有限元方法在電磁場(chǎng)邊界條件教學(xué)中的應(yīng)用

摘""要：電磁場(chǎng)的邊界條件是電磁場(chǎng)理論教學(xué)中尤為重要的部分，是后續(xù)諸多教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。然而電磁場(chǎng)在不同材料、不同方向的邊界條件各不相同，學(xué)生往往難于理解、記憶。用有限元方法設(shè)計(jì)了帶電金屬球殼、帶電介質(zhì)球、同軸傳輸線、波導(dǎo)管、電介質(zhì)平板波導(dǎo)等幾種穩(wěn)恒電磁場(chǎng)和時(shí)諧電磁場(chǎng)模型，展示并討論了不同情形下電、磁邊界條件的特點(diǎn)，使得電磁場(chǎng)邊界條件的教學(xué)內(nèi)容更豐富、直觀，有助于學(xué)生區(qū)分和理解不同情形下電、磁邊界條件各自的特點(diǎn)，提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng)""邊界條件""有限元方法""電磁場(chǎng)理論教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642

Application"of"Finite"Element"Method"in"Teaching"Electromagnetic"Boundary"Conditions

FU"Yulan

School"of"Physics"and"Optoelectronic"Engineering，"Beijing"University"of"Technology，"Beijing，"100124"China

Abstract："The"boundary"conditions"for"electromagnetic"fields"are"an"essential"part"of"electromagnetic"field"theory"teaching，"and"they"are"the"basis"of"many"subsequent"teaching"contents."However，"the"boundary"conditions"of"electromagnetic"fields"vary"in"different"materials"and"directions，"making"it"difficult"for"students"to"understand"and"remember."The"finite"element"method"is"used"to"design"several"stable"electromagnetic"field"and"time-harmonic"electromagnetic"field"models，"such"as"charged"metal"spherical"shells，"charged"dielectric"spheres，"coaxial"transmission"lines，"metal"waveguides，"and"dielectric"planar"waveguides."The"characteristics"of"electric"and"magnetic"boundary"conditions"under"different"situations"are"demonstrated"and"discussed，"making"the"teaching"content"of"electromagnetic"field"boundary"conditions"richer"and"more"intuitive，"which"helps"students"distinguish"and"understand"the"characteristics"of"electric"and"magnetic"boundary"conditions"under"different"situations，"and"improves"the"teaching"quality.

Key"Words："Electromagnetic"field;"Boundary"Conditions;"Finite"element"method;"Electromagnetic"field"theory"teaching

電磁場(chǎng)理論是光電信息科學(xué)與工程專業(yè)及其相近專業(yè)的核心課程之一，以“場(chǎng)”的觀點(diǎn)講授電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是后續(xù)諸多專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)。電磁場(chǎng)的邊界條件是電磁場(chǎng)理論的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，它是后續(xù)講授靜態(tài)電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題，以及電磁波傳播中波導(dǎo)管、諧振腔模式求解的必要條件和重要基礎(chǔ)。電磁場(chǎng)的邊界條件涉及微分方程在幾何界面具體化的問(wèn)題，在不同物理情境下又各不相同，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和空間想象力有較高要求，在教學(xué)中需要一種清晰、具體的方法輔助學(xué)生區(qū)分記憶。有限元方法是求解電磁問(wèn)題的有效數(shù)值方法[1-2]。將有限元方法應(yīng)用于電磁場(chǎng)教學(xué)中可以直觀的展示電磁場(chǎng)各方面的特性[3-4]。本文利用基于有限元方法的COMSOL軟件[5]，分別給出靜態(tài)場(chǎng)和電磁波邊界條件的幾個(gè)模型，以便學(xué)生理解不同物理情景下的電磁場(chǎng)各物理量的邊界條件。

1""靜電場(chǎng)的邊界條件

1.1""帶電金屬球殼的電場(chǎng)邊界條件

在幾何中建立半徑分別為4"cm、4.2"cm、10"cm的3個(gè)同心球，它們構(gòu)成3個(gè)域，中間一個(gè)域?yàn)楹穸葹?.2"cm的球殼，如圖1（a）所示。在材料庫(kù)中添加空氣和銅兩種材料，選擇球殼材料為銅，球殼內(nèi)外均為空氣。在靜電模塊的設(shè)置菜單“方程”下拉選項(xiàng)中可以看到求解的方程即為電場(chǎng)高斯定理和電場(chǎng)-電勢(shì)關(guān)系方程，如圖1（b）所示。在物理場(chǎng)中添加“表面電荷密度”邊界條件，從設(shè)置菜單中可以看到這一邊界條件處理的方程為電位移矢量D的邊界條件，如圖1（c）所示。設(shè)置表面電荷密度ρs為“rho”，并在參數(shù)設(shè)置中將rho賦值為1。在“圖形”界面中，選擇“表面電荷密度”邊界條件的作用區(qū)域?yàn)殂~球殼外表面。添加“接地”邊界條件，選擇半徑為10"cm的球面接地。為使獲得電場(chǎng)的解更為準(zhǔn)確，在網(wǎng)格設(shè)置中，設(shè)置“物理場(chǎng)控制網(wǎng)格”的單元大小為“更細(xì)”。在“研究”中求解穩(wěn)態(tài)場(chǎng)。為體現(xiàn)電場(chǎng)分布隨電荷密度的變化，在研究中添加參數(shù)掃描，掃描rho的取值為1、2、3"（C/m2）。

通過(guò)求解即可得到帶電金屬球殼及其周圍環(huán)境的電場(chǎng)分布，圖1（d）給出了電場(chǎng)模和電場(chǎng)線的空間分布。可以看到在球殼外部電場(chǎng)線垂直于球殼表面放射性發(fā)出，電場(chǎng)自球殼向遠(yuǎn)處逐漸減小。而在球殼內(nèi)部，電場(chǎng)強(qiáng)度為0，無(wú)法正確繪制電場(chǎng)線。在z軸上建立自z=-10"cm至z=10"cm的截線，繪制沿這一截線的電場(chǎng)z分量Ez和電位移矢量z分量Dz的分布曲線，分別如圖1（e）和圖1（f）所示。可以看到，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量分布規(guī)律相似，在金屬球殼外表面均不連續(xù)，在球殼外部向遠(yuǎn)處衰減，在球殼內(nèi)部為0。從圖1（f）中還可看出，球殼外表面電位移矢量大小的階躍值恰為參數(shù)掃描所設(shè)置的面電荷密度rho的取值，即滿足圖1（c）所示的金屬界面電位移矢量的邊界條件。而此時(shí)E和D的x、y分量均為零，即金屬球殼表面切向電場(chǎng)為零，電場(chǎng)方向沿球殼表面法相。可以選擇其他截線或界面進(jìn)行驗(yàn)證和展示。

1.2""電介質(zhì)球的電場(chǎng)邊界條件

在幾何中建立半徑分別為4"cm、10"cm"的兩個(gè)球。在材料中添加空氣和云母，并選擇半徑4"cm的球?yàn)樵颇福渫獠繛榭諝狻Ｔ陟o電模塊中添加空間“空間電荷密度”域條件，設(shè)置電荷密度為“rho”，并選中云母球區(qū)域。在設(shè)置中可以看到此條件對(duì)應(yīng)的方程為電場(chǎng)的高斯定理。注意，這里rho的單位不同于上一節(jié)，為C/m3。同樣對(duì)rho進(jìn)行1-3"（C/m3）的參數(shù)掃描。添加“接地”邊界條件，另外部大球表面接地。網(wǎng)格的設(shè)置與上一節(jié)相似。

通過(guò)求解得到均勻帶電云母球的電場(chǎng)分布。在球的外部，電場(chǎng)線垂直于球面，電場(chǎng)向遠(yuǎn)處衰減，這與金屬球殼類似。不同的是，電場(chǎng)是由球心發(fā)，球內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度不為零。同樣沿z軸做z=-10"cm到z=10"cm的截線。可以看到，在云母球外表面電位移矢量法向連續(xù)和電場(chǎng)強(qiáng)度法向不連續(xù)。

2"穩(wěn)恒磁場(chǎng)的邊界條件

2.1"同軸傳輸線的磁場(chǎng)

同軸傳輸線是穩(wěn)恒磁場(chǎng)教學(xué)中的常用案例，由于可以認(rèn)為傳輸方向無(wú)限長(zhǎng)，我們只需建立二維模型求解。在幾何中分別建立半徑為1"cm、3"cm、4"cm、10"cm的同心圓。在材料中添加空氣和銅，將半徑1"cm的內(nèi)圓和內(nèi)徑3"cm外徑4"cm的圓環(huán)設(shè)置為銅，構(gòu)成同軸傳輸線。其他區(qū)域設(shè)為空氣。采用“磁場(chǎng)”物理場(chǎng)，在設(shè)置中可以看到求解的方程為安培光路定理、磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矢勢(shì)關(guān)系、擴(kuò)展的歐姆定律。假設(shè)同軸傳輸線內(nèi)、外層總電流為±1"A，電流密度為總電流與截面面積的比值。添加兩個(gè)“外部電荷密度”域條件，分別設(shè)置內(nèi)、外層的z方向電流密度為3183.1"A/m2和-545.7"A/m2。網(wǎng)格設(shè)置與前文類似。求解后，可以繪制磁場(chǎng)強(qiáng)度H大小“normH”的分布圖，可以看出磁場(chǎng)分布在同軸傳輸線內(nèi)部，外部磁場(chǎng)為0。建立沿x軸自x=0至x=5"cm的截線，繪制磁場(chǎng)強(qiáng)度y分量Hy沿的分布曲線，可以看出磁感強(qiáng)度在空間始終保持連續(xù)。

2.2"有面電流時(shí)的磁場(chǎng)邊界條件

改變上一節(jié)電流密度分布的條件，在上節(jié)建立的模型中將兩個(gè)“外部電流密度”域條件禁用，添加兩個(gè)“表面電流密度”邊界條件，分別選中半徑1"cm和半徑3"cm的圓，即同軸傳輸線內(nèi)層的外表面和外層的內(nèi)表面。依然假設(shè)它們的z方向總電流為±1"A，電流密度為總電流與圓周長(zhǎng)的比值，分別為15.92"A/m和-5.31"A/m。在設(shè)置中可以看到此條件對(duì)應(yīng)的方程即為有面電流時(shí)的磁場(chǎng)邊界條件。求解后繪制此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度模的分布圖，發(fā)現(xiàn)此時(shí)磁場(chǎng)只位于內(nèi)、外導(dǎo)線之間，導(dǎo)線內(nèi)部磁場(chǎng)為零。

3"電磁波的邊界條件

雖然電磁場(chǎng)的邊界條件在靜態(tài)電磁場(chǎng)部分講授，但在時(shí)變電磁場(chǎng)部分仍有重要應(yīng)用，如求解電磁波的波動(dòng)方程，下面分別以矩形金屬波導(dǎo)管和電介質(zhì)平板波導(dǎo)為例，考察電磁波在界面處的邊界條件。這里應(yīng)該注意，COMSOL是在頻域求解，假定所考察的是單色時(shí)諧波，穩(wěn)態(tài)求解器所求解的電磁場(chǎng)是不含時(shí)的，即求解復(fù)振幅。COMSOL的射頻模塊和波動(dòng)光學(xué)模塊均可仿真電磁波，為方便比較波長(zhǎng)和波導(dǎo)尺寸的關(guān)系，這里采用波動(dòng)光學(xué)模塊。

3.1"波導(dǎo)管

在幾何中建立長(zhǎng)、高分別為5"cm和4"cm的矩形，作為波導(dǎo)管的內(nèi)表面；建立長(zhǎng)、高分別為5.4"cm和5.4"cm的矩形，和前一矩形共心，作為波導(dǎo)管的外表面。波導(dǎo)管壁厚0.2"cm。在材料中添加空氣和銅，將波導(dǎo)管壁設(shè)為銅，其內(nèi)部為空氣，如圖2（a）所示。金屬外部電磁波衰減為0，因此不需要設(shè)置外部環(huán)境。選擇“電磁波，頻域”物理場(chǎng)，從設(shè)置中可以看到此時(shí)求解的方程即為電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，如圖2（b）所示。添加“理想電導(dǎo)體”邊界條件，選中波導(dǎo)管內(nèi)表面，從設(shè)置中可以看到此條件對(duì)應(yīng)的方程正為導(dǎo)體的電場(chǎng)邊界條件，如圖2（c）所示。求解電磁波時(shí)的網(wǎng)格大小一般為波長(zhǎng)的1/10～1/5，由于趨膚效應(yīng)，電磁場(chǎng)只在金屬表面很小的范圍內(nèi)存在，因此金屬表面附近的網(wǎng)格需要進(jìn)一步細(xì)化。這里將波導(dǎo)管內(nèi)表面上的網(wǎng)格尺寸最大值設(shè)為0.1"cm，其他區(qū)域設(shè)為0.2"cm。在“研究”中添加“模式分析”步驟，求解波長(zhǎng)為4"cm的電磁波在波導(dǎo)管中各模式的有效折射率。設(shè)置求解有效折射率在1附近的5個(gè)模式。

求解得到有效折射率分別為0.916"81、0.745"72、0.629"37、0.629"36、0.600"45，分布對(duì)應(yīng)TE10、TE01、TE11、TM11、TE20"這5個(gè)模式，這也是這一波長(zhǎng)的電磁波在該波導(dǎo)中能存在的所有模式。考慮到各模式電磁場(chǎng)各分量數(shù)量級(jí)的差異，這里以TE10和TE20兩個(gè)模式為例進(jìn)行討論，其電場(chǎng)的y分量Ey空間分布分別如圖2（d）和圖2（e）所示，可以看出TE10模式在波導(dǎo)管中有一個(gè)半波分布，而TE20模式在波導(dǎo)管中有正負(fù)兩個(gè)半波分布。沿波導(dǎo)x軸自x=-2.7"cm至x=2.7"cm做截線，圖2（f）和圖2（g）分別為沿這一截線Ey和Hx的分布曲線。可以看到：Ey在波導(dǎo)管x方向的兩個(gè)表面上為零，滿足切向電場(chǎng)為零的邊界條件；Hx在這兩個(gè)表面上也為0，滿足法向磁場(chǎng)為零的邊界條件。

3.2"電介質(zhì)平板波導(dǎo)

這里考慮一個(gè)通信波段的平面光波導(dǎo)。在幾何中建立一個(gè)長(zhǎng)6"μm、高4"μm的矩形作為波導(dǎo)。建立一個(gè)長(zhǎng)6"μm、高6"μm的矩形，與前一矩形共心。兩個(gè)矩形之間厚度為1"μm，設(shè)為空氣層。在材料中分別建立折射率為1和1.5的兩種材料，波導(dǎo)內(nèi)部折射率設(shè)為1.5，外部折射率設(shè)為1。同樣采用“電磁波，頻域”物理場(chǎng)。由于波導(dǎo)x方向也為無(wú)限長(zhǎng)，需要添加一對(duì)“周期性邊界條件”，選中x=-3和x=3兩條邊界，這樣可以保證兩側(cè)電場(chǎng)分布相等。在設(shè)置中選擇周期性類型為“連續(xù)性”。在“模式分析”中，求解波長(zhǎng)為1"550"μm，有效折射率在1.5附近的10個(gè)解。

在求出結(jié)果中，只有有效折射率為1.489"8、1.488"6、1.459、1.454四個(gè)解為平面光波導(dǎo)的導(dǎo)波模式，分別為TE0、TM0、TE1、TM1。TE0的電場(chǎng)在波導(dǎo)中沒有節(jié)點(diǎn)，而TE1的電場(chǎng)在波導(dǎo)中有一個(gè)節(jié)點(diǎn)。沿著y軸自y=-3至y=3做截線。二者的電場(chǎng)在波導(dǎo)內(nèi)部分別為余弦和正弦分布，在波導(dǎo)外部均向遠(yuǎn)處呈冪指數(shù)衰減，在波導(dǎo)表面Ex連續(xù)。即電介質(zhì)界面處，法向電位移矢量連續(xù)，法向電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)。

4"結(jié)語(yǔ)

本文利用有限元方法仿真了幾種靜態(tài)電磁場(chǎng)和電磁波的模型，在模型建立過(guò)程中結(jié)合邊界條件設(shè)置和相應(yīng)的方程討論不同情形下不同電磁場(chǎng)的邊界條件，根據(jù)仿真結(jié)果繪制電磁場(chǎng)空間分布圖和分布曲線，直觀展示邊界上電磁場(chǎng)切向、法向的特點(diǎn)。以上模型在電磁場(chǎng)教學(xué)中具有典型性，又靈活多變，反應(yīng)了根據(jù)電磁場(chǎng)在邊界上的各方面特點(diǎn)，方便學(xué)生區(qū)理解、區(qū)分和記憶。本文主要討論了有限元方法在電磁場(chǎng)邊界條件教學(xué)中的應(yīng)用，從本文中也可看出，有限元方法在電磁場(chǎng)及電流求解、模式分析等電磁場(chǎng)理論的多個(gè)方面都有強(qiáng)大的計(jì)算能力和直觀展示性，可以在電磁場(chǎng)理論教學(xué)中發(fā)揮巨大的作用。此外，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自行設(shè)計(jì)模型來(lái)展示電磁場(chǎng)邊界條件特點(diǎn)，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

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