線性代數教學中矩陣特征值求解探討

摘要：特征值是線性代數的重要知識點，是方陣對角化和二次型標準化的基礎，在許多領域的理論和實踐中有重要的應用。n階方陣的特征值計算包括求解特征多項式和特征方程這兩步。求解特征多項式相當于求解一個含有變量的n階行列式，求解特征方程相當于求解一個一元n次方程，一般情況下計算比較煩瑣。針對幾個特征值計算進行演示，首先討論特征值計算的基本方法，然后給出幾種具有特殊性矩陣的特征值計算的技巧。同時，要運用這些計算技巧，需要熟練掌握行列式、矩陣、特征值和特征向量的相關性質，并能夠洞察特征多項式和特征方程求解中的特殊性，從而能夠簡潔準確地得出特征值。

關鍵詞：特征值 特征多項式 因式分解 矩陣的跡 矩陣的秩

中圖分類號： O151.2

Discussion of Matrix Eigenvalue Solution in Linear Algebra Teaching

MA Shengyun HUANG Sharina XU Liyang

College of Science， Inner Mongolia Agricultural University， Hohhot， Inner Mongolia Autonomous Region， 010018 China

Abstract： Eigenvalue is important knowledge points in linear algebra， serving as the foundation for matrix diagonalization and standardization of the quadratic form， and have significant applications in theory and practice in many fields. The eigenvalue calculation of an n-order square matrix involves two steps： solving the characteristic polynomial" and the characteristic equation . Solving characteristic polynomial is equivalent to solving an n-order determinant containing variables ， while solving characteristic equations is equivalent to solving an one dimension equation of the n-degree， which is generally computationally cumbersome. Using several examples to demonstrate the calculation of eigenvalues. Firstly， the basic method of eigenvalue calculation is discussed， and then several techniques for eigenvalue calculation with special matrices are provided. At the same time， to apply these computational techniques， proficiency in the properties of determinants， matrices， eigenvalues and eigenvectors is required， the particularities of solving characteristic polynomials and equations can be perceived， so as to obtain eigenvalues concisely and accurately.

Key Words： Eigenvalue; Characteristic polynomial; Factorization; Trace of matrix; Rank of matrix

線性代數[1]是高等院校大多數理工類、經濟類和農林類專業的必修公共基礎課程，在其后續專業課程學習中有著重要的作用。矩陣的特征值是線性代數中的重要概念，也是各專業考研的考查熱點[2，3]。在特征值與特征向量的教學中，需要恰當地引入二者的概念，使學生能夠更好地理解與掌握。例如：利用數形結合，從線性不變量的角度引入，從幾何意義來看，特征向量在線性變換下沒有改變方向，特征值就是伸縮的比例[4-6]。特征值與特征向量是方陣對角化和可對角化矩陣方冪計算的主要方法和手段[7，8]。在學習過程中，學生需要掌握特征值的基本計算方法以及具有特殊形式矩陣特征值的計算技巧[9，10]。實際上利用數學軟件計算特征值愈加廣泛，可以應對計算量大，數據結果復雜等問題[11]。

本文以三階矩陣為例，介紹和討論求解特征值的基本方法和幾種特殊情形下的求解技巧。

三階矩陣的特征值的基本求解過程共有兩步。首先，求特征多項式。因為的主對角線元素均含有的形式，所以一般情況下利用對角線法則求解，得到一個關于的一元三次多項式。其次，求解特征方程。是一個關于的一元三次方程，方程的根即為矩陣的特征值，這個過程需要對特征多項式進行因式分解。一般情況下，按對角線法則展開并進行因式分解的基本求解方法比較繁瑣。

1 求解矩陣特征值的基本方法

例1 求矩陣的特征值。

按對角線法則展開后的整理過程略顯煩瑣且易錯，此處未給出詳細整理合并過程。

求解的特征值，首先需要因式分解。一般情況下，對一元三次多項式進行因式分解，先要進行試根。如果該一元三次多項式的常數項為零的話，則有零特征值，實際上相當于做了一個一元二次多項式的因式分解問題，因式分解相對簡單。若常數項非零，如例1所示，計算則稍顯繁瑣，試根依次考慮。假設得到一個特征根為，則因式分解式中存在一項，繼續利用列豎式或者拼湊法即可得到整個特征多項式的因式分解。

在例1中，容易驗證是的一個根，從而因式分解項中一定含有，進行拼湊的具體過程如下：

令，解得的特征值為。

例1中演示了一般情形下三階矩陣特征值的基本求解方法，計算量偏大，而且計算過程中必須注意計算的準確性，計算消耗時間也較長。

當給出的三階矩陣具有某些特殊性時，特征值的求解會具有一定的簡便性。

2 具有特殊性矩陣的特征值求解

例2 求矩陣的特征值。

矩陣具有特殊性，的第三列上方兩個元素都是0，顯然第三行第三列的元素2是的一個特征值，同時的另兩個特征值也易于求出。這種情形下特征值的求解主要利用行列式按行按列展開定理的引理，即行列式的某一行或者某一列只有一個非零元，則行列式等于該非零元與其代數余子式之積。這種情形下，展開求解時易于得到的形式，因式分解也相對簡單。

令，解得的特征值為。

根據例2的求解過程可以看到，具備這樣特殊性的矩陣的特征值的求解過程較例1簡潔。同時注意到的特征值取值與其第三行的前兩個元素無關。

例3 求矩陣的特征值。

注意矩陣的特殊性，它的每行元素的和均為4。利用這個特殊性也可以簡化計算過程，只需要將的后兩列都加到第1列上，可以看到第1列元素都變成，提出公因數后再用后兩行分別減去第1行，即具備了例2中的特殊性。

進一步求解得到，解得的特征值為。

例4 求矩陣的特征值。

首先注意到，矩陣具有與例3中矩陣相同的特殊性，即每行元素的和相等，可以按照例3的解法求解的特征值。再進一步觀察，較更特殊，的主對角線元素都是5，主對角線以外元素都是2。

顯然，當時，中的所有元素均為2。所以，并且。

由可知為的一個特征值。同時注意到計算關于的特征向量需要求解齊次線性方程組，該方程組的所有非零解向量均為關于的特征向量。因為，所以的基礎解析中包含2個向量，即關于存在兩個線性無關的特征向量。注意矩陣的任意特征值至多存在與其重數個數相同的線性無關的特征向量，所以至少為的一個二重特征值，即有。對于三階矩陣，已知兩個特征值，要確定第三個特征值，可以利用“矩陣的所有特征值的和等于矩陣主對角線上所有元素和”，即。所以有，解得。

例4中求解的特征值不需要展開，不需要得到特征多項式的具體形式，也不需要進行因式分解。將例4推廣到一般形式為：

若，為階方陣，則的特征值為

這種形式矩陣特征值的計算，需要熟練掌握線性代數的多個知識點，并能夠將這些知識點有機的結合起來。

例5 求矩陣的特征值。

矩陣的特征值計算與例4中類似，若能敏銳的注意到所具備的特殊性，則不需要按例1的復雜計算過程即可得到特征值。

顯然，中任意兩行元素對應成比例。依據行列式的性質“行列式的某兩行（列）元素對應成比例，行列式等于零”，則有。同時注意到“矩陣的行列式等于的所有特征值的乘積”，或者“不可逆存在零特征值”，所以，存在零特征值。同時，還需要注意中任意兩行元素對應成比例，所以，，與例4分析類似，零特征值至少是的二重特征值，即有。再利用，有。

3 結語

一般情況下，特征值基本求解方法的計算量相對較大。當矩陣具有某些特性時，特征值的求解可以簡化。要能夠根據矩陣的具體形式，靈活地運用相應方法進行處理和運算，達到最佳的計算效率，需要扎實掌握線性代數的基本概念和基本性質，并在此基礎上不斷提高對具體矩陣是否存在特殊性的洞察力。

參考文獻

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