基于空間目標異步觀測的慣導誤差快速確定

楊 靜，王 棟，熊 凱

（1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191；2.北京控制工程研究所 空間智能控制技術重點實驗室,北京 100094）

慣性導航系統自主性、抗干擾性較強且導航信息完整，但導航誤差隨時間積累[1]。作為一種重要的天文導航敏感器，星相機可以同時對恒星以及具有一定亮度和軌道先驗信息的空間目標如人造衛星等進行照相觀測[2]，通過星圖匹配與圖像處理提取恒星的星光矢量以及恒星與空間目標的角距，進而還可以采用軸系定位法或天文定位法得到空間目標的方向矢量，將其作為空間基準信息源可以輔助校正慣導解算誤差，以滿足高精度長航時的自主導航定位需求[3]。

由于星相機成像曝光以及星圖和目標的識別處理需要消耗一定的時間[4]，并且可觀測恒星和空間目標的數量與光學鏡頭的視場角大小、探測靈敏度等性能指標以及被觀測對象的分布和運動特性密切相關，導致基于照相觀測星相機的天文導航系統的數據更新率較低[5]。此外，星相機提供的是與載體位置間接相關的測量信息，而對載體速度的可觀性弱，速度誤差難以被有效地估計出來。如何有效利用數量和精度有限的測量信息，實現對慣導誤差參數的快速、準確估計是目前需要解決的問題。

目前，常用的慣導誤差估計方法分為兩類：基于狀態估計的方法和基于參數估計的方法。其中，基于狀態估計的方法包括卡爾曼濾波[6]、擴展卡爾曼濾波[7,8]、無跡卡爾曼濾波[9-11]、容積卡爾曼濾波[12,13]等方法。文獻[14]采用標準卡爾曼濾波器融合里程計、星敏感器和慣性器件的測量信息，實現動態的初始對準和誤差校正。文獻[15]和文獻[16]將待估誤差項擴維到狀態向量中，然后采用不同的自適應容積卡爾曼濾波算法在線遞推估計導航誤差參數。文獻[17]提出一種確定月球探測車初始位置和姿態以及慣性器件誤差的方法，在月球車保持靜止時利用恒星高度角、星光矢量以及水平速度誤差建立測量模型，再采用無跡卡爾曼濾波算法估計并校正慣導誤差。在以上基于狀態估計的方法中，往往被估誤差參數需要一定的時間才能穩定收斂，并且當初始誤差參數較大時可能導致濾波收斂時間增長，嚴重情況下甚至可能造成濾波發散，進而難以快速有效地實現對誤差參數的準確估計與補償。此外，基于狀態估計方法的估計精度還依賴于系統模型及噪聲統計特性的準確程度。

在進行參數估計時，最小二乘是廣泛應用的準則之一。當待估參數與系統測量建立的是線性模型時，即可用線性最小二乘法獲得誤差參數的估計值，該方法無需測量噪聲先驗信息，實現簡單，快速性較好[18]；當待估參數與系統測量是非線性關系時，可以基于最小二乘準則建立關于待估參數的非線性優化模型，通常采用高斯-牛頓[19]（Gauss Newton,GN）、列文伯格-馬夸爾特[20]（Levenberg-Marquardt,LM）等非線性優化方法進行迭代求解，以保證參數估計的精度。

在導彈、高超聲速飛行器等應用平臺，高速高動態特征將造成嚴重的氣動光學效應，同時由于受到光學鏡頭觀測視野的限制，獲得的有效天文測量信息有限。針對大的初始位置和速度誤差影響組合導航估計誤差收斂速度，嚴重者甚至導致濾波發散的問題，本文結合異步測量同步處理思想，提出一種非線性最小二乘優化方法，通過融合有限的空間目標觀測信息快速確定慣導誤差參數。

1 模型建立

1.1 系統狀態方程

由于初始導航參數誤差、加速度計偏置、陀螺漂移等誤差的存在，慣導解算中的積分運算將使導航誤差隨時間不斷積累增大。通常，建立慣導小誤差方程來描述載體狀態誤差和慣性器件主要誤差分量的動態變化情況，并可用于實現對誤差狀態的遞推估計。

在發射點慣性系（簡稱發慣系）下采用導航狀態誤差和慣性器件的主要誤差分量構成導航系統的狀態向量為：

其中，?為平臺誤差角向量為速度誤差向量，上標li表示發慣系，下標c表示載體坐標系為位置誤差向量；ε為三軸陀螺常值漂移誤差向量；?為三軸加速度計常值偏置誤差向量；上標T 表示轉置。將天文/慣性組合導航系統的狀態方程表示為：

其中，t為時間；F(t)為系統狀態矩陣；G(t)為噪聲因數矩陣；W(t)為系統噪聲。

將式(2)離散化可得：

其中，下標k對應當前時間tk；wk,k-1為G（t）W（t）離散化后的過程噪聲；Φk|k-1表示從tk-1到tk的狀態轉移矩陣，即Φk|k-1=Φ（tk,tk-1），可以按照式(4)計算得到。

其中，T為離散周期。

通過式(3)可以建立不同時刻系統狀態之間的轉換關系，并利用慣性傳感器測量的角速度和加速度進行慣導解算。在此基礎上，根據式(5)將k-1時刻的狀態估計值利用狀態轉移矩陣遞推得到k時刻的狀態估計值以完成時間更新。

其中，上標“^”表示估計值。

1.2 優化模型

構建準確的測量模型以有效利用測量信息是提升狀態估計精度的一種重要途徑。在基于照相觀測星相機的天文/慣性組合導航系統中，關于空間目標的可用測量信息主要有兩種：視線方向矢量測量以及與恒星間的角距測量。天文觀測示意圖如圖1 所示，在工作過程中，星相機同時對至少一顆空間目標和若干顆背景恒星進行照相觀測，通過星圖識別可獲得恒星矢量以及空間目標的視線方向矢量，進而得到兩者之間的角距。

圖1 天文觀測示意圖Fig.1 Schematic diagram of celestial observation

目標視線方向矢量測量提供的是與載體位置直接相關的信息，信息利用率較高，據此建立的測量模型非線性度較小，但基于傳統軸系定位法提取的目標方向矢量難以避免星相機軸擾動誤差的影響，而坐標系轉換的過程還會引入安裝誤差的影響。因此，當星相機存在較大的安裝誤差和光軸擾動誤差時，基于目標視線方向矢量的測量模型精度有限。與之相比，基于角距的測量模型非線性度較高，但是由于角距信息不依賴于坐標系，故采用基于角距建立測量模型的方式可以有效避免星相機軸擾動和安裝誤差的影響。

通常情況下，星相機視野中有足夠數量的可觀測恒星，對其進行照相觀測可以提取較高精度的載體姿態四元數，以輔助校正慣導姿態誤差，因此，基于卡爾曼濾波的狀態估計方法可對姿態誤差進行較準確的估計與補償，并且由于有關載體姿態的測量信息（恒星矢量）比較充足，即使在較大的初始姿態誤差下，對應姿態誤差分量的濾波估計也可以快速收斂，無需在初始誤差確定階段對載體姿態誤差進行優化與補償。

由于空間目標的數量和分布空間的限制，通常情況下星相機僅能觀測到一顆可觀性較好的目標。此外，通過觀測空間目標得到的測量信息僅與載體位置間接相關，與載體速度無法建立函數關系。如果直接采用濾波方案對載體位置和速度誤差進行估計，通常需要一定時間才能穩定收斂，并且當初始位置和速度誤差參數較大時可能導致濾波收斂時間增長，嚴重情況下甚至可能造成濾波發散。因此，本文根據空間目標與恒星之間角距的測量模型，以導航位置和速度誤差為待估參數，基于異步角距測量建立優化模型，通過非線性最小二乘方法迭代求解慣導初始誤差，以保證后續濾波方案的快速收斂。

建立待優化的目標函數F為：

其中，mi為tk-i時刻測量得到的恒星矢量與空間目標方向矢量之間的角距數目；tks為啟動照相觀測獲取角距測量輔助導航誤差確定的起始時刻；tk為結束時刻；tj為待估計的導航誤差所對應的時刻，該時刻的導航誤差將被用來對所有異步測量進行時間對準的處理，j∈[ks,k]；ξk-i表示tk-i時刻是否獲取有效照相觀測的指示變量，ξk-i=1時為存在有效觀測，否則ξk-i=0；αg(tk-i)為星相機在tk-i時刻測量得到的空間目標與第g顆觀測恒星之間的角距，即：

其中，Sg(tk-i)為tk-i時刻第g顆觀測恒星的星光方向矢量；L(tk-i)為tk-i時刻空間目標的方向矢量；εα為角距測量誤差。表示根據tj時刻的慣導誤差向量解算得到的tk-i時刻第g顆觀測恒星矢量和空間目標矢量間的角距估計值，下標ins表示該參數估計值是根據慣導解算結果計算得到的。具體計算方法如下：

1）將tj時刻的慣導誤差向量X(tj)經過狀態轉移得到tk-i時刻的X(tk-i|tj)；

4）在發慣系下，計算角距估計值：

其中，右上標i表示地心慣性坐標系為從地心慣性坐標系到發慣系的轉換矩陣，由載體發射點的初始經度λ0和初始緯度L0計算得到。

由式(3)可推導出tk-i和tj時刻的狀態向量滿足：

其中，上標?、v、p、ε、?分別表示中與平臺誤差角、速度、位置、陀螺漂移和加速度計零偏對應的分量。

根據式(11)和式(12)，進一步推導出由tj時刻的狀態向量Xj得到tk-i時刻位置誤差估計為：

式(13)給出了由Xj的各個狀態分量以及系統噪聲解析表示的，據此可以建立描述與空間目標的多個異步觀測時刻相對應的位置誤差與待估計tj時刻的導航誤差之間關系的模型。

在忽略各個狀態分量之間相關性的前提下，由式(14)可得各分量協方差陣之間的關系。

其中，P·(tj)表示tj時刻物理量(·)的協方差陣；Q(tj,tk-i)表示由tj時刻到tk-i時刻的過程噪聲協方差陣。

由于在確定誤差的短時段內，小的姿態誤差和器件誤差對系統的影響有限，而且期間獲取的角距信息也難以提供足夠的信息對這些誤差分量進行有效估計，因此，在初始階段僅考慮將主要導航誤差分量作為待確定參數θj，其他分量均作為等效模型誤差進行處理。利用式(10)建立之間的關系，并將其代入式(6)建立非線性的優化模型。通過優化求解該模型可得參數估計值為：

2 高斯牛頓法

當目標函數是非線性最小二乘問題時，可以采用GN、LM 等非線性優化方法進行求解。與傳統牛頓法相比，GN 算法利用目標函數的一階泰勒展開項近似其二階泰勒展開項，通過計算擬海塞矩陣降低了計算量，但當系數矩陣奇異或病態時存在增量不穩定甚至算法不收斂的問題。LM 算法通過引入信賴域在一定程度上解決了系數矩陣的奇異和病態問題，但算法的收斂速度較慢。

由于本文建立的優化模型具有較好的性質，通過合理設計空間目標的觀測方式可以避免出現系數矩陣奇異或病態問題，因此，采用GN 算法來實現優化模型的快速求解。

下面給出GN 算法的實現流程：

1）設置迭代初始值x0；

2）對于第i次迭代，計算雅克比矩陣J（xi）以及目標函數f(xi)，求解增量方程得到增量Δxi：

3）如果Δxi小于增量閾值則停止迭代，否則更新迭代值：

4）如果已到達最大迭代次數或者目標函數值小于閾值則停止迭代，否則返回步驟2)。

3 基于角距異步觀測的慣導誤差快速確定方法

本小節詳細介紹本文方法各模塊的實現流程。

3.1 空間目標異步測量信息的采集

為了保證誤差參數估計的有效性以及快速性，在天文導航啟動初期，依靠載體姿態機動或通過旋轉星相機安裝平臺的方式改變星相機光軸的方位角，使其指向不同范圍的天區以保證待估參數具有較好的可觀測度，并且在同一指向下星相機以較高的頻率對視野內的空間目標和恒星連續進行多次觀測以獲取充足的異步觀測信息。

考慮到星相機的指向次數越多，導航誤差的傳播時間越長，異步測量信息的有效性下降，本文將光軸的指向次數設置為兩次，下面給出異步測量采集的具體實現方式：

1）設置同一指向下高頻觀測頻率以及觀測次數。

2）天文導航啟動后，在星相機光軸的第一個指向下，以預設的觀測頻率對視野內的空間目標和恒星連續進行多次觀測，通過成像曝光和星圖識別等過程獲得恒星的星光矢量和目標衛星的視線方向矢量，進而得到恒星和目標衛星之間的角距測量信息，并記錄每個觀測時刻時間更新過程中狀態轉移陣的變化。

3）依靠載體姿態機動或通過旋轉星相機安裝平臺的方式改變星相機的光軸指向。如果依靠載體的姿態機動來改變光軸指向，則光軸轉角的大小取決于載體姿態機動的大小；如果通過旋轉星相機安裝平臺的方式改變光軸指向，光軸轉角可以設置在40 °～80 °范圍內，使得觀測信息盡可能對狀態形成較好的幾何約束。

4）在星相機光軸的第二個指向下，以預設的觀測頻率對視野內的空間目標和恒星連續進行多次觀測，采集空間目標角距測量信息并記錄每個觀測時刻時間更新過程中狀態轉移陣的變化。

綜上，觀測信息采集處理的時間示意圖如圖2 所示。其中，Δt1為相鄰兩次慣導解算之間的時間間隔；Δt2為相鄰兩次時間更新之間的時間間隔；Δt3為同一指向下相鄰兩次天文觀測的時間間隔；Δt4為星相機光軸改變指向的時間間隔。Δt2=n1Δt1，Δt3=n2Δt2，Δt4=n3Δt3，n1、n2、n3∈N+，N+表示正整數。

圖2 觀測信息采集處理時間示意圖Fig.2 Schematic diagram of time for observation information acquisition and processing

3.2 基于GN 算法的優化模型求解

考慮到大的初始位置誤差會導致較大的線性化誤差，進而對模型線性化和觀測同步處理過程產生嚴重影響。同時，還要避免不準確的速度誤差估計對位置估計精度的影響，因此，采用了兩輪優化的求解方案。

在第一輪優化求解過程中，僅以位置誤差作為待估參數建立優化模型，采用GN 算法迭代計算出位置誤差估計值；在第二輪優化求解時，利用第一輪估計結果修正位置誤差，并建立以殘余位置誤差和速度誤差作為待估參數的優化模型，從而對速度誤差和殘余位置誤差進行同步求解。采用經過兩輪估計得到的位置誤差和速度誤差對慣導誤差進行修正，進而可以為后續的慣導解算或組合導航提供更準確的數據初值。算法的總體結構圖如圖3 所示。

圖3 算法總體結構圖Fig.3 The overall structure diagram of the algorithm

下面給出兩輪優化求解的具體流程。

1）第一輪優化

建立以位置誤差為待估參數的優化模型，即待估參數向量θj由tj時刻的位置誤差構成。由式(13)可得：

基于式(10)建立如式(15)所示的優化目標，然后用GN 算法對位置誤差參數進行迭代估計，具體步驟為：

①設置導航誤差參數的迭代初值θj,0、增量變化閾值 Δθj,min、目標函數閾值Fmin以及最大迭代步數

②如果當前迭代步數k′已達到最大迭代步數則停止迭代，否則進行步驟③；

tk-i時刻的慣導解算位置誤差修正為：

根據式(9)和式(10)依次確定tk-i時刻空間目標的單位方向矢量以及其與第g顆觀測恒星間的角距據此，計算第k′步迭代的目標函數值：

⑤計算第k′步迭代中的目標函數關于當前待估參數的雅克比矩陣

構造正規增量方程：

2）第二輪優化

為了進一步提高位置誤差的估計精度，并且利用載體位置變化中隱含的速度信息，實現對速度誤差的估計。以第一輪優化結果作為位置誤差初值，建立以位置誤差和速度誤差為聯合待估參數θj的優化模型。由式(13)可得：

將式(25)代入式(8)，再依次代入式(9)和式(10)，最終建立形如式(15)所示的優化模型，再采用與第一輪優化相同的方法進行處理。

4 可觀測性分析方法

系統的可觀測性是指在有限的時間區間內根據測量信息推斷系統狀態的能力。通過對系統狀態的可觀測性進行表征、判定以及量化評估，可以為系統狀態的準確完備估計提供方向。Fisher 信息矩陣、可觀測性矩陣的條件數和范數等均可以作為系統可觀測性的量化指標。目前常用的可觀測性分析方法包括基于估計誤差方差陣的特征值特征向量分析法、基于Fisher信息矩陣的克拉美勞方差下界（Cramer-Rao Lower Bounds,CRLB）分析法、以及基于可觀測性矩陣奇異值分解的分析方法。前兩種方法僅適用于濾波框架下的可觀測性分析，而本文是基于參數優化的思想確定慣導誤差，因此采用基于可觀測性矩陣奇異值分解的方法對誤差可觀測性分析。下面給出誤差可觀測性分析的具體實現過程。

由于僅對位置誤差和速度誤差進行優化，此處僅以發慣系下載體三維位置誤差和三維速度誤差構成六維狀態向量X=[ ΔPΔV]T。在k時刻，空間目標與第i顆恒星之間的角距實際測量值記為i=1,2…ns，ns為可觀恒星數量。空間目標與第i顆恒星之間的角距估計值為：

基于式(7)和式(26)，建立測量模型為：

將式(5)和式(28)改寫成離散線性系統模型的形式：

其中，狀態向量Xk∈Rn；狀態轉移矩陣Φk,k-1∈Rn×n；測量向量Zk∈Rm；線性化后的測量陣Hk∈Rm×n；n=6為狀態維數，m=ns為測量維數為包含線性化誤差的測量噪聲。

根據式(28)，測量陣的具體形式為：

其中，L（· ）為空間目標視線方向關于載體位置誤差的非線性函數，具體形式見式(8)和式(9)。

由式(30)可知，僅利用當前k時刻的角距測量信息，測量陣是不滿秩的，速度誤差完全不可觀測。根據分段線性化的分析方法，將所有的異步測量信息均表示為同步處理時刻狀態Xk的函數：

系統的可觀測性矩陣Ok可表示為：

由式(29)可知，在異步測量信息充足的情況下，通過狀態轉移矩陣的同步處理，Ok可以滿足列滿秩的可觀性條件，即可以通過測量值對狀態進行求解。如果可觀測性矩陣是列滿秩的，則k時刻系統是可觀測的，可以將系統可觀測度定義為：

其中，cond（· ）表示求條件數。

當可觀測性矩陣條件數較大時，說明其為病態矩陣，那么在相同測量誤差條件下得到的狀態估計誤差較大，難以通過測量信息準確估計系統狀態，系統可觀性較差；反之，當Ok的條件數較小時，則系統的可觀測度較好。

通過以上定義的可觀測度僅能評估系統整體的可觀測性，為了對每一維狀態的可觀測性進行分析，對可觀測性矩陣進一步進行奇異值分解，再根據奇異值的大小進行分析。對于整個系統而言，奇異值越小則系統的可觀測度越差。對于每一維狀態而言，其所包含的最小奇異值在變量中所占成分越大，則該維狀態的可觀測度越差。

5 仿真實驗與分析

5.1 仿真驗證

以安裝有星相機的高速運載體為仿真研究對象，采用天文/慣性組合導航方式，在載體助推段結束后啟動星相機參與導航。天文測量精度為3 ″，星相機的觀測頻率為0.5 Hz，星相機安裝誤差和光軸擾動誤差為3 ″，星相機的光軸與安裝基座法向軸的夾角為20 °。在每個觀測時刻識別一個空間目標和五顆背景恒星，在同一光軸指向下以10 Hz 連續觀測10 次，相對基座改變光軸指向1 次。陀螺精度水平為0.02 °/h，加速度計精度水平為10 μg。根據先驗信息獲得的空間目標的位置精度為10 m。載體的初始位置誤差為1000 m，初始速度誤差為100 m/s。若無特殊說明，以上為后續實驗中的缺省仿真參數。

在上述仿真條件下，進行50 次蒙特卡洛仿真。采用迭代后的位置剩余誤差和速度剩余誤差的均方根統計值作為評估本文方法性能的指標，本文將剩余誤差定義為傳播到最后一個測量時刻的導航誤差與經迭代優化后估計的導航誤差參數之差。

當最大迭代步數為10 步時，兩輪優化過程中的目標函數值的收斂曲線分別如圖4 和圖5 所示，不同階段下的導航誤差統計結果見表1。由圖4 可知，在以位置誤差為待估參數的迭代優化過程中，目標函數值經過五步迭代后就趨于收斂。由圖5 可知，在以位置誤差和速度誤差為聯合待估參數的迭代優化過程中，目標函數經過兩步迭代后就趨于收斂，這展現了高斯牛頓法具有快速收斂的優勢，且將第一輪優化得到的結果作為第二輪優化的位置誤差初值，加快了第二輪優化的收斂速度。

表1 不同階段的導航誤差Tab.1 Navigation errors under different stages

圖4 第一輪優化過程中目標函數收斂曲線Fig.4 Objective function in the first round of optimization

圖5 第二輪優化過程中目標函數收斂曲線Fig.5 Objective function in the second round of optimization

由表1 可知，在初始誤差較大（位置誤差為十千米量級）的情況下，本文方法可以補償大約97.73%的初始位置誤差以及66.25%的初始速度誤差。在計算機配置為Intel i7-6700、安裝系統為win7 版本、CPU 主頻為3.40 GHZ 的條件下，優化求解誤差參數的耗時為0.0160 s，這體現了所提方法具有一定的快速性。當同一指向下的觀測次數降為四次時，優化求解誤差參數的耗時降為0.0109 s，即異步測量信息數據量的減少有助于縮短求解誤差參數的耗時。仿真統計結果表明，本文方法可以準確且快速地確定啟動天文導航初期慣導解算的位置誤差和速度誤差，并且經過第二輪優化對速度誤差的有效估計進一步提升了位置誤差估計的準確程度。

5.2 誤差可觀測性分析

利用第3 小節給出的基于可觀測性矩陣奇異值分解的分析方法，從誤差可觀測性角度驗證本文方法的有效性。基于5.1 節的實驗條件，分別在改變和固定星相機光軸指向情況下，將可觀測性矩陣的秩以及可觀測度隨觀測次數的變化情況統計在表2 中，并將經過奇異值分解后可觀測性矩陣的奇異值和對應的右奇異向量直方圖繪制在圖6 和圖7 中，用于對每一維狀態誤差的可觀測性改善情況進行分析。按照對應右奇異向量的奇異值從大到小的順序對各子圖進行排列，圖中σ為對應的奇異值，橫坐標1～6 維依次對應x、y、z軸的位置誤差和速度誤差。

表2 不同觀測方式下的可觀測性分析Tab.2 Observability analysis under different observation modes

圖6 固定指向情況下可觀測性分析直方圖Fig.6 Histogram of observability analysis under fixed direction

圖7 改變指向情況下可觀測性分析直方圖Fig.7 Histogram of observability analysis under changing direction

由表2 可知，當觀測次數為1 時，無論是否改變星相機的光軸指向，可觀測性矩陣都不是列滿秩的，系統整體是不可觀測的。當觀測次數大于1 時，可觀測性矩陣是列滿秩的，且系統可觀測度隨著觀測次數的增加而不斷改善。此外，與固定光軸指向相比，改變光軸指向下的可觀測度大約提升了兩個數量級。

由圖6 可知，在固定光軸指向的情況下，奇異值由高到低依次對應的是y軸位置誤差、y軸速度誤差、x軸位置誤差、x軸速度誤差、z軸位置誤差、z軸速度誤差，這是由于從固定光軸指向得到的測量信息無法對每個軸向的狀態誤差形成完備的幾何約束，從而導致各軸向的可觀測度相差較大。與圖6 相比，在改變光軸指向的情況下，圖7 中y軸和z軸的位置誤差及速度誤差對應的奇異值明顯增大，說明通過改變光軸指向可以對各軸狀態誤差形成比較完備的幾何約束，因此可觀測度明顯提升。

5.3 影響因素分析

載體位置、速度誤差的估計偏差主要受到初始誤差、空間目標位置精度、同一光軸指向下的觀測次數、與空間目標計算角距的恒星數量等因素的影響，下面對各種影響因素通過仿真實驗進行分析。

1）初始誤差

由于角距測量提供了與載體位置直接相關的信息，位置的可觀性較好，因此，位置誤差的估計精度幾乎不受初始位置誤差的影響，而速度信息是通過位置的變化量間接提供的，因此，速度誤差的估計精度并不受初始位置誤差的影響。

由于角距測量無法提供直接與載體速度相關的信息，對速度的可觀性弱，因此，初始速度誤差對導航誤差估計精度產生較大影響。圖8 和圖9 分別為不同初始速度誤差下補償前后的速度誤差和位置誤差的變化趨勢。

圖8 不同初始速度誤差下補償前后的速度誤差變化趨勢Fig.8 Trend of velocity error before and after compensation under different initial velocity error

圖9 不同初始速度誤差下位置誤差變化趨勢Fig.9 Trend of position error under different initial velocity error

由圖8 可知，隨著初始速度誤差逐漸增大，速度誤差的補償程度逐漸提高。當初始速度誤差小于10 m/s 時，補償后的速度誤差甚至大于未補償的速度誤差，即速度誤差無法被有效估計出來；當初始速度誤差大于30 m/s 時，補償后的速度誤差明顯小于未補償的速度誤差，盡管角距測量無法提供與載體速度相關的信息，但是從異步觀測序列中可以得到載體位置的變化趨勢，基于位置變化趨勢間接反映的速度信息可以實現對速度誤差的估計。隨著初始速度誤差的增大，在異步測量信息中位置誤差的傳播過程中，載體速度的變化趨勢不再被噪聲淹沒，因此，速度誤差的估計精度隨著初始速度誤差的增大而顯著提高。

由圖9 可知，當逐漸增大初始速度誤差時，第二輪優化后位置誤差的補償程度逐漸提高。當初始速度誤差小于50 m/s 時，第二輪優化后的位置誤差大于第一輪優化后的位置誤差；當初始速度誤差大于70 m/s時，第二輪優化后的位置誤差逐漸低于第一輪優化后的位置誤差，且隨著初始速度誤差的增大，第二輪優化的位置誤差下降程度更明顯，這是由于當初始速度誤差較大時，速度誤差可以被有效估計，且隨著速度誤差估計精度的提高使第二輪優化時位置誤差的估計精度也得到提升。

2）空間目標的位置精度

改變空間目標的位置精度，對應的速度誤差和位置誤差變化趨勢分別如圖10 和圖11 所示。由圖10可知，隨著空間目標位置誤差的增大，經過第二輪對位置誤差和速度誤差的聯合迭代優化后，補償后的速度誤差逐漸增大，即速度的估計精度逐漸下降。由圖11 可知，隨著空間目標位置誤差的增大，第二輪優化后的位置誤差逐漸增大，甚至大于第一輪優化的位置誤差，這是由于當空間目標位置誤差大于50 m 時，速度誤差的補償程度低于40%，較低的速度估計精度使得第二輪優化后的位置估計精度降低。以上仿真結果表明，提高空間目標的位置精度能有效改善位置誤差和速度誤差的估計精度。

3）同一指向下的觀測次數

改變同一指向下的觀測次數，對應的速度誤差和位置誤差變化趨勢分別如圖12 和圖13 所示。由圖12和圖13 可知，隨著同一指向下觀測次數的增加，迭代估計后的位置誤差和速度誤差均呈現下降的趨勢。這是由于隨著觀測次數的增加，包含載體位置變化趨勢的測量信息更加豐富，載體位置的變化趨勢可以被有效地提取出來，提高了速度誤差的估計精度，而速度誤差估計精度的提升使得第二輪優化估計后的位置誤差在第一輪優化的基礎上進一步降低。

圖12 改變同一指向下的觀測次數時速度誤差的變化趨勢Fig.12 Trend of velocity error when changing the observation times under the same direction

圖13 改變同一指向下的觀測次數時位置誤差的變化趨勢Fig.13 Trend of position error when changing the observation times under the same direction

4）與空間目標計算角距的恒星數量

由于速度誤差是通過提取異步觀測序列中載體位置的變化趨勢進行估計的，角距測量僅能提供與載體位置直接相關的信息而無法提供與載體速度相關的信息，因此，改變與目標計算角距的恒星數量對速度誤差的估計精度影響并不明顯。

理論上講，與空間目標計算角距的恒星數量越多，測量信息越豐富，位置誤差的估計精度越高，但由于受到星相機視場角的限制，即使可觀的背景恒星數量較多，其與空間目標形成的角距仍然較小，對狀態的幾何約束程度并沒有明顯的提升。此時如果對所有可觀恒星進行識別并計算與空間目標的角距，不僅需要消耗較長的處理時間，而且對位置誤差估計精度的提升作用十分有限。不同恒星數量下位置誤差的變化趨勢如圖14 所示。由圖14 可知，當與空間目標計算角距的恒星數量小于3 時，兩輪優化后的位置誤差隨恒星數量的增加呈現逐漸下降的趨勢；當恒星數量大于3 時，隨著恒星數量的增加，位置誤差的下降趨勢變得十分平緩，位置誤差估計精度的提升程度很小。為減小計算代價，在星相機視野內與目標計算角距的恒星達到3 顆時即可保證一定的位置誤差估計精度。

圖14 不同恒星數下位置誤差的變化趨勢Fig.14 Trend of position error with different number of stars

5）星相機的軸擾動誤差和安裝誤差

不同的星相機軸擾動誤差所對應的位置誤差和補償后速度誤差的變化趨勢分別如圖15 和圖16 所示。在不同的星相機安裝誤差下，位置誤差和速度誤差變化趨勢分別如圖17 和圖18 所示。

圖15 不同軸擾動誤差下的位置誤差變化趨勢Fig.15 Trend of position error under different axis disturbance error of the star camera

圖16 不同軸擾動誤差下的速度誤差變化趨勢Fig.16 Trend of velocity error under different axis disturbance error of the star camera

圖17 不同安裝誤差下的位置誤差變化趨勢Fig.17 Trend of position error under different installation error of the star camera

圖18 不同安裝誤差下的速度誤差變化趨勢Fig.18 Trend of velocity error under different installation error of the star camera

由圖15～圖18 可知，隨著軸擾動誤差和安裝誤差的增大，各階段補償后的位置誤差和速度誤差均在一定范圍內波動，這是由于軸擾動誤差對星光矢量和目標方向矢量的作用在基于兩者計算角距時互相抵消，且角距測量的提取精度不受坐標轉換的影響。

6 結論

對于測量信息有限的天文慣性組合導航系統，針對較大的初始狀態誤差影響狀態估計精度甚至造成濾波發散的問題，設計了一種基于空間目標異步觀測輔助的慣導誤差快速確定方法，其特點在于：

1）在星相機視場角大小以及光軸轉動角度受限的情況下，采用有限次數的異步觀測不同空間目標方式，可以保證位置誤差和速度誤差的參數可估計性；

2）利用空間目標與可見恒星的角距測量來構建優化模型，可以避免軸擾動誤差和安裝誤差對誤差估計精度的影響；

3）在沒有與速度直接相關的測量信息的情況下，利用載體位置誤差與速度誤差間的傳播關系，通過構造優化模型，在初始速度誤差較大的情況下，可以實現對速度誤差的有效估計；

4）通過構建不同精度的優化模型，采用兩輪迭代優化求解的方法，保證了慣導位置誤差和速度誤差估計的精度和收斂快速性。