三平移4PPa-2Pa并聯機構運動學分析與優化設計

夏蓉花,劉艷梨

(1.江蘇安全技術職業學院智能制造與應急裝備學院,江蘇 徐州 221000)(2.南京航空航天大學機電學院,江蘇 南京 210016)

三平移并聯機構與六自由度并聯機構相比,具有控制簡單、結構緊湊[1]、設計成本低的特點,因此在工業應用領域具有廣闊應用前景[2-3]。近年來,越來越多的學者對三平移并聯機構展開研究。孔一嘯等[4]設計了一種應用于移印機領域的空間三平移2-CPR/UPS并聯機構。沈惠平等[5]提出了一種具有位置正解解析式且運動部分解耦的空間三平移并聯機構。史素敏等[6]設計了一種結構緊湊的3UPRR并聯機構,并提出了一種利用綜合性能指標作為尺度優化的優化目標。Hraiech等[7]提出了3-UPU平動并聯機器人的多目標優化設計方法,可推廣應用在其他類型機器人的優化設計中。程強等[8]設計了一種新型正交三平移3-CPR并聯機構,基于ADAMS軟件進行樣機運動仿真,同時研究機構操作空間性能[9],結果表明機構具有較好的運動性能,以工作空間體積作為優化目標可得到最優的結構尺寸參數解。

本文以三平移4PPa-2Pa并聯機器人機構為研究對象,根據方位特征集綜合方法驗證機構運動性質,并建立運動學方程數學模型,在此基礎上對機構的運動學正逆解算例進行驗證。采用數值法研究機構任務工作空間形狀和大小,以給定的任務工作空間為目標優化函數,實現參數的最優化設計。

1 并聯機構設計

1.1 機構模型

圖1為4PPa-2Pa并聯機構結構簡圖,靜平臺上分布著兩條支鏈,每條支鏈和靜平臺通過移動副Pi1、Pi2相連接,Pi1、Pi2共用一個導軌,且其上各布置一個平行四邊形機構Pai1、Pai2。Pai1、Pai2共用一個短邊,和短邊垂直的方向上布置一個平行四邊形機構Pai3,Pai3所構成的平面垂直于公共短邊,且和動平臺相連接。動平臺固定在平行四邊形機構Pai3的短邊中點上。建立的4PPa-2Pa關聯機構三維模型如圖2所示。定義如下參數:r為動平臺半徑,R為靜平臺導軌之間距離的一半,l1為移動副所在導軌長度,l2為上部平行四邊形機構Pai1、Pai2的桿長,l3為下部平行四邊形機構的Pai3桿長。

圖1 4PPa-2Pa并聯機構結構簡圖

圖2 4PPa-2Pa并聯機構的三維模型

1.2 拓撲特性分析

根據機構描述可得運動副間位置關系,計算每條支鏈的方位特征集Mbi:

(1)

式中:t表示移動副,r表示轉動。

1)計算由支鏈1和2構成的位移方程數ξL1:

ξL1=dim{Mb1∪Mb2}=

(2)

2)計算4PPa-2Pa并聯機構的方位特征集Mpa:

(3)

3)計算4PPa-2Pa并聯機構自由度F:

(4)

式中:m為機構運動副數量;v為機構獨立回路數量,v=m-n+1,其中n為機構運動副構件個數;fi為支鏈第i個運動副的自由度個數;ξLj為第j個獨立回路的位移方程數。

以上分析表明,4PPa-2Pa并聯機構具有空間x、y、z方向三平移運動性質,能滿足預期的運動特性要求。

2 位置分析

定義靜平臺上的移動副Pi1、Pi2的輸入位移均為(q1,q2,q3,q4),通過執行末端輸出P(x,y,z)推導出輸入位移(q1,q2,q3,q4)的過程為逆解求解過程,反之,利用輸入位移(q1,q2,q3,q4)計算得到執行末端的輸出即為正解求解過程。

2.1 位置逆解分析

定義動平臺的參考點為P,設P點坐標為(x,y,z),可得到平行四邊形的短邊桿中點與動平臺的連接點P1、P2坐標,即(x-r,y,z)、(x+r,y,z)。由于動平臺和平行四邊形機構Pai3剛性連接,因此P1、P2以及A1、A2沿著xoy平面的投影共線,故可得到以下方程組:

(5)

另外,平行四邊形機構Pai3短邊中點長度恒定不變,由此可得以下關系:

(6)

代入坐標可得:

(7)

綜合式(5)、(7),推導得到以下運動學方程:

(8)

根據式(8)計算出位置逆解(q1,q2,q3,q4)表達式:

(9)

上述分析表明,位置逆解最多存在16組解。

對式(9)進行算例分析,輸入幾組(x,y,z),求解出滿足條件的正實數解(q1,q2,q3,q4),其中4組見表1。

表1 4組逆解的數值解

2.2 位置正解分析

已知(q1,q2,q3,q4)求解(x,y,z),根據表2的數值,反過來求解位置正解,見表2 。

表2 4組正解的數值解

從表1和表2可以看出,逆解數值解和正解數值解相對應,檢驗了機構運動學分析的正確性。

3 工作空間分析

工作空間搜索方法有很多,通常采用極限搜索法[10],即根據建立的運動方程模型進行搜索[11]。并聯機構具體尺寸參數值見表3。

表3 并聯機構的結構參數值 單位:m

分析圖3所示工作空間可知:工作空間呈心形柱狀,內部無空洞,整體工作空間大,連續對稱分布。

圖3 4PPa-2Pa機構工作空間圖

4 并聯機構優化設計

針對給定任務工作空間機構尺度約束條件下的優化問題,在滿足給定任務工作空間前提下尋找較小的尺寸參數。約束條件下,目標函數可以根據需要優化的參數直接建立,也可以和優化的參數間接建立。

4.1 優化模型的建立

為設計方便,根據圖3的工作空間估計其中心點為(1,0.8,-0.9),給定的任務工作空間大小參考文獻[12]中數據,其中任務工作空間為長方體或者球體,優化模型如下:設計優化參數{R,r,l1,l2,l3},使機構的工作空間包含形狀為長方體或球體的任務工作空間,并且使機構體積較小。

4.2 模型優化目標函數的建立

本文提出一種包含關系約束的數學模型:以給定的任務工作空間內的一點C作為出發點,分別計算C點到任務工作空間的邊界點Bi(i=1,2,…,s)的距離L2ij,其中s為任務工作空間邊界點個數,C點到機構工作空間邊界點Aij(i=1,2,…,s′;j=1,2,…,k)的距離L2ij,其中s′為射線個數,k為射線i穿過的邊界點個數,為保證點Aij和點Bi的對應關系,CBi和CAij在一條從C點出發的射線上,同時為避免機構邊界全部在給定工作空間的一側,C、Bi、Aij需均勻分布于平面或者三維空間中,那么包含關系可定義為如下的不等式:

(10)

式中:n=∞。實際計算中,取n為較大的球,對所有點都成立,則機構工作空間包含任務工作空間;若存在一點不滿足公式(10),則機構工作空間不包含任務工作空間。特別是當公式(10)等于0時,表明給定任務工作空間和機構工作空間恰好相切。

包含關系的模型示意圖如圖4所示。虛線為給定任務工作空間邊界,實線是機構工作空間邊界,在工作空間兩個邊界中間有空洞情況,從點C出發的兩個射線L1、L2分別交于給定任務工作空間點B1、B2和機構工作空間點A11、A12、A21、A22,根據公式(10)計算可得:CB2-CA21<0,CB2-CA22<0,CB1-CA11>0,CB1-CA12<0,顯然此時機構工作空間不包含給定任務工作空間。

圖4 包含關系的模型示意圖

圖5 長方體和球體的任務工作空間體積優化曲線

根據式(10)建立優化目標模型:

minf(R,r,l1,l2,l3)=fitness

s.t.L1i-L2ij≤0i=1,2,…,s,

j=1,2,…,k

(11)

式中:fitness為想要優化的目標函數。

可以通過罰函數法將任務工作空間優化問題轉化為無約束優化問題,設f(R,r,l1,l2,l3)為目標函數,則:

(12)

式中:μ為一較大的正數,設定為比目標函數值最大值大得多的數。

4.3 優化算法選擇

邊界點搜索算法目標函數設計:采用球面坐標法完成對機構不同參數下工作空間的搜索[13],從中心點增加半徑,對搜索球面進行約束判斷,當上一半徑的約束從1變成0,或者從0變成1時,記錄發生突變的約束邏輯值為1的邊界點坐標值;從C點出發至機構邊界點Aij形成射線簇,此射線簇與給定任務工作空間邊界相交于點Bi,根據公式(10)計算各邊界點到中心點的距離,同時定義目標函數如下:

(13)

式中:V為工作空間體積。

選擇遺傳算法完成優化目標的搜索[12,14],參數見表4,適應度計算采用排序法,選擇隨機遍歷抽樣算法,利用分散重組方式,分別對兩種給定任務工作空間下的兩種目標函數進行優化,求其約束下的最小值。參數取值范圍見表5。

表4 遺傳算法參數

表5 機構結構參數取值范圍 單位:m

4.4 優化結果分析

根據建立的目標函數模型,通過MATLAB得到優化曲線,如圖4所示,相對應優化參數值見表6。優化目標在100代左右都降低到了比較理想的值。以球體為例的工作空間體積V優化結果為5.1 m3,以長方體為例的工作空間體積V優化結果為5.9 m3,此時給定的任務工作空間在工作空間內占比最大。分析表明,優化后機構工作空間的利用率更高,從而使并聯機構控制更靈敏。

表6 優化參數值列表

圖6和圖7是優化后機構工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖,以球體和長方體為例,在以體積V為優化目標的情況下,任務工作空間被工作空間緊密包絡在內部,分布緊湊,工作空間利用率高。算例表明:不同任務工作空間優化效果都十分顯著,工作空間利用率明顯提升,驗證了優化模型的正確性,同時對于復雜并聯機構工作空間和多種優化目標,該模型有效且簡單,能夠適應不同機構給定任務工作空間的約束優化問題。

圖6 以球體為例的工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖

圖7 以長方體為例的工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖

5 結束語

本文以純移動并聯機構作為研究對象,提出了一種空間三平移并聯機構,拓撲結構分析證明機構具有空間三維移動的運動特性,基于矢量法建立非線性方程組,計算機構的位置正解和逆解,同時根據數值法研究機構的工作空間性能。分析了結構參數對工作空間的影響趨勢,建立了給定任務工作空間約束問題的數學模型,通過智能優化算法完成結構參數最優解的計算,驗證了模型的正確性,表明該機構具有較好的應用前景。