988 14,力學(xué)性能驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果表明本文建立的模型能有效預(yù)測(cè)Schwarz_P結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,可在Schwarz_P結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)階段直觀地預(yù)估其力學(xué)性能。