以二次函數最值談銜接教學案例

劉盛

【摘 ?要】初高中的教學銜接是高一數學教學中的難點，如何更有效地銜接初高中數學知識的融合，幫助高一學生順利過渡到高中的學習，是每年高一教學初期必須面對并且需要解決的重要課題。本文借助“求二次函數的最值”這一知識點的教學實踐案例，高效銜接初高中教學以溫故知新，問題銜接拓展，理論遷移應用等方式進行層層深入的探究和實踐性的思考，通過把握教學的銜接點，學生思維提升的關鍵點，理論遷移的切入點進一步提高銜接教學的效率。

【關鍵詞】初高中數學；銜接教學；二次函數最值；教學案例

二次函數是連接初高中函數學習的關鍵模塊，其中最值問題是初高中函數教學的重點，更是學生理解函數相關概念的痛點，以二次函數的最值作為初高中銜接教學的切入點，恰恰就可以讓高一學生從熟悉的知識中去層層深入突破難點和痛點。本文結合本校高一年級數學校本選修課程中一個專題模塊內容——二次函數的最值問題進行分析思考，談談如何在教學過程中進行初高中的教學銜接，提高銜接教學的效率，以下為課堂教師與學生實錄情況及分析。

一、銜接教學教學實踐案例

（一）溫故知新，鋪好銜接橋梁

教師活動1：引導學生回顧如何畫二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（在師生共同畫圖的過程中與學生一起回顧初中學習相關二次函數的開口分類，對稱軸，頂點坐標，與坐標軸的交點，配方法等問題）

學生活動1：例題：已知二次函數f（x）=x2-2x+2，此函數有最大值還是最小值？如果有，求出函數f（x）的最值及此時ｘ的值。

設計意圖1：通過讓學生回顧初中的二次函數的圖像問題，讓學生進一步鞏固求二次函數的最值的方法，為下一環節高中二次函數的最值問題所涉及的數形結合與分類討論等做鋪墊。

（二）環環相扣，做好銜接

教師活動２：總結在求解過程中可以用畫圖的方法，也可以用公式法，還可以用配方法，還有沒有其他更快的方法？進一步提出，如果自變量x給定相應的范圍，最小值會改變嗎？會有最大值嗎？可以求出來嗎？

學生活動２：例題變式1．分別求出二次函數f（x）=x2-2x+2在下列區間上的最小值與最大值

① [-3，-1] ? ② [2，3] ? ③ [-1，3] ? ④ [0，3]

設計意圖：此題是在例題的基礎上，通過給定區間求二次函數的最值，給定區間離對稱軸的情況，布置了一定難度的陷阱，實際課堂情況下多數高一學生都是不畫圖像，要么直接套用頂點公式求最值，要么直接代入不同區間兩端的端點求最值，從而容易導致錯誤。設計本題的意圖，就是層層深入，拓寬學生的解題思路，理清解題步驟和流程，加強學生的畫圖分析能力，進一步滲透數形結合的數學思想。

（三）銜接接軌，深入探究

在學生通過變式1的研究后，已經初步體驗到數形結合在高中數學解題中的重要性、實用性和操作流程，在此基礎上，引導學生進一步深入研究“動態的”數形結合，培養學生探究的興趣，提高數學思維及解題能力那就是水到渠成的事了。

教師活動３：引導學生體會總結給定區間求二次函數的最值時，關鍵是如何巧妙利用數形結合，準確清晰地判斷所給區間是否包含對稱軸，分析出給定區間兩個端點中哪個端點離對稱軸更遠或更近，從而結合圖形，得出最大值或最小值。進一步提出問題，若給定的區間變成一個“動態”的區間，是否有最值？

學生活動3：例題變式2．求二次函數f（x）=x2-2x+2在區間[ｔ，ｔ＋１]上的最小值記為g（t），（1）試寫出函數g（t）的解析式，（2）作出g（t）的圖像并求出g（t）的最

小值。

解：（１）f（x）=（x-1）2+1

當t＋１≤１，即t≤０，g（t）=t2+1

當t＜１＜t＋１，即０＜t＜１，g（t）=f（1）=1

當t≥１，g（t）=f（t）=t2-2t+2綜上可知，g（t）的表達式是分段函數的形式，解答如下：

g（t）=t2+1，t≤01，0＜t＜1t2-2t+2，t≥1

教師活動４：及時引導學生總結用數形結合和分類討論思想進行解決問題的關鍵點，同時引導學生思考總結上一題的類型是“軸定區間動”，在此基礎上引導學生是否可以換一種模式，變成是“軸動區間定”的類型。

學生活動４：例題變式３．求函數f（x）=x2-2ax+2在區間[－１，１]上的最小值記為g（a），（１）試寫出函數g（a）的解析式，（２）求出g（a）的最大值。

引導學生以對稱軸在區間[－１，１]中的不同位置，結合圖像分情況討論g（a）解析式。

設計意圖：二次函數在初高中數學教學中最大的區別在于其靜態的與動態的區別，兩個變式題的設計正是為了實現二次函數由靜態升級到動態的過程，讓高一學生更好地從初中數學函數教學中，尤其是對二次函數的簡單直覺認識，進一步上升到高中的數形結合思想方法以及較為復雜的邏輯推理，為下面實際課堂教學問題的解決做好思維的鋪墊。

教師活動5：提出問題，為實際問題轉化為求最值做好鋪墊過渡。

例題變式 4．函數f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a得取值范圍。

引導學生把所求的a看成未知數，故a≤x2-2x+2，即求g（x）=x2-2x+2的最小值。

設計意圖：通過設置簡單的恒成立問題，讓學生初步體驗轉化等價思想，做好銜接教學的鋪墊。

（四）銜接拓展，理論遷移

例題變式 5．函數f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

師生共同活動6：引導學生對比變式4、5的異同，同時進行轉化。

教師引導一：讓學生類比思考是否能夠把a看成未知數，讓學生進行探究。

教師引導二：二次函數的值恒大于等于0，即二次函數的最小值大于等于0，相當于方程f（x）=x2-2ax+2-a=0無解或一解。

學生活動二：則函數f（x）=x2-2ax+2-a的圖像與x軸無交點或只有一個交點，則△≤0，即（-2a）2-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1。

設計意圖：將二次函數的最值問題進一步拓展，強化了函數、方程、不等式這三者之間的轉化，更好地做到有效地銜接教學二次函數這一重點內容。本人將在變式5的基礎上，給自變量限制一定范圍，讓學生進行探究。

例題變式 6．已知二次函數f（x）=x2-2ax+2-a，當x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。

解：①當a＜-2，f（x）min=f（-2）=4+4a+2-a≥0即a≥0，又∵a＜-2，∴a不存在。

②當-2≤a≤2，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2-a≥0，解得-2≤a≤1，∴-2≤a≤1

③當a＞2，f（x）min=f（2）=4-4a+2-a=6-5a≥0，解得a≤∵a＞2，∴a不存在。

綜上所述，得a的取值范圍為-2≤a≤1

設計意圖：將二次函數的含參數的問題轉化成求函數的最值問題，并進一步通過數形結合滲透分類討論思想解決問題。通過上述教學過程，將最值問題上升到一定的高度，同時也將值域進行系統地、有效地銜接教學。

二、今后初高中銜接教學的三點建議

基于以上課堂教學實踐案例整理分析，本人認為教師要提高初高中銜接教學的效率問題，可從以下幾方面入手：

（一）從思想認識的根本上切實把握初高中銜接教學

每年的高一都會聽到很多老師反映，初中各所學校也根據每年的中考要求及學校的實際情況對某些內容做適當調整，這就造成了很多高一老師不能精準把握高一新生的起點，在教學過程中定位過高，自然而然就造成了教學過程的脫節，所以要想提高銜接教學的效果，首先教師必須從思想上改變觀念，不推卸責任，主動關注學生初中學習的相關內容及難度深度，以初高中為整體體系去構建學生完整的知識網絡，來進行系統教學。

（二）從內容上下功夫提高銜接教學的效率

雖然高中數學相比初中數學增加了內容的廣度和深度，但大多數知識都源自于初中，因此在教學過程中，教師在教學內容的教學處理上，應該理清初高中很多知識的內在聯系，把握銜接點，根據學生的情況來編寫合適的教案，從而結合初高中知識來整體把握教學。比如函數的性質、二次函數、三角函數、平面幾何、立體幾何及概率等知識體系初高中都是聯系甚緊。又如上述二次函數模塊的教學，雖然教材并未單獨編寫，但卻貫穿整個高中階段。本人就以二次函數的值域問題進行了較系統的銜接教學，從而提高教學的有效性和系統性。

（三）從思維方法上下功夫提高銜接教學的效率

很大一部分高一學生之所以未能適應高中數學的學習，主要是初高中學習數學的思維方式有較大的差異。初中教學中有很多內容的學習都是比較注重直觀形象及直接具體化的，而高中數學的學習更注重抽象思維，推理演算推廣及間接問題的等價轉化等，這就要求教師在教學過程中，注重學生的思維方式的銜接過渡。比如在講授《函數奇偶性》的教學過程中，如何做到更加符合高一學生的認知特點和思維水平，有效結合圖形，然后采用初中數學里的代數式賦值計算方法來進行推導，總結規律，得出一般的結論，從而得出奇偶函數的概念。這樣學生就從直觀具體過渡到抽象思維。又如上述課堂實錄中教學的二次函數的值域問題，就是這樣通過先讓高一學生從具體數值入手，通過不斷的變式深入，利用數形結合，引導學生逐步由靜態過渡到動態分析，順藤摸瓜過渡到分類討論及問題等價轉化來解決問題，掌握了數形結合和化歸等思想方法。

【參考文獻】

[1]曾宏建.初高中數學教學銜接的問題及對策[J].數學教學通訊，2018（5）：3-4.

[2]劉華祥.《中學數學教學論》[M].武漢：武漢大學出版社，2003.

[3]楊常青.高一階段如何做好初高中數學銜接工作[J].理科考試研究，2015（12）：41.