基于自適應(yīng)滑模的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤控制算法

姜 濤，陳 宇，周興閣

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

0 引言

水面無(wú)人艇是一種能夠自主航行并完成一系列任務(wù)的智能化水面平臺(tái)，因其具有安全性高、可靠性強(qiáng)、工作效率高、體積小且造價(jià)低廉等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于科學(xué)研究、海水檢測(cè)和海上偵察搜索等領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)及控制技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，水面無(wú)人艇的工程應(yīng)用及理論研究取得了突破性進(jìn)展。然而，隨著海洋工程的不斷進(jìn)步，在水面無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域內(nèi)仍然面臨著巨大挑戰(zhàn)。首先，復(fù)雜的海況使無(wú)人艇在建模時(shí)不僅需要考慮海水的推力，還要考慮涌流對(duì)系統(tǒng)的影響，同時(shí)海面上巨大的風(fēng)浪對(duì)水面無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)控制也會(huì)產(chǎn)生不利影響；其次，無(wú)人艇的動(dòng)力輸出結(jié)構(gòu)決定了水面無(wú)人艇的控制輸入維度小于無(wú)人艇運(yùn)動(dòng)自由度數(shù)，是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，目前常見(jiàn)的一些控制方法無(wú)法直接運(yùn)用于水面無(wú)人艇；此外，無(wú)人艇是一個(gè)高度耦合的水文系統(tǒng)，受船體參數(shù)攝動(dòng)、質(zhì)量變化、動(dòng)力學(xué)模型中存在動(dòng)態(tài)不確定項(xiàng)等因素的影響，精確的無(wú)人艇模型難以建立，加之執(zhí)行器飽和、故障等情況，對(duì)無(wú)人艇系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確的控制具有高度的挑戰(zhàn)性[4-6]。

無(wú)人艇的軌跡跟蹤問(wèn)題，即為無(wú)人艇設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使無(wú)人艇對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)，其可以在執(zhí)行器輸入的作用下沿著所給出的期望軌跡進(jìn)行跟蹤運(yùn)動(dòng)。無(wú)人艇的軌跡跟蹤是無(wú)人艇控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題。與路徑跟蹤問(wèn)題不同，無(wú)人艇的軌跡跟蹤控制受到時(shí)間的約束，即要求被控對(duì)象在指定的時(shí)間到達(dá)期望軌跡上相應(yīng)的位置。由于無(wú)人艇本身是一個(gè)非線性的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，且需要考慮諸多干擾因素和其對(duì)于無(wú)人艇軌跡跟蹤效果的影響，因而目前的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇運(yùn)動(dòng)控制算法主要采用自適應(yīng)控制、反演控制、滑模控制、預(yù)測(cè)模型控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制算法[7-13]。

陳霄等[14]針對(duì)三自由度欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的路徑跟蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于視線制導(dǎo)律(LOS)的跟蹤控制算法；張昕[15]將滑模控制與反步法結(jié)合提出了一種欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤控制算法，并通過(guò)MATLAB仿真驗(yàn)證了算法的有效性。Wanga等[16]針對(duì)無(wú)人艇的模型不確定性問(wèn)題，采用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不確定動(dòng)力參數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了逼近，實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)攝動(dòng)條件下無(wú)人艇的航向控制問(wèn)題。Li等[17]提出了一種基于LOS的可在有限時(shí)間內(nèi)收斂的路徑跟蹤策略，并設(shè)計(jì)了有限狀態(tài)觀測(cè)器和輔助系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇在速度未知和執(zhí)行器飽和等條件下的路徑跟蹤控制。Huang等[18]在LOS路徑跟蹤制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種新的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤制導(dǎo)律，并考慮了外界風(fēng)浪流干擾對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，有效提高了欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的跟蹤性能。

基于上述文獻(xiàn)的分析，目前對(duì)于外界干擾未知、模型存在不確定性和執(zhí)行器故障等條件下的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤控制問(wèn)題的研究相對(duì)較少。本文提出了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的軌跡跟蹤控制策略，并采用自適應(yīng)滑模控制律應(yīng)對(duì)可能出現(xiàn)的執(zhí)行器衰減故障問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了較為復(fù)雜環(huán)境條件下欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，具有一定的參考意義和應(yīng)用價(jià)值。

1 問(wèn)題描述

1.1 欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的三自由度數(shù)學(xué)模型

為了完整準(zhǔn)確地建立無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，通常需要建立兩個(gè)不同的坐標(biāo)系。如圖1所示，O0-X0Y0Z0為慣性坐標(biāo)系，O0為坐標(biāo)原點(diǎn)，O0X0軸指向正北方向，O0Y0軸指向正東方向，O0Z0豎直向上，慣性坐標(biāo)系主要用于描述無(wú)人艇的位姿信息；O-XYZ為船體坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且通常為無(wú)人艇的重心，OX軸指向艇首方向，OY軸指向艇的右舷方向，OZ軸指向艇的頂部方向，船體坐標(biāo)系適合描述艇的速度和受力信息，因而無(wú)人艇的動(dòng)力學(xué)模型方程一般建立在船體坐標(biāo)系上。

水面無(wú)人艇在實(shí)際的航行過(guò)程中共包含6個(gè)自由度，分別為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖。但由于六自由度的無(wú)人艇模型較為復(fù)雜，不利于軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)和研究，因而在實(shí)際的應(yīng)用中，通常會(huì)忽略無(wú)人艇的垂蕩、縱搖和橫搖這3個(gè)在無(wú)人艇軌跡跟蹤控制問(wèn)題中影響較小的自由度，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化為三自由度的平面運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題。如圖2所示，欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇在前進(jìn)推力和轉(zhuǎn)向力矩的作用下航行。我們假設(shè)無(wú)人艇的質(zhì)量分布均勻且結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱(chēng)，同時(shí)忽略地球自轉(zhuǎn)對(duì)無(wú)人艇產(chǎn)生的加速度影響，則欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的三自由度數(shù)學(xué)模型可以表示為[19]

圖2 無(wú)人艇的三自由度模型

圖3 視線制導(dǎo)律的基本原理

(1)

其中：(x，y，r)為慣性坐標(biāo)系下無(wú)人艇的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和航向角，(u，v，r)為船體坐標(biāo)系下無(wú)人艇的橫向速度、縱向速度和航向角速度，(m11，m22，m33)為無(wú)人艇的慣性質(zhì)量系數(shù)，(d11，d22，d33)為無(wú)人艇的阻尼系數(shù)，(τu，τr)為執(zhí)行器實(shí)際作用在無(wú)人艇上的推力和轉(zhuǎn)向力矩，(wu，wv，wr)為外界風(fēng)浪作用在無(wú)人艇上的橫向干擾力、縱向干擾力和干擾力矩。

無(wú)人艇在實(shí)際的航行過(guò)程中，執(zhí)行器可能發(fā)生故障從而導(dǎo)致控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能受到影響。由于執(zhí)行器卡死情況的發(fā)生會(huì)使系統(tǒng)不可控，在此不予分析。本文僅討論執(zhí)行器衰減故障產(chǎn)生的影響，并假設(shè)有

(2)

1.2 控制目標(biāo)

假設(shè)給定的期望軌跡變化光滑的前提下，考慮外界風(fēng)浪流干擾、執(zhí)行器衰減故障和模型參數(shù)不確定性等因素對(duì)無(wú)人艇產(chǎn)生的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)合適的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇控制器，使其在慣性坐標(biāo)下的位姿滿(mǎn)足

(3)

2 欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

如圖4所示，本文設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)主要由視線制導(dǎo)律，自適應(yīng)滑模控制器，非線性擾動(dòng)觀測(cè)器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)四部分組成。控制系統(tǒng)首先根據(jù)制導(dǎo)律得到無(wú)人艇期望的航向角和前進(jìn)速度，確保無(wú)人艇的位置可以收斂到期望軌跡。再通過(guò)自適應(yīng)滑模控制器跟蹤期望的航向角和前進(jìn)速度，并抑制執(zhí)行器衰減故障產(chǎn)生的影響。同時(shí)，通過(guò)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)未知外部海洋環(huán)境干擾進(jìn)行在線估計(jì)，以此提高無(wú)人艇軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的魯棒性。最后，利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近特性，對(duì)模型中的不確定動(dòng)態(tài)項(xiàng)進(jìn)行在線估計(jì)，降低因模型中存在的不確定動(dòng)態(tài)項(xiàng)對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人艇的精準(zhǔn)控制。

圖4 無(wú)人艇軌跡跟蹤控制器系統(tǒng)框圖

本文的控制器設(shè)計(jì)方法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)與擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)相結(jié)合，使設(shè)計(jì)的無(wú)人艇軌跡跟蹤控制器同時(shí)繼承了以上兩種技術(shù)的優(yōu)良特性。通過(guò)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)解決了欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇動(dòng)力學(xué)模型中存在不確定動(dòng)態(tài)項(xiàng)的問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)，使得未知外部擾動(dòng)能夠被觀測(cè)器估計(jì)出來(lái)進(jìn)而補(bǔ)償?shù)角梆伩刂凭W(wǎng)絡(luò)中，從而提高控制系統(tǒng)抵抗外部環(huán)境擾動(dòng)的能力。

2.1 欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤策略大多基于反步法或 PID控制法進(jìn)行設(shè)計(jì)。但由于無(wú)人艇模型是一個(gè)復(fù)雜的非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，直接對(duì)其控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)是一個(gè)難題，通常會(huì)出現(xiàn)較為復(fù)雜繁瑣的虛擬控制量，這使得控制器在實(shí)際的應(yīng)用中受到了限制。為了降低控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，確保無(wú)人艇可以準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡，本文在視線制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種適用于軌跡跟蹤的新的制導(dǎo)策略，使無(wú)人艇可以在時(shí)間參數(shù)的約束下到達(dá)相應(yīng)的位置。

視線制導(dǎo)律的基本思想在于減小無(wú)人艇與期望路徑之間的橫向誤差ye，根據(jù)橫向誤差的大小計(jì)算出相應(yīng)的目標(biāo)航向角，以減小無(wú)人艇與期望路徑之間的距離，實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤的目的。該方法因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于理解和設(shè)計(jì)，且制導(dǎo)律僅與無(wú)人艇的實(shí)際位置和期望路徑相關(guān)，不受限于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，因而被廣泛應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的路徑跟蹤控制系統(tǒng)中。

如圖3所示，假設(shè)無(wú)人艇的期望軌跡曲線的表達(dá)式為Pd(xd(t)，yd(t))，則該路徑上在t時(shí)刻的切向角ψd為：

(4)

定義無(wú)人艇相對(duì)于理想位置(xd，yd)的縱向跟蹤誤差xe和橫向跟蹤誤差ye為：

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行求導(dǎo)并將式(1)代入可得：

(6)

傳統(tǒng)的視線制導(dǎo)律大多應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的路徑跟蹤控制系統(tǒng)，此時(shí)的期望路徑表達(dá)式為Pd(xd(s)，yd(s))，其只與路徑參數(shù)s相關(guān)，而與時(shí)間t無(wú)關(guān)。傳統(tǒng)的視線制導(dǎo)律的表達(dá)式為

(7)

其中：ψp為期望航向角，Δ為前視距離。

式(7)中的制導(dǎo)律可以使欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇橫向誤差ye收斂，從而使無(wú)人艇跟蹤期望路徑，但由于該制導(dǎo)律的前向期望速度由人為設(shè)定，因而無(wú)法直接應(yīng)用于軌跡跟蹤控制問(wèn)題，為了確保縱向誤差xe收斂，設(shè)計(jì)如下的制導(dǎo)律

(8)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)并將式(6)和式(8)代入可得

(10)

相較于傳統(tǒng)的反步控制法、視線制導(dǎo)律和文獻(xiàn)[18]中的軌跡跟蹤制導(dǎo)律而言，本文提出的制導(dǎo)律有如下幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：

1)在傳統(tǒng)視線制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加了期望速度的制導(dǎo)律，使其可以應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的軌跡跟蹤問(wèn)題，確保了無(wú)人艇與期望軌跡的橫向誤差和縱向誤差均在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零。

2)設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律中的期望速度up和期望航向角ψp可以直接通過(guò)前進(jìn)推力和轉(zhuǎn)向力矩的控制來(lái)完成，避免了反步法中將航向角和縱向速度耦合而產(chǎn)生的復(fù)雜虛擬控制量，降低了軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)難度和復(fù)雜度。

3)增加了有限時(shí)間項(xiàng)sigρ(x)，該項(xiàng)可以使無(wú)人艇的實(shí)際的航向角與跟蹤軌跡更為光滑，且可以有效降低無(wú)人艇制導(dǎo)系統(tǒng)的超調(diào)量，使無(wú)人艇的實(shí)際位置可以更快地收斂至期望軌跡。

4)對(duì)縱向跟蹤誤差xe進(jìn)行了歸一化處理，使制導(dǎo)律得到的期望速度更為合理，避免了文獻(xiàn)[18]中縱向誤差xe過(guò)大時(shí)，Up變?yōu)樨?fù)數(shù)從而使制導(dǎo)律得到的期望速度超出無(wú)人艇所能達(dá)到的速度范圍的問(wèn)題，確保了無(wú)人艇制導(dǎo)系統(tǒng)在距離期望軌跡較遠(yuǎn)時(shí)的有效性。

2.2 非線性擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

無(wú)人艇在航行過(guò)中時(shí)會(huì)受到海風(fēng)海浪等外界因素的干擾，這使得無(wú)人艇難以進(jìn)行精確的控制。為了有效抑制外界的干擾，在無(wú)人艇的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中通常會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行補(bǔ)償。擾動(dòng)觀測(cè)器最基本的思想概念即設(shè)計(jì)一個(gè)能夠估計(jì)不可測(cè)擾動(dòng)的子系統(tǒng)，將其應(yīng)用在前饋控制策略中，便可將外界未知的擾動(dòng)量估計(jì)出來(lái)，并用估計(jì)量替代實(shí)際擾動(dòng)量實(shí)現(xiàn)前饋控制策略，最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精確控制。通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)未知外部海洋環(huán)境產(chǎn)生的時(shí)變干擾量進(jìn)行在線估計(jì)，可以有效地提高無(wú)人艇軌跡跟蹤控制系統(tǒng)抵抗外部環(huán)境干擾的能力，消除外界干擾對(duì)無(wú)人艇控制系統(tǒng)性能的影響。

對(duì)于水面無(wú)人艇在航向過(guò)程中受到的外界風(fēng)浪流產(chǎn)生的未知時(shí)變干擾量wu和wr，可以設(shè)計(jì)如下形式的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器：

(11)

(12)

令觀測(cè)誤差為

(13)

可以構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行求導(dǎo)并將式(11)和式(12)代入，可以得到

(15)

由Young’s不等式，有

(16)

將式(16)代入式(15)中，可得

(17)

(18)

其中：

(19)

故所設(shè)計(jì)的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的誤差是一致最終有界的，即擾動(dòng)觀測(cè)器是穩(wěn)定收斂的。

2.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

無(wú)人艇是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其在作業(yè)過(guò)程中，除去外界環(huán)境所產(chǎn)生的干擾外，其自身的動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)也具有高度的非線性和不確定性，這給無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)控制帶來(lái)了很大的負(fù)面影響。為了抑制模型不確定性帶來(lái)的擾動(dòng)，本文采用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)動(dòng)力學(xué)模型中的不確定非線性項(xiàng)進(jìn)行實(shí)時(shí)擬合，避免了水動(dòng)力系數(shù)難以精確測(cè)定帶來(lái)的困擾。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有單隱層的3層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其能夠以任意精度對(duì)任意未知非線性連續(xù)函數(shù)進(jìn)行局部逼近，因而其可以對(duì)控制系統(tǒng)中的一些未知函數(shù)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)過(guò)程上與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相似，主要區(qū)別為兩者使用的作用函數(shù)不同。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在隱藏層中使用的是Sigmoid 函數(shù)，該函數(shù)在其輸入空間無(wú)限大的范圍內(nèi)函數(shù)值非零，使得其具有全局逼近的特性；然而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則采用的是高斯基函數(shù)，在其輸入空間有限范圍內(nèi)的函數(shù)值非零，使得該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有局部逼近特性。由于BP 網(wǎng)絡(luò)是一種全局逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其在每次樣本學(xué)習(xí)的過(guò)程中均需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)的所有權(quán)值進(jìn)行更新調(diào)整，從而導(dǎo)致其收斂速度慢，且易陷入局部極小，因此難以滿(mǎn)足控制系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性的要求。相對(duì)于BP網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，RBF只需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)的部分權(quán)值進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，其具有算法復(fù)雜度低、所需運(yùn)行時(shí)間短等優(yōu)點(diǎn)，且能夠規(guī)避BP網(wǎng)絡(luò)易陷于局部極小的問(wèn)題，因而在控制領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。

多輸入單輸出的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 多輸入單輸出的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

對(duì)于任意的未知連續(xù)單值函數(shù)可以采用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其進(jìn)行擬合和逼近，具體形式如下：

(20)

f=W*Th(x)+ε

(21)

其中：W*為理想的權(quán)值矩陣，h(x)為徑向基向量，ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)的輸入，cj為隱含層神經(jīng)單元的中心點(diǎn)矢量，bj為徑向基寬度，且滿(mǎn)足bj> 0。

將上述的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于估計(jì)無(wú)人艇模型中不確定性參數(shù)，定義函數(shù)

(22)

則根據(jù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以得到

(23)

其中：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為x=[u，v，r]T。

不確定項(xiàng)fu和fr的實(shí)際觀測(cè)值為

(24)

2.4 自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)

滑模控制也叫做變結(jié)構(gòu)控制，是一種特殊類(lèi)型的非線性控制算法，因其具有魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)迅速等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于干擾因素較多的無(wú)人艇運(yùn)動(dòng)控制中。滑模控制的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和期望的動(dòng)態(tài)性能設(shè)計(jì)一個(gè)滑模面，通過(guò)滑模控制器使系統(tǒng)狀態(tài)可以從任意位置迅速收斂至滑模面附近。而當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)接近滑模面后再采用切換控制以保證系統(tǒng)沿著滑模面收斂至原點(diǎn)。由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性只取決于設(shè)計(jì)的滑模面和滑模控制器，而與外界干擾無(wú)關(guān)，因而滑模控制系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)和系統(tǒng)的不確定性有極強(qiáng)的不敏感性。

現(xiàn)將自適應(yīng)滑模控制算法應(yīng)用到所設(shè)計(jì)的欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中。首先，定義前進(jìn)速度和航向角的跟蹤誤差分別為

ue=u-up，ψe=ψ-ψp

(25)

構(gòu)建如下兩個(gè)滑模面：

(26)

其中：λ1，λ2為設(shè)計(jì)參數(shù)，且滿(mǎn)足λ1，λ2> 0。

對(duì)式(26)進(jìn)行求導(dǎo)可得

(27)

注意到上式中存在變量up和ψp的導(dǎo)數(shù)，而直接對(duì)up和ψp進(jìn)行求導(dǎo)較為困難，且會(huì)出現(xiàn)微分爆炸的問(wèn)題。為解決該問(wèn)題，參考文獻(xiàn)[20]中的方法，對(duì)變量up設(shè)計(jì)如下結(jié)構(gòu)的微分觀測(cè)器

(28)

其中：zu=[zu，1，zu，2，zu，3]T是微分器的狀態(tài)變量，ku=[ku，1，ku，2，ku，3]T為微分器增益，并且滿(mǎn)足式(29)中的矩陣Au為Hurwitz矩陣，βu，i∈(0，1)且βu，i=iβu-(i-1)，βu∈(0，1)，i=1，2，3。

(29)

au=kusu+ηusat(su)+WuThu(x) +

(30)

ar=krsr+ηrsat(sr)+WrThr(x) +

(31)

其中：ku，ηu，kr，ηr為設(shè)計(jì)參數(shù)，且滿(mǎn)足ku，ηu，kr，ηr>0。sat(x)為飽和函數(shù)，采用飽和函數(shù)替代傳統(tǒng)滑模控制中的符號(hào)函數(shù)進(jìn)行切換控制，可以有效地抑制滑模控制中的抖振現(xiàn)象，其表達(dá)式為

(32)

選取自適應(yīng)控制律為

(33)

(34)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(35)

將au的表達(dá)式代入，可以得到

(36)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(37)

同理可得

(38)

2.5 穩(wěn)定性分析

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

V=V1+V2+V3+V4

(39)

對(duì)式(39)進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合式(10)、式(17)、式(36)和式(38)，可以得到

(40)

根據(jù)Young’s不等式，有

(41)

(42)

式(42)可以表示為如下的形式：

(43)

其中：

(44)

(45)

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的欠驅(qū)動(dòng)水面艇軌跡跟蹤控制律的有效性和魯棒性，采用MATLAB對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[18]中的LOS-反步法和文獻(xiàn)[21]中的反步滑模控制算法在相同的仿真環(huán)境和條件下進(jìn)行了比較。仿真中采用的無(wú)人艇模型參數(shù)為m11=215±5，m22=265±5，m33=80±2，d11=170±3.5，d22=300±5，d33=50±1，無(wú)人艇的期望軌跡表達(dá)式為

(46)

(47)

無(wú)人艇受到的外界風(fēng)浪流干擾為

(48)

仿真中無(wú)人艇的執(zhí)行器在150 s到250 s時(shí)發(fā)生了衰減故障，此時(shí)執(zhí)行器的實(shí)際輸出如式(49)所示，其余時(shí)間段內(nèi)無(wú)人艇的執(zhí)行器將正常運(yùn)行。

(49)

圖6 期望軌跡與實(shí)際軌跡

圖7 前進(jìn)速度和航向角誤差

從圖6中可以看出，在執(zhí)行器衰減故障未發(fā)生時(shí)，文獻(xiàn)[14]中的LOS-反步法和文獻(xiàn)[17]中的反步滑模控制算法均可以在模型存在不確定性和外界存在風(fēng)浪流干擾的條件下實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的軌跡跟蹤，但本文提出的控制算法的結(jié)果更加接近于期望軌跡。圖8中的無(wú)人艇位置誤差曲線的結(jié)果也佐證了這一點(diǎn)，且從中可以看出本文提出的控制算法相較于LOS-反步法和反步滑模法而言位置跟蹤誤差收斂更快，控制系統(tǒng)可以更早地到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。表1為20～150 s時(shí)3種控制算法的平均跟蹤誤差表。此時(shí)，3種控制算法都已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，且執(zhí)行器未發(fā)生故障。從該表中可以看出，本文的算法的跟蹤精度相較于另外兩種對(duì)比算法提高了80%以上。圖11中的干擾估計(jì)曲線存在明顯的尖刺和擾動(dòng)，這是由于模型參數(shù)不確定性導(dǎo)致的結(jié)果。雖然干擾的估計(jì)值存在著一定的誤差，但在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償下其估計(jì)值仍然與實(shí)際值基本保持一致，這說(shuō)明了本文設(shè)計(jì)的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器可以有效地估計(jì)外界的干擾并對(duì)系統(tǒng)補(bǔ)償，從而提高了系統(tǒng)的魯棒性。

表1 20～150 s跟蹤誤差平均值

圖8 無(wú)人艇的橫向誤差、縱向誤差與位置誤差

圖9 無(wú)人艇的實(shí)際速度

圖10 無(wú)人艇執(zhí)行器的實(shí)際控制量

圖11 外界干擾及其估計(jì)

在t=150 s后，無(wú)人艇的執(zhí)行器發(fā)生了衰減故障。從圖10中可以看到，在衰減故障的發(fā)生節(jié)點(diǎn)t=150 s處，系統(tǒng)的實(shí)際控制量存在著跳動(dòng)，但很快就恢復(fù)正常，執(zhí)行器的衰減故障對(duì)控制系統(tǒng)的實(shí)際影響較小。這說(shuō)明了在執(zhí)行器發(fā)生衰減故障的條件下，所設(shè)計(jì)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)控制律可以較好地抑制執(zhí)行器故障所帶來(lái)的影響，使無(wú)人艇軌跡跟蹤系統(tǒng)具有一定的抗干擾和容錯(cuò)能力。而與之相比，采用LOS-反步法和反步滑模算法的無(wú)人艇則受到了明顯的影響。從圖6～9和表2中可以看到，在執(zhí)行器發(fā)生故障后，采用反步滑模法的無(wú)人艇的位置跟蹤誤差明顯增大，且縱向誤差xe一直保持在2.5 m左右，無(wú)人艇的位置明顯滯后于期望軌跡；而采用LOS-反步法的無(wú)人艇則出現(xiàn)了較為明顯的失控現(xiàn)象，無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)軌跡與期望軌跡出現(xiàn)了明顯的偏離。由此可見(jiàn)，本文提出的算法可以在外界干擾未知、模型參數(shù)存在不確定性和執(zhí)行器可能出現(xiàn)衰減故障等較為復(fù)雜的環(huán)境條件下執(zhí)行欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的軌跡跟蹤控制任務(wù)，且算法的調(diào)節(jié)時(shí)間較短、穩(wěn)定性能良好，速度和位置誤差的變化較為平滑，不存在較大的抖振和波動(dòng)，具有良好的綜合性能。

表2 150～250 s跟蹤誤差平均值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了欠驅(qū)動(dòng)水面無(wú)人艇在模型參數(shù)不確定、外界存在未知時(shí)變干擾和執(zhí)行器存在衰減故障等情況下的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)滑模控制算法，并采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與傳統(tǒng)的軌跡跟蹤控制策略相比，所提出的方法采用了非線性擾動(dòng)觀測(cè)器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別對(duì)無(wú)人艇受到的外界干擾和參數(shù)不確定項(xiàng)進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，同時(shí)將無(wú)人艇的軌跡跟蹤控制問(wèn)題分解成了制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)兩大部分，并在視線制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上提出了一種新的軌跡跟蹤制導(dǎo)律，避免了直接采用反步法設(shè)計(jì)帶來(lái)的困難。通過(guò)MATLAB對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真并與傳統(tǒng)算法進(jìn)行了比較；仿真結(jié)果表明，所提出的軌跡跟蹤控制算法可以在較為復(fù)雜的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)無(wú)人艇的精準(zhǔn)控制，平均位置跟蹤誤差減小了80%以上，這說(shuō)明了本文提出算法的有效性、穩(wěn)定性以及魯棒性。