空間四自由度柔順并聯機構設計與仿真

高新宇,張士軍,孟繁勛,楊 璐

(1.山東建筑大學機電工程學院,山東 濟南 250100)(2.山東農業大學經濟管理學院,山東 泰安 271000)

隨著人類社會的進步和科學技術的飛速發展,人們在超精密加工、納米技術、精密測量、生物醫學等領域的研究越來越深入,精密定位技術在這些領域都有非常廣泛的應用[1]。

柔性并聯機構促進了精密定位平臺的發展,將柔性鉸鏈理論和并聯機構結構特性相結合,應用柔性鉸鏈替換法就能夠得到相應的柔性并聯機構[2]。與傳統的并聯機構相比,柔性并聯機構具有各支鏈的運動副都可用柔性鉸鏈代替的特點[3]。壓電驅動具有更高的靈敏度、更快的反應速度和更大的輸出力,所以一般的微位移平臺會選擇壓電驅動作為驅動方式[4]。壓電陶瓷具有分辨率高、能耗較低、體積較小且沒有電磁干擾等優點,所以壓電陶瓷用作微位移驅動器更適合[5]。

現階段,平面多自由度精密定位平臺的發展非常迅速,例如陳庭輝[6]對傳統的平面微位移平臺進行了優化設計,并且改進了放大機構,提高了定位精度。現有的研究很少在空間微位移平臺領域展開。本文設計的微位移運動平臺使用空間多自由度平臺的設計方法,采用柔性鉸鏈代替傳統的運動副,將傳統的空間并聯機構改進為空間柔性并聯機構,消除了傳統機構鉸鏈配合的摩擦與間隙,可以實現4種運動。

1 柔性鉸鏈

和傳統的運動副相比,柔性鉸鏈具有突出的優勢,包括結構相對簡單、沒有運動摩擦和間隙、能夠克服由于慣性引起的振動等,柔性鉸鏈的缺點主要是運動的行程較小,所以常用于微動領域以提高機構精度。目前,柔性鉸鏈廣泛應用于精密定位平臺等領域[7]。

本文選用的柔性鉸鏈有如下4種:柔性球副、柔性轉動副、柔性移動副、柔性虎克鉸。

1)柔性球副。吳石磊[8]針對不同類型柔性球副進行了力學建模以及理論計算和仿真。柔性球副具有3個自由度,可以在3個方向做獨立運動,本文選用橢圓型柔性球副,如圖1所示。

圖1 柔性球副

2)柔性轉動副。張忠奎、陳航[9-10]對轉動副的轉角剛度進行了研究,得出柔性轉動副的中間部分在力或力矩的作用下非常容易變形,此種變形為可逆彈性變形,可實現繞轉動軸的轉動,柔性轉動副具有1個自由度。本文選用圖2所示的圓弧型柔性轉動副。

3)柔性移動副。楊春輝[11]對直梁平行板型柔性移動副進行了深入研究,該柔性移動副采用對稱結構,不僅可以實現較大范圍內的運動且具有更高的精度。本文選用圖3所示的直梁平行板型柔性移動副,它具有1個自由度。

圖3 柔性移動副

4)柔性虎克鉸。孫煒等[12]在給定參數的情況下對3種柔性虎克鉸進行了理論計算和有限元分析,對比了輸出行程和轉動特性,為柔性虎克鉸的選擇提供了幫助。本文選用圖4所示的柔性虎克鉸,其可進行兩個方向的相互轉動,具有2個自由度。

圖4 柔性虎克鉸

2 空間四自由度定位平臺設計

2.1 空間四自由度并聯機構簡圖

本文提出一種空間四自由度并聯機構,其簡圖如圖5所示。圖中,動平臺由a、b兩部分構成,a和b之間由轉動副11相連接。1、4、7、13、16、19為移動副,2和5為萬向鉸,3和6為球副,8、9、10、12、14、15、17、18為轉動副。

圖5 空間四自由度并聯機構

2.2 空間四自由度并聯機構自由度計算

圖5中構件1～6在一個平面上,構件7～19在一個平面上,可以把機構分為a和b兩部分來計算自由度。先計算b部分的自由度Fb:

Fb=3n-2Pl-Ph

(1)

式中:n為構件數,Pl為低副數目,Ph為高副數目。其中,n=9,Pl=12,分別是4個移動副和8個轉動副,可得Fb=3×9-2×12=3,a部分一共有5個構件,這5個構件分別有6個自由度,移動副1和4分別約束5個自由度,而萬向鉸2和5分別約束4個自由度,球副3和6分別約束3個自由度,可得a部分的自由度Fa等于6。由此得出該機構的自由度F=Fa+Fb-5=4,即該空間四自由度并聯機構具有4個自由度。

2.3 空間四自由度柔順并聯定位平臺設計

本文設計的空間四自由度柔順并聯定位平臺由圖5所示的空間四自由度并聯機構采用剛體替換法得到,運動支鏈上用柔性鉸鏈代替傳統的運動副。空間四自由度柔順并聯定位平臺如圖6所示。

圖6 空間四自由度柔順并聯定位平臺

3 定位平臺運動學建模

3.1 定位平臺位姿分析

根據機械原理的知識,平臺沿X、Y軸平移以及繞Z軸轉動時,運動平臺和輔助平臺做同步且相同的運動,所以這3種運動可以看做是在同一個平面內的運動,故可以將這3種運動簡化成平面運動。圖7為微位移平臺沿Y軸平移的運動簡圖,由于6條支鏈運動是同步的,取P點和A點分析,當P點和A點輸入相同的位移時,E和F兩點也有相同的輸出位移。

圖7 沿Y軸平移運動簡圖

3.2 定位平臺運動學逆解分析

3.2.1沿X軸平移

首先建立定位平臺的幾何模型,沿X軸平移運動簡圖如圖8所示。

圖8 沿X軸平移運動簡圖

執行器的輸出位移γ=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2,d3,d4,d5,d6],XOY為靜坐標系,靜坐標系原點O位于整個平臺的中心處,X′PY′是固定在動平臺中心的動坐標系,(xP,yP)為動平臺動坐標系X′PY′原點P的坐標,φP為動平臺繞Z軸的轉動角,d1,d2,…,d6為6條運動支鏈對空間四自由度柔順并聯定位平臺的輸入量。動平臺的頂點為6個鉸接點J1,J2,…,J6;Hi和Ji分別代表相應的轉動關節;γi為每個壓電陶瓷驅動器的輸出位移,與X軸正向的夾角為αi;βi為X軸正向與剛性連桿HiJi的夾角,i=1,2,…,6。

對定位平臺進行運動學逆解分析,即通過末端執行器的輸出位移γ來求解輸入位移di。基于幾何方法,由四自由度柔順并聯機構閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(2)

式中:lOP為O點到P點的距離,lPJi為P點到Ji點的距離,lOGi為O點到Gi點的距離,lGiHi為Gi點到Hi點的距離,lHiJi為連桿HiJi的長度。

由式(2)和圖8可得:

di)cosαi+lHiJicosβi

(3)

di)sinαi+lHiJisinβi

(4)

當定位平臺沿X軸平移時,動坐標系在Y方向不發生偏移且不發生旋轉,得出φP=0,yP=0,而壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0。簡化式(3)、(4)得:

(5)

(6)

整理式(5)、(6),消去中間變量βi得:

(7)

3.2.2繞Z軸轉動

對繞Z軸的轉動進行分析時,方法同繞X軸平移。先建立該運動下定位平臺的幾何模型,運動簡圖如圖9所示。

圖9 沿Z軸轉動運動簡圖

基于幾何方法,由式(2)和圖9可得式(3)、(4),當定位平臺繞Z軸旋轉時,動坐標系在Y方向不發生偏移,得出yP=0,壓電陶瓷輸出位移依舊是豎直方向,即αi=0,簡化式(3)、(4)得:

(8)

(9)

整理式(8)、(9),消去中間變量βi得:

(10)

3.2.3繞X軸轉動

首先,建立定位平臺的幾何模型,繞X軸轉動運動簡圖如圖10所示。

圖10 繞X軸轉動運動簡圖

分析方式同3.2.1和3.2.2,此時只有運動支鏈1和2運動,其余支鏈不動。末端執行器的輸出位移η=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2]。動平臺的頂點為2個鉸接點J1和J2;ηi為每個壓電陶瓷驅動器的輸出位移。

基于幾何方法可得:

(11)

由四自由度柔順并聯機構閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(12)

由式(12)和圖10得:

(13)

(14)

當定位平臺繞X軸轉動時,壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0,將式(11)代入并簡化式(13)、(14)得:

(15)

(16)

整理式(15)、(16),消去中間變量βi得:

(17)

4 定位平臺有限元仿真分析

由前文可知,本文設計的空間四自由度柔順并聯定位平臺有4個自由度,能夠實現4種不同的運動,即2種轉動和2種移動。利用SolidWorks軟件建立空間四自由度柔順并聯定位平臺模型,將其導入ANSYS Workbench軟件中進行有限元分析,從而得出4種不同情況下的位移,即該定位平臺所能實現的運動[13]。其中,壓電陶瓷pst150/5/100 vs10的行程為0～0.01 mm,定位平臺材料選用65Mn彈簧鋼,密度ρ=7.81 g/cm3,彈性模量E=2.1×1011Pa,泊松比μ=0.288。

4.1 沿Y軸平移

當6條運動支鏈處輸入端的輸入位移均為10 μm時,根據機械原理分析該機構的運動可知,動平臺輸出位移應為10 μm,圖11為有限元分析結果,理論計算結果和仿真結果的最大誤差為0.15%。

圖11 沿Y軸平移位移云圖

4.2 沿X軸平移

當6條運動支鏈處輸入端的輸入位移分別為10.000、-10.000、4.142、-4.142、-4.142、4.142 μm時,由式(7)得動平臺輸出位移為11.071 μm,有限元分析的結果如圖12所示,理論計算結果和仿真結果的最大誤差為10.112%。

圖12 沿X軸平移位移云圖

4.3 繞Z軸轉動

由圖13及式(10)得,當6條運動支鏈處輸入端的輸出位移分別為4.013、-4.013、10.000、-10.000、6.265、-6.265 μm時,φP范圍為0～0.053 74°。

圖13 繞Z軸轉動位移云圖

4.4 繞X軸轉動

由圖14和式(17)得,當6條運動支鏈處輸入端的輸出位移分別為10、-10、0、0、0、0 μm時,φP范圍為0～0.042 32°。

圖14 繞X軸轉動位移云圖

5 結果分析

由前文可知,沿Y軸平移和沿X軸平移時最大相對誤差為0.150%和10.112%,繞Z軸轉動和繞X軸轉動時最大相對誤差為5.040%和9.580%,計算可得,誤差均在合理范圍內,驗證了運動學模型理論分析的合理性。

6 結束語

本文設計了一種空間四自由度柔順并聯機構。使用SolidWorks軟件建立了空間四自由度柔順并聯定位平臺的模型,首先了進行理論計算,然后用ANSYS Workbench軟件進行了有限元分析,得到位移云圖。經分析可知,驅動平臺運動時其位移分布較合理,誤差也在合理范圍內。空間四自由度柔順并聯定位平臺定位精度可達微米級。