加權分數傅里葉變換信號參數估計方法

馬鵬輝，李艷斌

(1.中國電子科技集團公司 第54研究所，石家莊 050081；2.河北省電磁頻譜認知與管控重點實驗室，石家莊 050011)

0 引言

自Shih提出經典WFRFT理論[1]以來，WFRFT的內涵得到了廣泛而深入的研究。文獻[2]首先將WFRFT應用到通信系統，提出了基于WFRFT的數字通信系統框架，該系統可以看作是多載波和單載波系統的融合，屬于一種混合載波體制，可以兼容當前的通信系統[2-3]，且在抗干擾性能[4-9]和抗攔截能力[8-12]方面優于多載波或單載波系統。

作為一種新型調制信號，WFRFT信號的研究主要集中在正向通信系統的應用及其性能分析上。在通信信道狀態相同的情況下，通過選擇恰當的參數α，混合載波通信系統可以提高系統性能[13-15]，而且在具有嚴重碼間干擾和載波間干擾的通信信道中，混合載波通信系統仍然具有較好的性能[16]。由于其時頻分布和星座的分集特性，混合載波通信系統被應用于許多通信場景，如水聲通信、物理層保密通信和雙極化衛星通信、加密通信等。文獻[17]在水聲通信領域提出了一種基于WFRFT的混合載波調制方案，由于WFRFT的時頻分布能更好地匹配水聲信道的雙色散特性，證明了該調制方案在水聲信道中的誤碼率優于多載波和單載波調制。文獻[18]提出了一種基于WFRFT的物理層安全用戶協作策略，WFRFT信號的類高斯分量可以作為竊聽者的人工噪聲，而不會對目標用戶造成影響。由于星座的模糊特性，文獻[19-20]在基于偏振調制的雙極化衛星系統中采用了WFRFT處理技術，證明了可以獲得滿意的安全性能。

針對當前多參數(MP，multiple parameters)WFRFT對于星座的變化缺乏理論研究的問題，文獻[21-22]從參數對星座帶來的影響出發，分析了MP-WFRFT 星座的變化規律，提出了一種基于 MP-WFRFT 的星座預編碼優化模型。為解決衛星通信信號隱蔽性不足的問題，文獻[23]提出一種基于MP-WFRFT 的通信方法，該方法可將通信信號調制特征改變為其他類型，以提高衛星通信信號的安全性能。

考慮到混合載波體制在通信系統中的種種優勢，對于非協作通信場景，在未知WFRFT信號參數的情況下，只有對其進行精確的估計，才能進行后續的調制識別和解調，因此，對WFRFT信號的參數估計方法進行研究對現代通信對抗有至關重要的意義。目前針對WFRFT信號的參數估計問題研究較少，文獻[24]提出了一種基于高階累積量的WFRFT信號參數估計方法。首先，通過理論推導，得出最小化四階累積量C42可得到最優的WFRFT接收階，然后，設計了一種組合搜索算法來對C42最小值進行搜索，從而實現參數估計。

本文通過理論推導建立Shintaro_K特征量[25]與WFRFT信號調制階數的對應關系，繪制出關系曲線，根據曲線特點對拋物線算法進行改進，利用改進算法對曲線進行搜索，獲得最優的WFRFT信號接收階，從而實現參數估計。與文獻[24]所提的參數估計方法進行對比，證明了本文所提方法具有相同的參數估計準確度，但具有更小的計算復雜度和更少的最優值搜索次數。

1 WFRFT基本原理

1.1 WFRFT定義及通信機理

對于任意復數序列X0，定義X0的WFRFT為：

WαX0=w0(α)X0+w1(α)X1+w2(α)X2+w3(α)X3

(1)

其中：{X0，X1，X2，X3}分別是X0的0～3倍DFT。DFT和IDFT的定義為：

(2)

其中：wl(α)(l=0，1，2，3)為加權系數且定義為：

(3)

根據公式(3)，可以看出，wl(α)(l=0，1，2，3)隨α呈周期性變化，且周期為4，因此，α通常在[-2，2]或[0，4]區間內取值。在區間[0，4]內，wl(α)(l=0，1，2，3)的模長隨參數α的變化規律如圖1所示。

圖1 加權系數的模長隨參數α的變化曲線

在[0，1]區間內，加權系數wl(α)(l=0，1，2，3)各自隨α在復平面上的變化規律如圖2所示，從圖中可以看出，隨著參數α的增大，曲線上的點沿著順時針方向運動，加權系數wl(α)(l=0，1，2，3)的曲線組合在一起形成了一條閉合的光滑曲線，同時，對于wl(α)(l=0，1，2，3)中的任意一個系數，其在α全周期內的運行軌跡為此曲線，變化的具體順序為：→w0→w3→w2→w1→w0→。

圖2 加權系數隨α在區間[0，1]的變化規律

根據公式(1)，WFRFT在通信中的物理意義[2]可理解為：信息數據X0經過串并轉換后分別進入4個支路進行處理，其中0支路和2支路的數據在加權處理之前沒有經過離散傅里葉變換(DFT)模塊，輸出為原始時域信號，對應于單載波的通信模型；1支路和3支路的數據在加權處理之前都經過了DFT模塊，則對應于以正交頻分多路復用為代表的多載波通信模型。在4個支路的共同作用下，WFRFT 是一種同時具有單載波和多載波的混合載波通信模型，如圖3所示。

圖3 WFRFT通信模型

由公式(3)可見，4個支路的加權系數wl(α)(l=0，1，2，3)滿足：

|w0|2+|w1|2+|w2|2+|w3|2=1

(4)

由此可見，WFRFT通信信號中單、多載波占比由參數α決定，當α為0時，w0=1，w1=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等價于傳統單載波通信模型；當α為1時，w1=1，w0=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等價于以正交頻分多路復用為代表的多載波通信模型。

1.2 WFRFT信號特性

參數α決定了每個加權系數wl(α)(l=0，1，2，3)的數值，即決定了4個支路分量對最終信號特征的貢獻程度。隨著參數α的增減，被加權信號的星座在復平面上將呈現旋轉、擴散或壓縮的變化。每個加權系數wl(α)(l=0，1，2，3)的旋轉角度為：

(5)

這一角度決定了信號的每個分量在復平面上圖形的旋轉趨勢，這4個分量共同決定了被加權信號在復平面上最終呈現出的樣式。

設被加權序列可以表示成為以下形式：

Xl(n)=cl(n)+idl(n)，l=0，1，2，3

(6)

X0(n)經過WFRFT的結果S0(n)可以表示為：

(7)

則S0(n)的相位為：

(8)

圖4(a)～(d)為在參數α分別等于0、0.1、0.3和1時，對QPSK信號進行WFRFT后在復平面上的分布。從圖中可以看出，隨著參數α的增大，原始信號的星座點逐漸旋轉、擴散，星座點之間的界限逐漸模糊，最終星座混疊在一起無法區分，呈現出一種類高斯的分布狀況。WFRFT對原始信號在復平面上帶來的這種變化，將對變換后信號的檢測、調制方式識別和解調造成很大困難，進而提供了一種有效抗檢測抗識別的信號加密手段。

圖4 信號分布

在接收端，只有得到變換參數α，然后經過相應的逆變換才能恢復出正確的星座圖，才能進行后續的調制識別和解調。

2 WFRFT信號參數估計方法

2.1 WFRFT信號Shintaro_K值的計算

Shintaro_K參數實際上是信號包絡四次方的均值與包絡平方的均值平方的二倍之差，定義如下：

Shintaro_K=E[u2(t)]-2{E[u(t)]}2

(9)

式中，u(t)為信號包絡的平方。

對于隨機序列X，X的Shintaro_K值可表示為：

Shintaro_K(X0)=E[(XX*)2]-2[E(XX*)]2

(10)

假設發送方對信息數據X0進行參數為αt的WFRFT，在理想無噪環境下進行傳輸，接收方接收到的信號為WαtX0，對其進行參數為αr的逆WFRFT，根據WFRFT的可加性，可得：

Wαr[Wαt(X0)]=Wαt+αr+X0=WΔαX0

(11)

當Δα=0時，WΔαX0=X0，即接收方對接收到的WFRFT信號進行參數αr=-αt的逆變換，方可得到原始的信息數據。對上式求其Shintaro_K值，得到：

Shintaro_K(WΔαX0)=Shintaro_K(w0(Δα)X0+

w1(Δα)X1+w2(Δα)X2+w3(Δα)X3)

(12)

當序列長度足夠大時，Xl(l=0，1，2，3)可看作4個不相關的隨機序列，因此：

Shintaro_K(WΔαX0)=|w0(Δα)|4Shintaro_K(X0)+

|w1(Δα)|4Shintaro_K(X1)+|w2(Δα)|4

Shintaro_K(X2)+|w3(Δα)|4Shintaro_K(X3)

(13)

由于X1和X3分別是X0和X2的歸一化DFT，當序列長度足夠大時，X1和X3是漸進高斯分布。由于Shintaro_K參數完全不受加性高斯白噪聲的影響[25]，因此Shintaro_K(X1)和Shintaro_K(X3)趨近于零。將|w0(Δα)|4簡記為|w0|4，|w2(Δα)|4簡記為|w2|4，Shintaro_K(X0)記為S。由于X0和X2具有相同的分布性質，可以得到Shintaro_K(X0)=Shintaro_K(X2)=S，則上式(13)可以改寫為：

Shintaro_K(WΔαX0)=(|w0|4+|w2|4)·S=

(14)

通過求導法，可以很容易地得到|w0|4+|w2|4在Δα=0處(參數準確估計處)取得最大值，又因為常規信號的Shintaro_K值為負值，如表1所示，因此可以通過最小化接收信號Shintaro_K(WΔαX0)來得到參數估計值αr。

表1 常規信號Shintaro_K特征參數理論值

2.2 最優解搜索算法

假設發送方參數αt取值范圍為[0，1]，那么接收方參數αr的取值范圍為[-1，0]，則參數估計誤差Δα范圍為[-1，1]。為了找到獲得最優αr的最佳方法，根據公式(14)繪制圖5，縱軸表示|w0|4+|w2|4的值，橫軸表示Δα的值。從圖5可以看出，|w0|4+|w2|4與Δα之間的函數為單峰函數。在一維優化理論中，對于單峰函數來說，拋物線算法是一個很好的選擇，其收斂速度較快，但需要一定的前提條件，中間的值要嚴格小于左右兩端點的值。因此，本文將結合曲線的特點，對拋物線算法進行改進，提出一種計算更穩定、收斂速度更快的搜索算法。

圖5 |w0|4+|w2|4隨Δα的變化曲線

圖6 水平割線法原理圖

圖7 改進拋物線算法流程圖

對初始點進行預處理后，再轉入拋物線搜索算法，整個算法步驟如下。

初始點預處理算法如下。

Step1：令k=k+1，當f(x1)

Step3：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，轉入拋物線算法；否則，轉入Step4。

Step6：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，轉入拋物線算法；否則，轉入Step7。

拋物線算法：

Step8：計算拋物線的中間值如下：

Step10：將x1，x2，x3，xx按升序排列，定義r1，r2，r3，r4為排序后的元素。如果|r2-r3|≤δ，則輸出xx，算法結束；否則，轉入Step11。

Step11：如果f(r1)≤f(r4)，將x1，x2，x3更新為x1=r2，x2=r3，x3=r4；否則，將x1，x2，x3更新為x1=r1，x2=r2，x3=r3。令k=k+1，轉入Step1。

3 實驗

基于以上分析，將發送方αt約束在[0，1]范圍內，則接收方搜索區間αr設置為[-1，0]，那么參數估計誤差Δα范圍為[-1，1]。下面以QPSK信號為例，通過仿真實驗，分析本文參數估計方法的性能。

生成QPSK信號，采樣點數為2 048，仿真次數為100次，Shintaro_K值隨Δα的變化趨勢如圖8所示。

圖8 Shintaro_K值隨Δα的變化趨勢圖

由圖8可以看出，仿真結果與理論推導結果一致，可通過最小化接收信號Shintaro_K(WΔαX0)進行參數估計。

生成QPSK信號，采樣點數為2 048，對其進行參數αt=0.05：0.05：0.95的WFRFT，不添加噪聲，搜索區間設置為αr=-1：0.002：0，對每個αt值在搜索區間內進行掃描，求其Shintaro_K值并進行曲線擬合，然后采用本文的最小值搜索算法估計參數，從而得到參數估計誤差|Δα|，仿真次數為100次，每個αt下的估計誤差|Δα|如圖9所示。

圖9 估計誤差|Δα|隨αt的變化

由圖9可知，無噪條件下，在αt取不同值時，均能得到較小的估計誤差|Δα|，可認為本文方法可實現參數的準確估計。

生成QPSK信號，采樣點數為2 048，在噪聲條件下，信噪比SNR=0：1：20(dB)，αt=[0.1 0.3 0.6 0.9]，搜索區間設置為αr=-1：0.002：0，仿真次數為100次，估計誤差|Δα|隨αt的變化如圖10所示。

圖10 不同αt下估計誤差|Δα|的變化

由圖10可知，在有噪條件下，估計誤差|Δα|與αt的取值無關。通過文獻[24]可知，在保證1‰誤比特率的前提下，當參數估計誤差|Δα|≤0.03時，參數估計誤差對誤比特率的影響可忽略不計。因此，只需保證參數估計誤差|Δα|≤0.03，將|Δα|≤0.03的估計記為有效估計。

在對αt的掃描步進和搜索算法的精度δ進行設置時，設置的越小，參數估計誤差越小，但計算復雜度也會越大。根據上面提到的有效估計的概念，在不影響有效估計次數的前提下，為了減少計算復雜度，對αt的掃描步進和搜索算法的精度δ進行合理的設置，本文將αt的掃描步進設置為0.01，搜索算法的精度δ設置為0.02，文獻[24]的方法精度δ的值仍為原文設置的0.000 1。為了對比本文和文獻[24]的參數估計方法的性能，下面將進行對比實驗，實驗設置如表2所示。

表2 實驗參數設置

在無噪條件下，生成QPSK信號，采樣點數為2 048，αt=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]，采用兩種方法進行參數估計，仿真100次，將總的有效估計次數與總仿真次數的比值定義為成功識別概率，兩種方法的成功識別概率和平均搜索次數如圖11所示。

圖11 無噪條件下兩種方法的對比

由圖11可知，在無噪條件下，兩種方法均能實現對參數的有效估計，但本文的搜索算法可以達到更少的搜索次數。

在噪聲條件下，信噪比SNR=0∶1∶15(dB)，生成QPSK信號，采樣點數為2 048，由于估計誤差|Δα|與αt的取值無關，令αt=0.87，采用兩種方法進行參數估計，仿真100次，兩種方法的成功識別概率和平均搜索次數如圖12所示。

圖12 有噪條件下兩種方法的對比

由圖12可知，在有噪條件下，兩種方法對參數的有效估計性能相似，均在信噪比SNR≤6 dB時，可實現對參數的有效估計，但本文的搜索算法具有更少的搜索次數。

通過上述在無噪和有噪條件下兩種參數估計方法的性能對比，可以得到，本文和文獻[24]中的參數估計方法性能相近，但本文具有更少的搜索次數，且計算復雜度較低，計算復雜度對比如表3所示。

表3 復雜度對比

4 結束語

本文提出了一種基于Shintaro_K特征量的WFRFT參數估計方法。經過理論推導得到，通過最小化接收信號的Shintaro_K值，可以得到最優的WFRFT接收階。此外，根據Shintaro_K特征量曲線的特點，對拋物線搜索算法進行改進，以達到更優的搜索效率。仿真結果表明，該參數估計方法是正確有效的，同時，通過對比實驗，本文提出的方法相較于文獻[24]中的方法具有相同的參數估計準確度，但具有更小的計算復雜度和更少的最優值搜索次數。

在未來的工作中，計劃在其他通信信道狀態下，如平坦瑞利衰落信道和多徑瑞利衰落信道中測試該理論，并設計其他高效算法，以獲得盡可能有效和精確的最優解。