基于直角坐標法的V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構正逆解分析

邵國為

（常州紡織服裝職業技術學院， 江蘇常州 213016）

0 引言

近幾年， 學者們對四自由度或五自由度并聯機構進行了大量的結構綜合研究，并確定了其運動的可行性。眾所周知， 具有Sch?nflies 運動的機器人 （也稱為SCARA運動或3T1R 運動）可用于各種工業任務，如取放、裝配、包裝和噴漆等。 但相對于三平移的Delta 機構[1-4]要更加的復雜，而相較于六自由度并聯機器人，隨著3T1R 型并聯機構運動學等分析支鏈數的減少， 并聯機構的工作空間增大，奇異構型減少。 因此有必要對3T1R 型并聯機構進行理論研究。

Delta 并聯機構構型綜合后，相關學者對其位置求解問題展開了廣泛的研究[5-7]。 已知Delta 型并聯機構輸入，求輸出的問題的解決方法（正解）有兩種：解析法和數字法。 Romdhane[8]采用解析方法，對一類3 自由度機構的正解進行了計算， 并得出了輸入與輸出之間的位置關系方程。 趙杰等[9]運用幾何和向量代數的方法，實現Delta 機構運動學正解的快速、直觀的推導，避免了并聯機構運動學多正解選擇的難題。 張利敏[10]對其進行了深入研究，并給出了相應的運動學模型。 對于一些較為復雜的并聯機構，其正解通常是不能得到的，所以常用的算法是牛頓迭代算法，但是這些算法得到的結果并不包括全部的結果，選擇起來也很麻煩。

在3T1R 并聯機構的運動分析方面，Mahboubkhah[11]等提出了一種可用于加工的高剛度并聯機構。 Wu 等[12]采用幾何投影法，同時運用閉環矢量法對具有3T1R 運動的4PPa-2PaR 并聯機構進行瞬時運動分析。Li 等[13]利用組態演繹法設計了一種創新的3T1R 并聯機構，并對其位置進行了深入分析。 Zhang 等[14]提出了一種通用的解決方案，用于求解3T1R 過約束并聯機構雅可比矩陣和約束海塞矩陣的統一公式。

本文提出一種基于方位特征集的V-2RPa⊥R⊕2RSS并聯機構運動學分析設計方法。 在此基礎上，利用一維搜尋法，構建一種只有1 個虛擬變量的方位一致性模型，基于直角坐標法， 從而方便地給出了該正解的一個解析式，并給出了逆解求解結果來證明該正解的正確性。這為優化并聯機構的參數以及研發原型機提供了一些理論支持。

1 機構結構分析

1.1 機構描述

參照圖1，該機械裝置包含了一個運動平臺1 （位于圖1 底部方框內） ，一個靜止平臺0，兩個RSS 支臂和兩個V 型方位布置的混合支臂V-2RPa⊥R。 兩個混合支臂均是由四個球狀（球副）連接點（Sa，Sb，Sc，Sd）形成的一個平行四邊形組成，我們稱之為Pa 部分（即“parallel”）。

圖1 V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構及位置求解模型

兩個由（Ra、Rb）的組成的桿安裝在Pa 部件中平行四邊形結構中間位置，平臺1 上R3的軸必須與靜平臺0 垂直，從而得到3T1R 輸出的混合支鏈V-2RPa⊥R。 靜止平臺0 上的4 個驅動副R11｜｜R21、R31⊥R41，其中，R31與R41呈V 型布置。 動平臺1 能夠進行三移動和繞R3 軸線旋轉（3T1R）運動。

1.2 計算耦合度κ

（1）確定混合支鏈HSOC1及其約束度△1。

由文獻[15]，HSOC1有兩種選擇方案：

①若選V-2RPa⊥R 支鏈構成HSOC1，即

HSOC1{R31｜｜P（4s）-P（4s）-R（4s）-P（4s）-P（4s）-R（4s）｜｜R41⊥R3-S13-S12-R11-}

由文獻[15]有

②若2RSS 構成SOC1，即

SOC1{-R11-S12-S13-S23-S22-R21-}

則

應選擇方案①

（2）確定及其約束度

SOC2由支鏈R21S22S23組成，即

SOC2{-S23-S22-R21-}

由式（1）有

（3）由此可得

結構只包含一個BKC，其耦合程度為1，能夠獲得所有的數值解[15]。

2 位置分析

2.1 位置正解分析

2.1.1 坐標系建立及符號標注

V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的正解問題可表示為：給定主動桿的輸入參數α1，β1，γ1，δ1， 求解末端執行件1（動平臺1）的輸出參數（x，y，z）（三平移）和γ（一轉動）。

如圖1 所示， 直角坐標系統O-XYZ 的OX 與OY 軸均位于靜態臺的中心位置，該系統的X 軸、Y 軸及Z 軸分別對應于一條固定的線段，且通過使用右手定律來定義Z 軸。動坐標系統O'-X'Y'Z'的原點設在了S13S23的中部，當動平臺開始移動時，X'軸、Y'軸和Z'軸沿著相應的方向運動。

圖2 為V-2RPa⊥R⊕2RSS 機構展開圖，靜態平臺長度設定為2a，寬度2b，而（末端執行平臺）動態平臺1 是一個等腰直角三角形，其邊長為2m2。

圖2 V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構展開圖

動平臺1 圍繞旋轉副R3的旋轉角度是動平臺1 的輸出姿態角γ，可表示為S13O'與OX 軸的所夾銳角，逆時針取正。

設定R3與B3的連接長度為q1，Ba與Bb連接長度為l，初始位置時，Ba和Bb的連線與Sa和Sb的連線、Sa1和Sb1的連線的夾角均為φ，此時設定R11與S12的連線，R21與S22的連線長度均為la1，S12與S13的連線長度、S22與S23的連線長度均為lb1；R31與P3的連線長度、R41與P4的連線長度均為la，P3與Ba的連線長度、P4與Bb的連線長度均為lb。

根據圖1 和圖3，Ш 和Ⅳ分支的輸入角分別為R31與P3的連線（la）與XOY 平面的夾角（α1）以及R41與P4的連線（lb）與XOY 平面的夾角 （β1）， 兩個Pa 部分的平面分別與XOY 平面之間的夾角分別是α2，β2，Pa 部分的內夾角銳角分別為α3，β3，設定逆時針方向為正。

圖3 III 支鏈與IV 支鏈的運動位置模型

I、 II 分支的主動輸入角度是γ1，δ1，以相對于靜坐標系OXY 的X、Y、Z軸線的角度來代表連接桿S13S12、S23S22在空間中的位置； 也就是γ2，γ3，γ4以及γ5，γ6，γ7的角度，見圖4。

圖4 I、II 支鏈計算模型

2.1.2 基于SOC 的位置建模分析

2.1.2.1 在△1＞0 的條件下對HSOC1的運動位置建模

（1）由HSOC1（III、IV）支鏈，分別可得O’坐標值

由式（1）、（2）可得，

β3為中間值，可以消除，首先令

從而得到

解方程可得：

（2）由第一條支鏈（I 支鏈），得到R11S12S13支鏈上球副S12、S13點的坐標為：

進一步，由S12與S13兩點之間的長度等于lb1，有

A1sinγ+B1cosγ+C1=0其中，

令

解之有：

得到輸出角（γ*）的函數表達式，同樣也是一個關于α3*的函數

即γ*=f2（α3*）

2.1.2.2 在△2＜0 條件下的SOC2支鏈運動位置數學模型

由II 支鏈，得R21S22S23支鏈中的球副S22、S23點坐標為：

進一步，由S22與S23兩點之間連線的長度等于S12與S13兩點之間連線的長度，均為，建立其支鏈II 的位置方程，即

設定變量α3*在（0°，360°）范圍內改變數值，在滿足f（）=0 的情況下，即可求解對應α3的數值解，由式（2）、（4）、（5）即可求得動平臺位置解o'（x，y，z）；代入式（7），即可求得動平臺繞Z 軸旋轉角度γ。

2.2 位置反解求解

V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的反解問題可描述為：給定動平臺1（末端執行器）的位置、姿態參數（x，y，z）（三平移）和γ（一轉動），求解主動桿相對于XOY 平面的輸入角度參數α1，β1，γ1，δ1。

2.2.1 基于直角坐標法求V-2RPa⊥R⊕2RSS 機構中各位置坐標

由2.1.2 可知，

Ba點在靜坐標下矢量方程

Ba點在靜坐標下矢量方程

則S13的絕對坐標為：

即

同理可得R21S22S23支鏈中的球副S23的在靜平臺坐標系O-XYZ 下的坐標為：

2.2.2 建立位置方程

根據連桿約束條件可得：

2.2.3 求輸入角α1，β1，γ1，δ1

由（14）式可得R31Pa⊥R3支鏈主動輸入角α1：

其中，A1=2（z-q1）la

由式（15）可得R41Pa⊥R3支鏈主動輸入角β1：

其中，A2=2（z-q1）la

由式（16）可得R11S12S13支鏈主動輸入角γ1：

其中，A3=-2zla

由式（17）可得R21S22S23支鏈主動輸入角δ1：

其中，A4=-2zla

當輸出參數和已知時，α1，β1，γ1，δ1分別有兩組解。 故位置逆解數為2×2×2×2=16， 因此，V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構動平臺可輸出有16 種構型。

2.3 實例驗算

2.3.1 正解算例

因V-2RPa⊥R⊕2RSS 機構與H4（I4R）均含有Pa 復雜支鏈，為便于后續性能對比，取與產業用H4 并聯機構相同的尺寸，即，

令相應桿長尺寸數據為：la=375，lb=800，la1=375，lb1=880，a=400，b=400，m2=200； 其余還參數包括：l=350mm，q1=40mm，φ=45°。 對主動桿輸入角進行賦值，

依據式（1）～式（9），通過使用一維搜尋方法[15]，可以從兩組角度中得到V-2RPa⊥R⊕2RSS 機構末端執行器的四個位置，如表1 所示。

表1 V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的末端位置

2.3.2 逆解算例

3 樣機CAD 建模

圖5 展示了V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的虛擬樣品設計總圖，其中包括靜態平臺0、動態平臺1、動態平臺2、RSS 支鏈3、復雜支鏈（含Pa）4 和驅動系統5 這六個主要部分。

圖5 V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的虛擬樣機圖

3.1 支鏈設計

V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構由四條支鏈并聯耦合而成， 為動平臺傳遞運動、末端執行件承受載荷，支鏈的結構須在滿足工況的前提下，質量盡量輕。 因此，四個支鏈中的主動臂和從動臂都使用了碳纖維編織管狀結構， 這種結構具有輕量化、高強度和高模型等優點。RSS 支鏈與復雜支鏈（含Pa）的3D 結構如圖6 所示。

圖6 支鏈結構圖

3.2 動、靜平臺的設計

子動平臺1和子動平臺2是相互垂直并且通過轉動副連接，進而實現V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構末端的繞Z 軸的旋轉運動，同時通過球關節（S13 或S23）分別連接兩個RSS 支鏈，從而構成了可實現三平移一轉動輸出運動的V-2RPa⊥R⊕2RSS 機構的結構。同時，該并聯機構的靜平臺0 安裝有4 塊電機安裝板，4 臺伺服電機，結構如圖7 所示。

圖7 靜平臺結構設計

4 結論

提出了一種四自由度V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構， 結構比H4、I4R 機構更為簡單、動平臺裝配結構更為容易。

利用一維搜索計算出了V-2RPa⊥R⊕2RSS 并聯機構的耦合度，并得到四組機構末端位置數值解。進一步求解后，我們得出了機構位置反解的解析式。

這個結構設計簡潔，為后期的動力學分析奠定了基礎。