不確定需求下鐵路集裝箱班列開行方案與定價聯合優化

李 琳，張小強

(1.上海海事大學 交通運輸學院，上海 201306；2.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 611756；3.西南交通大學 綜合交通大數據應用技術國家工程實驗室，四川 成都 611756；4.西南交通大學 綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 611756)

近年來,鐵路集裝箱運輸以安全、便捷、“公轉鐵”、“一帶一路”政策等優勢快速發展,2021年鐵路集裝箱運量同比增長23%,較2017年增長216%,相比于不斷攀升的鐵路集裝箱運量,其運輸收入增幅仍然較低[1],鐵路集裝箱運輸企業需利用更科學的管理方法提升競爭力與盈利能力。早期鐵路集裝箱班列運輸組織研究基于傳統的“貨流→車流→列流”組織模式,考慮到在技術站多次改編有損運輸時效性與安全性,且集裝箱具有便于裝卸的特點,有關學者提出了我國鐵路集裝箱旅客化運輸組織模式,以實現“箱流→列流”的直接轉換,這種轉換有利于鐵路集裝箱運輸實施收益管理從而提升運輸利潤,文獻[2-3]針對此新型集裝箱運輸系統進行列車開行方案優化研究。目前我國已允許鐵路集裝箱運輸企業根據市場供求狀況自主確定集裝箱貨物運價水平,但如何建立靈活的定價機制以提高鐵路集裝箱運輸效率亟待深入研究。

集裝箱列車開行方案與運輸價格相互影響,有必要對二者進行聯合優化。文獻[4]針對鐵路貨運面臨的低、中、高價值貨物提出聯合定價、容量控制、運輸組織的雙層規劃模型,并通過原始對偶最優條件將其轉化為單層規劃模型求解。文獻[5]建立雙層規劃模型以聯合優化鐵路貨運定價與開行方案,上層以鐵路運輸利潤最大化為目標優化列車開行方案與運價,下層基于用戶均衡原理以托運人廣義費用最小化為目標實現貨流在各運輸方式之間的均衡分配。以均衡分配為基礎進行定價優化的相關研究通常需要建立雙層規劃模型,在求解時通過下層模型靈敏度分析獲取運價與需求之間的導數關系,進而利用泰勒展開得到運價與需求之間的近似線性關系[6],但這種線性關系實際上僅適用于上層模型所得運價的鄰域范圍,將此關系再次代入上層求解會導致誤差過大從而使雙層之間的迭代難以收斂?；陔x散選擇模型如多項Logit模型建立的單層定價優化模型更便于求解,且文獻[7]認為用戶均衡原理并不能完全適用于鐵路運輸。文獻[8]基于顧客價值理論構建海鐵聯運客戶需求與價格之間的關系,基于遺傳算法求解所建立的利潤最大化運營優化模型。在考慮貨物積壓的情況下,文獻[9]使用Logit模型描述托運人運輸方式選擇行為,并利用李雅普諾夫優化方法與和聲搜索算法求解多周期鐵路集裝箱班列開行方案與定價聯合優化問題。

本文在考慮運輸需求不確定性的基礎上對鐵路集裝箱班列開行方案與定價聯合優化問題進行拓展,考慮不確定運輸需求更符合實際[10]。機會約束規劃方法在研究隨機需求問題方面應用廣泛,如文獻[11]和文獻[12]分別利用機會約束規劃方法研究隨機需求下集裝箱班輪運輸與集裝箱海鐵聯運的艙位分配與定價問題,并使用隨機變量的概率分布函數將機會約束轉化為確定性等價類后求解。為進一步考慮概率分布信息的不確定性,將魯棒優化與隨機優化相結合得到的分布魯棒優化方法逐漸發展,魯棒優化通過設置不確定參數的范圍來進行最壞場景下的決策,分布魯棒優化只需構建概率分布的不確定集合,并在最差概率分布下進行決策。文獻[13]使用樣本均值近似法處理集裝箱班輪運輸艙位分配與定價問題中的機會約束,此方法利用樣本統計量近似隨機變量,雖然避免了估計分布函數顯示形式的困難,但大量取樣會導致求解耗時。文獻[14-15]在已知隨機變量一階矩(期望)和二階矩(協方差)的情況下將分布魯棒機會約束轉化為確定性約束,分別研究新能源汽車車輛調度問題與中歐班列空箱調運問題。

在既有研究的基礎上,本文利用Logit模型刻畫托運人運輸方式選擇行為,考慮到直接將Logit模型代入現代智能優化算法求解無法保證解的全局最優性,進而對Logit模型實施增量分段線性化以簡化求解;利用分布魯棒機會約束規劃決策不確定集裝箱運輸需求下鐵路集裝箱班列開行方案與定價方案,所采用的機會約束確定性轉化方法不限定隨機變量的概率分布形式,且允許其一階矩、二階矩在給定范圍內波動,能夠表達更一般化的不確定性;對所建立的隨機混合整數非線性規劃(stochastic mixed-integer nonlinear programming,SMINP)模型目標函數中的雙線性項進行凸松弛,結合以上對約束條件的處理,轉化后的模型可直接利用求解器高效求解,通過算例分析驗證所提方法的有效性。

1 問題描述

問題框架見圖1。由圖1可知,本文研究對象為直線方向上開行的鐵路集裝箱班列,運行徑路上共有S個鐵路集裝箱站點,不同班列可以滿足不同OD的運輸需求,如從站點1發往站點S并途中在站點2?？康陌嗔锌梢詽M足OD(1,2)、OD(1,S)、OD(2,S)的集裝箱運輸需求,從站點2發往站點S-1且中途不?？康陌嗔锌蓾M足OD(2,S-1)的集裝箱運輸需求?；谖墨I[2-3]提出的鐵路集裝箱旅客化運輸組織模式,集裝箱班列不需在技術站解編作業。在班列到達鐵路集裝箱站點之前,需要裝運的集裝箱提前在裝卸線等待,班列到達后直接按預定計劃快速裝卸,類似于乘客在站臺乘降,從而有效控制集裝箱運到時限。具有運輸某OD集裝箱貨物以及特定運到時限的托運人在獲悉相應運價后考慮是否預訂箱位,能夠滿足此集裝箱運輸的班列均設置相同運價,本文暫未考慮預售期多級運價以及班列時刻表,集裝箱班列開行方案對于托運人而言屬于“黑箱”。班列開行方案包括班列開行區段、開行頻次、停站方案、箱流分配,是列車運行計劃的基礎。班列開行區段即列車的始發站、終到站以及列車途經運輸弧段;班列開行頻次指一定周期內列車的服務頻率;班列停站方案指列車在開行區段上選擇在哪些途中車站進行停站作業;班列箱流分配指各OD集裝箱流如何由各班列承擔。本文引入在鐵路客運開行方案設計中常用的列車備選集方法,列車備選集指所有可能開行的合理的列車集合,其中具有相同開行區段與停站方案的班列視為同一類班列,列車開行方案需決策備選集中各班列開行頻次及箱流分配方案。本文的研究目標是解決集裝箱班列開行方案與定價聯合優化問題,為深化我國鐵路運輸市場化改革以及提高鐵路集裝箱運輸盈利能力提供理論與技術支撐。

圖1 問題框架

我國鐵路一直以“按流開車”的原則組織列車開行,貨運需求是確定列車開行方案的基礎,但貨運需求往往存在不確定性,在制定開行方案與運價階段并不能精確確定實際裝車數量。某OD集裝箱運輸市場的總集裝箱運輸需求往往根據歷史數據預測得到,通過Logit模型分析托運人運輸方式選擇行為,進而計算托運人選擇鐵路集裝箱運輸的概率,總集裝箱運輸需求與選擇概率的乘積即可視為鐵路集裝箱運輸需求。但影響運輸市場中集裝箱運輸需求的因素眾多,如經濟發展水平、季節性、國家政策等,即使具備充足的歷史數據,運輸需求的準確預測也極具挑戰性。因此,本文將各OD總集裝箱運輸需求描述為概率分布類型與矩信息均具有不確定性的隨機變量,即不能確定其概率分布函數,僅將預測值視為需求的經驗估計,進而以最大化鐵路集裝箱運輸預期利潤為目標,建立隨機優化模型研究鐵路集裝箱班列開行方案與定價優化問題,班列開行方案包括具有不同停站方案集裝箱班列的開行頻次以及箱流(TEU與FEU)在不同班列之間的分配。

為更好地界定本文研究范圍,給出如下研究假設:

1)OD間總集裝箱運輸需求的經驗估計已知,鐵路集裝箱運價可調整范圍已知,受到各鐵路運輸弧段通過能力的制約,各鐵路運輸弧段能夠開行集裝箱班列的最大數量已知,鐵路集裝箱班列備選集已知,備選集中各班列停站次數不超過最大停站次數,以避免因停站過多影響貨物送達時效,公路集裝箱運價已知且在決策期間保持不變。

2)僅考慮鐵路集裝箱運輸與公路集裝箱運輸兩種運輸方式的競爭。

3)僅考慮集裝箱直達運輸。

2 模型建立

集合、參數、決策變量符號及說明見表1～表3。

表1 集合符號說明

表2 參數符號說明

表3 決策變量符號說明

建立的SMINP模型(記為M1)優化目標為鐵路集裝箱運輸預期利潤最大化,即

max(I-C)

(1)

根據鐵總財〔2017〕333號《鐵路貨物運輸進款清算辦法(試行)》[16],運輸收入I為貨物運費進款,即

(2)

運輸成本C為

(3)

模型約束條件為

(4)

(5)

(6)

(7)

?(i,j)∈Lh∈Hm∈M

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

?(i,j)∈L(m,n)∈Lh∈H

(17)

(18)

(19)

3 模型求解

本文所建立的SMINP模型具有3個求解難點:①刻畫托運人運輸方式選擇行為的Logit模型非線性;②總集裝箱運輸需求為不確定變量;③目標函數中存在雙線性項。本節針對這些求解難點分別利用增量分段線性化、分布魯棒機會約束等價轉化、McCormick包絡方法進行處理,處理后的模型可調用求解器直接求解。

3.1 Logit模型線性化

(20)

由于式(20)為分段函數,為便于求解,進一步基于分段函數線性化的思想將式(20)轉化為

(21)

?(i,j)∈Lh∈H

(22)

h∈Hw∈{1,2,…,W}

(23)

?w∈{1,2,…,W-1}

(24)

3.2 分布魯棒機會約束等價轉化

(25)

更貼近實際應用的模糊集需要同時考慮隨機變量分布形式與矩信息的不確定性[21],即

D(μ,Σ,γ1,γ2)=

(26)

(27)

通過對隨機變量b概率分布不確定性的考慮,將機會約束(13)轉化為分布魯棒機會約束

?(i,j)∈Lh∈H

(28)

根據文獻[14-15],可證明若隨機變量b服從概率分布集合D0,則式(28)等價于

?(i,j)∈Lh∈H

(29)

根據文獻[22],可證明若隨機變量b服從概率分布集合D且γ1/γ2≤α,則式(28)等價于

?(i,j)∈Lh∈H

(30)

若隨機變量b服從概率分布集合D且γ1/γ2>α,則式(28)等價于

?(i,j)∈Lh∈H

(31)

證明從略。

3.3 目標函數處理

?(i,j)∈Lh∈H

(32)

?(i,j)∈Lh∈H

(33)

?(i,j)∈Lh∈H

(34)

?(i,j)∈Lh∈H

(35)

通過對模型M1凸松弛,以及前文對Logit模型的線性化和分布魯棒機會約束的等價轉化,得到如下模型M2,其目標函數與約束條件分別為

目標函數為

(36)

約束條件為式( 4 )～式(12),式(14)～式(19),式(21)～式(24),式(29)或式(30)或式(31),式(32)～式(35)。

模型M2為線性規劃模型,可調用求解器直接求解,且模型M2的最優目標函數值提供了模型M1最優目標函數值的上界ZU。模型M2相比模型M1并未減少約束條件,故模型M2的解是模型M1的可行解。將模型M2的最優解代入模型M1的目標函數,即可得到模型M1最優目標函數值的下界ZL。根據(ZU-ZL)/ZL計算模型求解的最優差距,最優差距越小則解的質量越高,輸出ZL作為模型M1的最優目標函數值,并輸出相應最優解。

4 算例分析

本章通過算例分析驗證所提模型與算法的適用性與有效性。所有實驗通過Matlab 2018a編程調用Gurobi 9.1.2求解,程序運行環境為Inter Core i7-8550U CPU@1.80 GHz和8.00 GB RAM的計算機。

4.1 輸入數據

表4 各OD相關參數取值

表5 Logit模型相關參數值

圖2 鐵路集裝箱班列運輸路線

4.2 計算結果

設置α=0.1,γ1=0.1,γ2=1.1,為驗證鐵路集裝箱運輸動態定價對提升鐵路集裝箱運輸利潤的有效性,設計以下2種情景進行對比,輸出結果見表6。

表6 情景1、2輸出結果

情景2:集裝箱班列開行方案與定價聯合優化。

從表6可知,本文提出的求解算法可在短時間內獲得質量良好的解。由于情景1中鐵路集裝箱運價為固定的已知值,則優化問題的目標函數不存在雙線性項,且不需對Logit模型進行線性化,將分布魯棒機會約束等價轉化后即可直接利用求解器求解,求解結果為全局最優解。情景2的最終求解結果具有極小的最優差距,得到了近似全局最優解。對比情景1、2可見實施動態定價后鐵路集裝箱運輸預期利潤增加了9.01%,證明了聯合優化班列定價與開行方案的有效性。情景2對描述托運人運輸方式選擇行為的Logit模型進行了分段線性化處理,大朗—大紅門20英尺箱Logit模型曲線見圖3。由圖3可知,托運人選擇鐵路集裝箱運輸的概率隨鐵路集裝箱運價變化曲線,在鐵路集裝箱運價可變動范圍內,大朗—大紅門20英尺箱Logit模型分段線性化見圖4。由圖4可知,隨著分段數的增加,線性化所得分段直線幾乎與原曲線重合,因此可通過調整價格分段數自主降低Logit模型線性化誤差。

圖3 OD大朗—大紅門20英尺箱Logit模型曲線

圖4 OD大朗—大紅門20英尺箱Logit模型分段線性化

情景1的鐵路集裝箱班列最優運量決策以及情景2的鐵路集裝箱班列最優運價及運量決策見表7,情景1僅通過優化班列開行方案來滿足當前運價下的鐵路集裝箱運輸需求,情景2通過聯合優化班列開行方案與運價同時調整運輸供給側與需求側,使得鐵路集裝箱運輸利潤最大化。情景2的最優集裝箱班列停站方案見圖5,具有相同停站方案的班列視為同一類班列,如班列1表示從大朗發至大紅門且中途不停靠的集裝箱班列,班列2表示從大朗發至大紅門且中途在長沙東?？康募b箱班列,最優停站方案包含8種類型。鐵路集裝箱箱流在這8種具有不同停站方案的集裝箱班列之間的最優分配方案見表8。由表8可知,各班列在途經站點的作業內容,如班列2在大朗站裝載大朗—長沙東的20英尺箱18箱、大朗—大紅門的40英尺箱27箱,班列?？块L沙東站后卸載大朗—長沙東的集裝箱,裝載長沙東—大紅門的40英尺箱21箱,班列到達大紅門站后卸載大朗—大紅門與長沙東—大紅門的集裝箱。情景2鐵路集裝箱班列最優開行頻次見表9,如班列2在運輸弧段長沙東—武漢北上裝載大朗—大紅門的40英尺箱27箱、長沙東—大紅門的40英尺箱21箱,共占用車數48輛,根據前文所設置的班列開行編組輛數要求:最小編組36輛、最大編組60輛,模型決策得到各班列最優開行頻次,其中班列1與班列4各需開行2列,其余班列各開行1列。

表7 情景1鐵路集裝箱班列最優運量與情景2鐵路集裝箱班列最優運價及最優運量

表8 情景2鐵路集裝箱班列最優箱流分配方案 箱

表9 情景2鐵路集裝箱班列最優開行頻次

圖5 情景2鐵路集裝箱班列最優停站方案

4.3 靈敏度分析

本節分別在以下3種情景聯合優化集裝箱班列開行方案與運價,以對隨機變量概率分布模糊集的限制參數γ1與γ2、分布魯棒機會約束的風險水平α進行靈敏度分析。

情景5:設置γ1=0.1,γ2=1.1,改變α的值分別為[0.05,0.1,0.15,0.2,0.25]。

圖6 鐵路集裝箱運輸預期利潤隨γ1和γ2值變化曲線

機會約束中的風險水平反映了決策者的風險承受能力,情景5通過設置不同的風險水平取值得到鐵路集裝箱運輸預期利潤隨α值變化曲線見圖7,可見隨著風險水平的增加,鐵路集裝箱運輸預期利潤逐漸增加,原因之一是風險水平的增加表明運輸供給高于需求的概率變大,意味著模型機會約束對應的可行域擴大,決策者可以在更大的可行域內尋求更為經濟的開行方案與定價策略,原因之二是決策者能夠承受的風險水平提升說明決策者愿意承擔較大風險來獲取更為經濟的方案,從而運輸利潤增加。

圖7 鐵路集裝箱運輸預期利潤隨α值變化曲線

5 結論

本文將集裝箱總運輸需求處理為概率分布類型、一階矩、二階矩均不確定的隨機變量,以最大化鐵路集裝箱運輸預期利潤為目標聯合優化集裝箱班列開行方案與運價,以大朗至大紅門鐵路集裝箱班列為背景進行了算例分析。結果表明:①本文所建立的模型是NP難問題,基于分布魯棒優化、增量分段線性化、McCormick包絡相關方法對模型進行轉化后利用Gurobi優化軟件求解,所得結果為原問題的一個下界,但與最優結果差距很小(誤差在1.01%之內);②若鐵路集裝箱運價無法動態調整,則鐵路集裝箱運輸不能吸引到最優貨運需求,從而導致運輸利潤降低,在運輸價格可調整范圍為降價10%至漲價15%等條件下,聯合優化開行方案與運價比單獨優化開行方案可提升運輸利潤9.01%;③若隨機變量概率分布模糊集的限制參數γ1與γ2增大,則鐵路集裝箱運輸預期利潤呈下降趨勢,此時運輸需求預測準確性變低,分布魯棒下的鐵路集裝箱運輸開行方案設計與定價傾向于采取更為保守的決策,盡可能準確的預測需求對于提升貨運收益是必要的;④隨著決策者風險承受能力α的增大,即隨著允許運輸供給大于運輸需求的概率的增大,鐵路集裝箱運輸預期利潤增加,但是更高的利潤也意味著更高的風險。

本文探討的集裝箱班列開行方案與定價優化基于運輸需求預測值,在未來研究中,需要進一步探討實時運輸需求下鐵路集裝箱班列開行方案的動態調整策略,并可考慮將收益管理引入鐵路集裝箱運輸,研究集裝箱箱位預訂過程中的箱位控制策略。本文以鐵路集裝箱運輸為主體進行討論,暫未考慮公路集裝箱運輸在鐵路集裝箱運價發生變化后對自身運價的調整。在進一步研究中可考慮二者之間關于定價的完全信息動態博弈,構建公路集裝箱運價決策模型,鐵路集裝箱運輸企業與公路集裝箱運輸企業能夠根據自身擁有的運輸資源不斷調整定價策略使自身運輸利潤最大化,經過多輪博弈后二者的定價達到均衡狀態。雖然本文受篇幅限制而暫未考慮兩種運輸方式的博弈,但本研究可為二者每一輪博弈提供完整的求解方法,為后續研究奠定基礎。