面向山區鐵路工程物流基地選址的分布魯棒優化模型

王 浩，甘 蜜，魏力飛，何 慶，王 平，彭 濤，3

(1.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031；2.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031；3.江蘇省現代城市交通技術江蘇高校協同創新中心，江蘇 南京 211189)

《“十四五”現代綜合交通運輸體系發展規劃》明確指出要完善綜合運輸大通道,加強出疆入藏、中西部地區、沿江沿海演變戰略骨干通道建設工程。這些通道建設多位于山區,沿線地形起伏劇烈、地質條件復雜、潛在地質災害風險高[1],且地廣人稀、居民分布離散,既有交通道路資源薄弱、路網密度低、抗自然災害能力弱,不足以支撐鐵路大型工程開展。在此基礎上,選取合適的物流基地節點,形成配套運輸通道,對保障大型鐵路工程物資需求準時運達、改善沿線交通設施條件、促進地區經濟社會發展具有重要意義。

選址問題在城市規劃、建筑設計、工程建設等領域具有重要意義,其合理性與成功性直接關系到后續的發展和建設,因此國內外針對選址問題的研究眾多。現有鐵路工程建設配套設施基地選址解決方案主要可以分為兩類,一類是建立選址規劃數學模型,求解得到選址決策方案。呂春妍等[2]認為選址與鐵路項目的成本、工期、安全性、環境影響程度存在耦合關系,構建土方調配及棄土場選址協同優化模型并利用粒子群算法進行求解。呂紅霞等[3]綜合考慮場地建設可行性、場地建設成本等相關因素,提出鐵路隧道相鄰緊急救援站最大設置距離計算方法,建立緊急救援站選址模型,設計啟發式算法進行求解,從而確定最終的救援備選點數量和地點。彭丹陽[4]針對鐵路運用物資區域聯合儲備中心建設的經濟性、適用性、時效性及協調性要求,構建物資供應時間的滿意程度函數,通過數學規劃模型與K-Means聚類確定最終選址。另一類通過構建選址相關影響因素評價指標,通過層次分析、模糊綜合評價等方法確定選址節點。林家琛[5]考慮高速鐵路鋪軌基地方案技術指標、經濟環境效益指標、未來運營等因素構建了基于TOPSIS的鋪軌基地選址方案。部分學者[6-9]聚焦于貯存特點要求更為不同的鐵路應急物資規劃與物資儲備上。張錦等[10]將應急物資概念引入鐵路工程建設中,采用三角模糊數刻畫不確定參數,構建了基于多場景的兩階段模糊非線性選址-路徑模型。

不難看出,針對鐵路工程特點和工程所需配套設施基地的建設特點,現有鐵路工程建設配套設施基地節點選址研究對不同選址影響因素有所側重[16-17]。而現有研究通常假定該類配套設施基地在鐵路工程落成后即拆除或全部作為永久設施留用,對配套設施基地在未來的可利用性和工程建設整體經濟性的考量不足,忽視了部分設施永久留用的規劃建設模式。該模式通常被稱為永臨結合建設模式,通常分為工程結合和場址結合兩種。此模式強調可持續性,綜合考慮環境、社會和經濟因素。在鐵路工程配套設施選址中考慮永臨結合,能有效促進資源集約利用,以及在可預見未來保障基礎設施的靈活利用,從而實現長期的工程經濟性和社會效益的平衡。

本文首先構建包含空間因素、經濟因素、交通運輸組織因素的山區鐵路工程配套物流基地選址評價指標體系,確定各主要影響因素間的相對重要程度;然后引入永臨結合決策變量,在保障工程物資運輸需求的同時,選擇部分物流基地節點留用,服務于未來山區經濟發展與社會物流需求;為精確刻畫社會物流需求的不確定性,進一步采用魯棒優化方法,構建包含臨時、長期物流基地點選取與拆除、運輸計劃指定的物流基地點選址優化的兩階段混合整數規劃模型,結合模型特點推導出可計算的等價形式;最后,通過實際案例分析不同因素變動對選址方案的影響,為添加未來可持續發展利用考量的鐵路工程配套運輸物流基地節點選址提供決策參考。

1 問題描述

山區的配套道路網絡優化需要考慮當前的工程物流需求和未來的社會需求分布,從而獲取山區物流網絡結構,具體供應鏈網絡示意見圖1。在此基礎上,考慮施工點的地質結構和空間格局對各施工點進行特征分析,并基于網絡拓撲性質選取候選物流基地,最后利用通道優化模型選取“永臨結合”下的運輸通道方案。本文主要解決以下問題:①臨時物流基地的選取;②針對未來社會需求的長期物流基地選取;③供應商到物流基地再到施工點的運輸計劃。

圖1 供應鏈網絡示意

此問題可以描述為一個兩階段模型:①考慮當前施工中工程物流需求的臨時物流基地布局優化和分配問題;②考慮修繕完成后,將臨時物流基地改善成長期物流基地為社會需求服務,而未被選取的臨時物流基地將進行拆除。

綜上所述,根據施工實際情況,本文做出以下假設:

1)臨時物流基地的備選點經過建設工程現場調研確定。

2)物流基地和施工點之間不能進行運輸。

3)每個施工點有且只有一個物流基地為其運輸。

4)物流基地到施工點之間的運輸一定能夠完成。

2 方法

2.1 評價指標

不同于一般地質條件下的物流基地選址,山區地質構造極其復雜,具有敏感脆弱的生態環境,因此,需要構建一套山區物流基地選址評價指標體系,對通道優化中的選址外生成本進行評估,以增強優化結果的可行性。

1) 空間因素。選取地質條件穩定的空曠地帶,有利于物流功能開展的地點,同時,選取到達其他節點都更為便捷的節點,有利于減少物流運輸成本,同時需要遠離自然災害及動物遷徙,因此,采用工程地質條件指標衡量海拔和地質構造等因素。

2) 經濟因素。不同物流基地點選址需要的建設成本不同,其地基、外體的建設以及內部倉儲配備均需要資金,同時需要考慮在山區建設的土地征用和維護等,因此以修建成本、維護成本和土地成本指標代表經濟狀況方面的影響因素。

3) 交通運輸組織因素在山區下的物流基地選址應考慮可達的服務范圍以及真實的運輸距離。因此,分別以服務半徑和道路情況作為衡量指標。

結合以上分析,為保證物流基地設施發揮其設定的功能,建立山區物流基地選址評價指標體系,見表1。

表1 山區物流基地選址評價指標體系

根據已構建的山區物流基地選址評價指標體系,采用AHP方法對選址優化模型中各影響因素指標權重進行確定。由于山區物流基地選址問題涉及多個因素,如地質條件、經濟成本因素等,而AHP方法能夠有效地處理多因素的決策問題,并通過層次結構的方式將問題分解,使得問題更加可管理。為規避AHP方法中存在的主觀性判斷,在實際應用中,首先邀請在山區鐵路工程選址修建領域具有豐富經驗的專家,通過集體討論和專家投票,獲取更加客觀和綜合的判斷,從而降低主觀性的影響。然后,采用經典的AHP標度:1、3、5、7、9構建判斷/比較矩陣。標度數字表示因素之間相對重要性的程度,有助于在判斷矩陣中表達不同因素之間的差異;最后,采用一致性比率來評估專家判斷的一致性。如果在構建判斷矩陣時,專家的判斷不夠一致,將重新進行討論并調整,以確保判斷矩陣的一致性,從而提高權重指標的可靠性。

2.2 選址優化模型構建

模型變量及說明見表2。

表2 變量及說明

根據傳統選址模型以及文獻[11]中針對永臨結合選址的二階段模型的啟發,本文以最小綜合評價指標為目標函數,構建的二階段確定性模型如下。

第一階段:

(1)

xipdip≤ri?i∈I?p∈P

(2)

(3)

xip≤yi?i∈I?p∈P

(4)

(5)

(6)

(7)

第二階段:

(8)

μqi≤θi?i∈I?q∈Q

(9)

(10)

θi+φi=yi?i∈I

(11)

式( 1 )表示總的目標函數值,第一項為所選臨時物流基地的綜合評價值,第二項和第三項為運輸成本,第四項為二階段的總目標函數值。在第一階段中,約束式( 2 )表示服務范圍約束;約束式( 3 )～式( 5 )表示只有被選為臨時物流基地才能接收供應商的物資并運輸至施工點;約束式( 6 )表示物流基地的容量約束;約束式( 7 )表示施工點有且只有一個物流基地為其服務。

式( 8 )為第二階段的目標函數值,第一項為所選長期物流基地的綜合評價值,第二項為拆除成本,第三項為運輸成本。在第二階段中,約束式( 9 ) 表示只有被選為臨時物流基地才能接收供應商的物資;約束式(10)表示供應商運輸到長期物流基地的物資必須滿足該物流基地所服務城市的社會需求;約束式(11)表示臨時物流基地拆除或被選為長期物流基地。

2.3 魯棒優化模型建立

在實際中,對未來城市的社會需求是無法精準預測的。同時由于各種非可控因素影響(山區道路狀況,地質災害等),實際的最大運輸量無法獲得精準數據,具有較大的不確定性。為了更好地表示這種不確定性,令

在波動變量的影響下,約束式( 9 )并不總是成立的,因此,其在一定概率下保持成立的不確定形式為

0}≥1-ε?i∈I

(12)

式中:ε為容忍度水平。

(13)

綜上所述,當未來需求和最大運輸量具有較大不確定性時,第二階段模型可以改寫為以下分布魯棒優化模型

s.t.式( 9 )、式(11)、式(13)

2.4 非精確集機會約束處理

(14)

?i∈I

(15)

={ξ:‖ξ‖1≤Ω}

(16)

式中:Ω為波動集的上界。

為方便表述,將波動變量ξi簡化為ξ=[ξk],k=1,2,…,|Q|+1,波動變量ξk對應的參數為zk。基于給出的波動集,可以通過以下定理得到式(15)的安全凸逼近形式。

Ωmax|zk|+z0≤0

(17)

={ξ∈RK,Pξ+p∈L}

(18)

式中:Pξ=[ξ0],p=[0K×1Ω],并且L={[ξΩ]:‖ξ‖1≤Ω}是K+1維的勞倫斯錐,則其對偶錐L*={[ξΩ]:‖ξ‖∞≤Ω}。

因此可以得到魯棒對等形式Ωmax|zk|+z0≤0。

②證明式(17)是非精確機會約束式(15)的安全凸逼近。以下等價表示顯然成立。

(19)

因此當波動變量ξk∈[-1 1]且相互獨立時有

(20)

通過柯西不等式可以得到

(21)

所以,有

(22)

基于文獻[12],有

(23)

根據式(19)的等價表示,結論得證。

式(17)的任意可行解對式(15)都是可行的。因此可以將約束式(13)替換為約束式(17)的形式,來近似求解原分布式魯棒優化模型。替換后新的第二階段“多面體-DRO”模型為

(24)

(25)

s.t. 式( 9 )、式(11)

3 案例分析

首先,將對確定性的二階段模型進行結果分析和敏感性分析。其次將其與分布式魯棒優化模型在不同服務水平下的計算結果進行對比,據此來驗證所提出的分布式魯棒優化模型的有效性。所有的數據來源見3.1節,數值實驗均在一臺具有12 GB運行內存、處理器為Intel(R) Core(TM) i5-6300HQ 2.30 GHz的計算機上運行,使用Gurobi 9.1.1商業求解器進行求解。

3.1 數據介紹

根據調研,平原地區物流基地地區建設成本為750元/m2,土地出讓的成交地面均價為8 000元/m2,磚混結構(±0.000以上)拆除單價為31元/m2。共有12個物流運輸物流基地備選點,編號為i1～i12,備選點數據見表3。需求點為p1～p30,供應商為q1～qb,建設成本、土地征用成本根據高原地區人工機械降效情況、平原地區單位建設成本、平原地區維護成本、不同設防烈度土建成本等因素確定。短期維護成本、長期維護成本根據平原地區維護成本確定。拆除成本根據高原地區人工機械降效情況、平原地區磚混結構拆除單價確定。根據備選點所在不同海拔及地震動峰值加速度(地震烈度),對不同備選點對應的成本費用進行相應增幅。根據TZJ 3001—2017《鐵路基本建設工程設計概(預)算費用定額》[13],將海拔高度劃分為[0,2 000)、[2 000,3 000]、(3 000,4 000]、(4 000,4 500]、(4 500,5 000]、(5 000, +∞)6個等級,其費用增幅依次為 0%、20%、34%、54%、60%、90%[14]。不同防烈度土建成本根據地震動峰值加速度進行劃分,其中0.05g～0.1g增幅為3.17%,0.1g～0.15g增幅為8.15%,0.15g～0.2g增幅為8.15%[15]。對于未來社會需求由以往城市社會需求量預測得到,社會需求預測量見表4,每個備選點的需求表示其作為長期物流基地所覆蓋的所有城市的需求量總和。

表3 備選點數據

表4 社會需求預測量

根據供應商、備選點和施工需求點的實際線路情況,利用經緯度距離計算公式測量兩點之間距離,從而獲得供應商到備選點、備選點到施工需求點的距離矩陣。綜上,選址場景中5個供應商、12個備選點以及40個施工需求點的空間分布見圖2。

圖2 空間分布

3.2 確定性模型結果分析

通過AHP方法計算得到第一階段工程地質條件、建設成本、短期維護成本、土地征用成本、服務水平和道路情況6個因素的權重分別為0.342 4、0.207 5、0.036 1、0.062 2、0.191 4;第二階段工程地質條件、長期維護成本、土地征用成本、拆除成本和道路情況5個因素的權重分別為0.345 7、0.181 2、0.204 1、0.206 9、0.062 2。

本文將臨時物流基地的服務水平刻畫為服務范圍,即最大服務距離。最大服務距離依次分為40、60、80、100、120 km。在復雜山區的設施選址過程中,本文認為主要的影響因素應當是建設施工費用和工程地質條件,因此將探究在不同服務水平下,建設成本和工程地質條件的變動對最終結果的影響見圖3,具體數值見表5。

表5 不同變動量的計算結果

圖3 不同變動量的計算結果

由圖3(a)可見,當服務水平不變時,目標函數與建設施工費用呈正比關系,總體變動為20.2%～28.8%;在同一建設成本下,目標函數隨著服務水平提高而降低。由圖3(b)可見,目標函數與工程地質條件呈正相關,但受工程地質條件的影響并沒有建設成本的影響明顯,變動僅僅只有1.3%～8.7%;在工程地質條件一定的情況下,目標函數隨著服務水平提高而減少。過低的服務水平會導致目標函數成倍增長,這是因為當服務水平低于某一閾值,決策者不得不增加大量的物流基地使所有施工點被覆蓋,而這個閾值是在40～60 km,因此在修建時,盡量不考慮 60 km以下的服務水平。

確定性模型不同服務水平下的選址結果見表6。山區道路交通基礎差,因此在選擇供應商時,決策者會更傾向于選擇靠近鐵路沿線的供應商q4和q6。在修繕鐵路時,隨著海拔的提高,因為物流基地要覆蓋多個施工點,物流基地到施工點的運輸難度會急劇提升,故決策者在選擇物流基地時會考慮選擇更靠近高海拔施工點的候選點。并且隨著服務水平的提升,表中可以看出所選擇海拔低的物流基地數量在降低,海拔高的物流基地數量幾乎不變。對于永臨結合的物流基地選擇,在修繕完成后,決策者傾向于在低海拔和高海拔各選一個,實現對社會需求的服務。

表6 不同服務水平下的選址結果

3.3 魯棒模型與隨機模型結果對比

在不同服務水平下選取18組不同容忍水平的數值,以此探究容忍水平的敏感性。在均值與支撐信息已知的非精確集下,分布魯棒優化(distributionally robust optimization,DRO)不同容忍水平最優值比較見圖4。需要說明的是,通過3.2節的結果分析,服務水平為40 km的情況不予考慮。由此可以觀察到,所有服務水平下,隨著容忍水平的增加,最優值在降低,并且不斷逐漸向確定性模型逼近。這表明過于保守的解會帶來相對較高的成本,為了避免這種情況引入部分概率分布信息來降低成本是有必要的。決策者在實際問題中想避免風險擁有相對高的容忍度,可以選擇獲取更多的分布信息,由此使得模型越逼近確定性模型,成本將會越低。DRO模型不同服務水平下的各項結果見表7。與確定性模型不同的是,由于未來社會需求帶來的不確定性,物流基地i8的優先級提高。原本被分配給物流基地i7的需求點,都被分配給了距離相近的i8。而決策者考慮到不確定性因素,選擇了容納更多未來需求的i8作為永臨結合的物流基地而不是i3。

圖4 DRO不同容忍水平最優值比較

表7 DRO不同服務水平下的選址結果

接下來將比較分布魯棒優化模型與隨機優化模型在本問題上的性能。隨機優化模型不同于分布魯棒優化模型,因為它需要不確定參數的精確概率分布,本文選擇標準的高斯分布作為擾動參數精確的名義分布。相應的隨機優化模型記為SO。根據以下定理得到具有高斯分布機會約束的等價的可計算確定性模型。

定理2若波動變量ξk之間相互獨立且服從標準的高斯分布,則非精確機會約束式(12)的安全凸逼近的可計算確定性形式為

(26)

式中:Φ-1為標準正態分布的誤差逆函數,是非精確機會約束(12)的安全凸逼近。

證明:由于波動變量ξk之間相互獨立且服從標準的高斯分布。根據標準高斯分布,標準化約束(15)為

(27)

基于高斯分布的性質,可以得到

(28)

因此,當ε≤1/2 時有

(29)

將式(29)整理可得

(30)

結論得證。

SO模型不同容忍水平最優值比較見圖5。與DRO模型類似,所有服務水平下,隨著容忍水平的增加,最優值在降低。不同的是,不管是那種服務水平,SO模型整體最優值都是小于DRO模型的。因為SO模型中有精確的概率分布信息,從而降低了最優值,這和之前的結論是一致的。然而實際很難獲得精確的分布信息,通過圖6可以分析出DRO模型的必要性。圖6展示了3種模型在容忍水平ε=0.209 6時,在不同服務水平下的最優值。確定性模型雖然最優值最小,但在不知道精確分布信息的情況下,往往會導致決策者做出錯誤的決策。SO模型總體明顯高于確定性模型,表明有擾動的情況下確定性模型是失效的。在文獻[12]中也明確指出了這一點:非常微小的擾動也可能會使確定性模型失效。而本文提出的DRO模型能夠給出較為保守的決策,避免模型失效。

圖5 SO模型不同容忍水平最優值比較

圖6 不同模型最優值比較

為了更清晰地展示“多面體-DRO”模型的逼近效果,接下來將通過分布魯棒代價(price of distributionally robust, PDR)來分析。假設ADRO是分布魯棒優化模型的最優值,ASO是隨機模型的最優值,則APDR的計算式為

(31)

不同服務水平下,不同容忍水平對應魯棒代價見圖7。由圖7可以看到,最大的APDR不超過30%,并且在ε=0.209 6時最小的APDR近似為0。另一方面,容忍水平越高付出的代價越低,也就是說明過于保守的決策會讓決策者承受相對較大的代價。有趣的是,PDR并不是隨著服務水平單調的,服務水平低會增加物流基地選址數量從而增加不確定性,相反會增加單個物流基地的不確定性。因此選擇合適的服務水平也是抵抗概率部分不確定性的有效手段。

圖7 不同容忍水平下的魯棒代價

4 結論

1)本文構建的評價指標體系,綜合考慮山區鐵路工程地質條件、永臨結合建設模式、山區道路情況等因素,使問題更加貼合現實情況,能夠更加完善地優化物流基地布局方案。

2)在以往研究基礎上,本文在考慮當前的工程物流運輸需求的同時,將社會需求分布納入考量范圍,并基于未來需求的不確定性,通過非精確機會約束,構建了適用于在山區永臨工程設施選址的“多面體-DRO”二階段分布式魯棒模型,并推導出可處理形式,具有較強的適用性。

3)以山區鐵路工程物流基地選址為例進行實例分析。結果發現決策者更傾向于選擇靠近施工點的高海拔處的設施,而不是遠離施工點海拔低且地質條件更好的設施;設施的服務水平是影響決策者設施選址的重要因素,合理的服務水平可以減少地質條件和經濟因素對選址的影響;在具有不確定信息時,服務水平越高代價也越高,而本文的模型能有效避免這種情況,通過付出較小的代價來抵抗不確定性。為實際情況中山區物流基地選址布局規劃、永臨結合模式設施修建提供實證參考。