小樣本加速壽命試驗設計與評估方法

傅惠民， 郭建超， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學小樣本技術研究中心， 北京 100191）

0 引言

為縮短試驗周期， 工程上通常采用加速壽命試驗來對高可靠長壽命產品進行可靠性評估。 然而傳統加速壽命試驗方法通常需要在多個（5 個左右）加速應力水平下進行壽命試驗，并采用最佳線性無偏估計（BLUEs）等方法進行統計分析[1]，這導致試驗工作量較大，特別是在較低的加速應力水平還可能出現無失效數據情況。 此外，為評估可靠壽命的單側置信下限，需引入諸如指數分布平均壽命估計量服從對數正態分布等假設[2]，進一步帶來了誤差。

為此，本文提出一種小樣本加速壽命試驗設計與評估方法，該方法僅需在兩個加速應力水平下開展加速壽命試驗，并分別求得兩個加速應力水平下的可靠壽命單側置信限， 即可根據本文建立的正常使用應力水平下可靠壽命的單側置信下限與兩個加速應力水平下的可靠壽命置信限之間的數學關系式， 對產品在正常使用應力水平下高置信度、高可靠度的可靠壽命進行評估。由于根據單一加速應力水平下的壽命試驗數據評估該應力水平下的可靠壽命單側置信限方法較多[3-8]，所以本文根據兩個加速應力水平下的可靠壽命置信限評估正常使用應力水平下的可靠壽命單側置信下限的方法，對完全數據、不完全數據以及各種分布均適用，并且易于計算。文中對工程上常見的指數分布、兩參數Weibull 分布（形狀參數已知）以及對數正態分布（標準差已知）的定數截尾加速壽命試驗情況進行了詳細討論。 嚴謹的理論推導和大量的Monte Carlo模擬驗證， 均證明了本文方法的正確性。 與傳統方法相比，本文方法在精度相同的條件下可以節省大量試驗，而在試驗量相同時則可顯著提高精度。

1 小樣本加速試驗設計與評估方法

1.1 線性加速模型

加速壽命試驗旨在通過高應力水平下的可靠壽命外推得到正常使用應力水平下的可靠壽命， 而這需要建立可靠壽命與應力水平之間的關系，即加速模型。在失效機理不變的情況下， 產品可靠壽命與應力水平之間的關系通常可用如下線性加速模型來描述：

式中，tR為產品可靠壽命或其已知單調增函數，a 和b 為待定參數，φ（S）為應力水平S 的已知函數，例如，當加速應力S為絕對溫度時，式（1）可采用阿倫尼斯模型：φ（S）=1/S，也可采用單應力艾林模型，此時還需將式（1）中的tR換成其函數StR；當加速應力S 為電應力（電壓、電流、功率等）、濕度、載荷等時，式（1）可采用逆冪律模型：φ（S）=lnS；當加速應力S 為電應力、載荷時，式（1）也可采用指數模型：φ（S）=S。

進一步可將式（1）變換為

式中，ω（S）=［φ（S2）-φ（S）］/［φ（S2）-φ（S1）］，tR1和tR2分別為應力水平S1和S2（S2〉S1）下產品的可靠壽命。 對于阿倫尼斯模型和單應力艾林模型，ω（S）為

對于逆冪律模型，ω（S）為

對于指數模型，ω（S）為

1.2 小樣本加速壽命試驗設計

在小樣本加速壽命試驗中， 只需選取兩個加速應力水平S1和S2，要求S2〉S1≥S，其中產品正常使用應力水平仍以S 來表示。 現分別在S1和S2下對產品進行加速壽命試驗，并分別求得產品置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR1和tR2的單側置信下限tRL1，γ和上限tRU2，γ，計算下限tRL1，γ和上限tRU2，γ的方法可參考文獻[3-8]等。 試驗設計時， 應保證S1和S2下的失效模式與正常使用應力水平S下的失效模式相一致，并且S2應盡量選得大一些，S1則需適當拉開與S2的距離， 或適當增加試樣數和失效數，避免因隨機性出現tRL1，γ≤tRU2，γ的情況。

1.3 可靠性評估方法

根據文獻[9]和式（2），可以推導出如下定理：

定理 設tR1和tR2分別為產品在加速應力水平S1和S2（S2〉S1）下可靠度為R 的可靠壽命，tRL1，γ和tRU2，γ分別是其置信度至少為γ 的單側置信下限和上限， 且tRL1，γ和tRU2，γ相互獨立，則可以證明，該產品在正常使用應力水平S（S≤S1）下置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限tRL由下式給出

進一步還可通過下式精確計算式（6）給出的可靠壽命單側置信下限tRL的置信度γ*：

其數值計算公式為

式中，

實際計算時，首先按精度要求選取M（如104，105，106等），代入式（12）求得γk，然后由式（11）求得相應的tRL2，γk，再將其代入式（10）計算，最后由式（9）求得置信度γ*。

進一步通過調整式（6）中的γ 取值為γ**，使得式（8）中的γ*=γ， 即可通過下式求得該產品在正常使用應力水平下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限

與式（7）計算的tRL相比，式（14）給出的tRL，γ的置信度為γ，而前者是置信度至少為γ，即tRL，γ具有更高的精度，更加接近于可靠壽命真值tR，通常有tRL，γ≥tRL，這可以充分開發利用產品的壽命潛力。 而tRL偏于保守， 但其計算簡單，避免了后面復雜的數值計算。

由式（14）和置信限曲線的等同性可知，當給定時間t時， 該產品置信度為γ 的可靠度單側置信下限RL，γ由下式中的R 求得

2 指數分布定數截尾加速試驗可靠性評估方法

設產品在應力水平S 下的壽命t 遵循平均壽命為θ的指數分布：

2.1 小樣本試驗設計

在小樣本加速壽命試驗中， 選取兩個加速應力水平S1和S2（S2〉S1），分別對產品進行樣本數為n、失效數為r的定數截尾試驗，得到應力水平Si（i=1，2）下的失效數據和未失效數據：

2.2 平均壽命單側置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗得到式（17）給出的一組壽命試驗數據， 則可以求得加速應力水平S1和S2下置信度為γ 的平均壽命單側置信下限θL1，γ和上限θU2，γ分別為

根據本文定理， 該產品在正常使用應力水平S 下置信度至少為γ 的平均壽命θ 單側置信下限θL為

其置信度γ*數值計算公式為

式中，M 根據數值計算精度要求進行取值（如104，105，106等），F2r（·）是自由度為2r 的χ2分布的累積分布函數。

進一步通過調整式 （21） 中的γ 取值為γ**， 使得式（21） 中的γ*=γ， 即可求得該產品在正常使用應力水平S下置信度為γ 的平均壽命θ 單側置信下限θL，γ為

2.3 失效率單側置信上限

該產品在正常使用應力水平S 下置信度為γ 的失效率λ 單側置信上限λU，γ為

2.4 可靠壽命單側置信下限

該產品在正常使用應力水平S 下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限tRL，γ為

2.5 理論證明與仿真驗證

本文定理一般情況的推導較為復雜且篇幅較長，因此，為了便于理解掌握，下面針對指數分布定數截尾試驗情況給出其理論證明和仿真驗證。 首先，通過理論推導證明式（20）給出的θL置信度至少為γ，即驗證γ≥50%時下式成立

由于

所以

式中，Xi=2Ti/θi～χ2（2r），X1和X2相互獨立，0≤[1-1/ω（S）]〈1。

下面分兩種情況對式（30）進行討論：

1）ln［X2/（2r）］≥0 時，有

2）ln［X2/（2r）］〈0 時，有

式中，F＝（X1/2r）/（X2/2r）～F（2r，2r），Fγ（2r，2r）是其γ 下側分位點。由于γ≥50%時，可以證明Fγ（2r，2r）≤（2r）/，因此，式（32）在γ≥50%時成立。

由全概率公式可知，式（26）在γ≥50%時成立，即本文給出的θL置信度至少為γ。

然后，通過仿真驗證式（23）給出的θL，γ的置信度為γ，即驗證下式成立

亦即

為了驗證式（34），在每次仿真試驗中，分別從X1和X2的母體中進行隨機抽樣，重復仿真107次，統計式（34）中不等式成立的頻率作為仿真置信度γ′， 并使之與設定置信度γ 進行比較，即可驗證本文方法的正確性。

例如，設定失效數r=3，不同置信度要求及應力水平設定下的仿真計算結果如表1 所示。

表1 指數分布置信度仿真結果

可以看到， 仿真置信度γ′均與設定置信度γ 非常接近。 倘若增加仿真次數，提高計算精度，仿真置信度γ′將與設定置信度γ 完全相等，即式（33）成立。 從而驗證了本文定理在指數分布定數截尾試驗情況的正確性。

3 Weibull 分布定數截尾加速試驗可靠性評估方法

對于產品壽命t 服從兩參數Weibull 分布的情況，由于工程實際中形狀參數α0通?？捎梢酝囼灁祿蚪涷灚@得，例如波音公司統計得到：鋁合金結構α0＝4；鈦合金結構α0＝3；鋼結構α0＝2.2。 因此，下面給出形狀參數α0已知情況下的Weibull 分布小樣本加速壽命試驗方法。

設產品在應力水平S 下的壽命t 遵循兩參數Weibull分布：

式中，α0為已知的形狀參數，β 為尺度參數。 令

則在應力水平S 下y 遵循平均壽命為βα0的指數分布。

3.1 可靠壽命單側置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗得到式（17）給出的一組壽命試驗數據，代入式（36），得

則將其轉換為指數分布y 的一組壽命試驗數據。 根據式（20），求得在正常使用應力水平S 下，該產品置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限tRL為

3.2 可靠度單側置信下限

根據置信限曲線等同性原理和式（39），可以求得該產品在正常使用應力水平S 下給定時刻t 處的置信度為γ 的可靠度R 單側置信下限RL，γ為

4 正態分布定數截尾加速試驗可靠性評估方法

設某產品在應力水平S 下的對數壽命x=lgt 遵循標準差為σ0（已知）的正態分布：

式中，μ 為對數壽命均值，Φ（·）為標準正態分布函數。

4.1 可靠壽命單側置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗得到式（17）給出的一組壽命試驗數據，則加速應力水平S1和S2下置信度為γ、可靠度為R 的對數可靠壽命單側置信下限xRL1，γ和上限xRU2，γ分別為[8]

根據本文定理，在正常使用應力水平S 下，該產品置信度至少為γ、 可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限tRL由下式給出

其置信度γ*數值計算公式為

式中，M 根據數值計算精度要求進行取值（如104，105，106等）。進一步調整式（50）中的γ 取值為γ**，使得γ*=γ，即可求得該產品在正常使用應力水平S 下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側置信下限tRL，γ為

特別是，在加速應力水平S1和S2上的試驗壽命均為完全數據時， 能夠直接根據回歸分析得到其精確的可靠壽命單側置信下限，可以證明，此時由本文式（52）給出的結果與之完全相同。

4.2 可靠度單側置信下限

根據置信限曲線等同性原理， 該產品在正常使用應力水平S 下給定時刻t 處的置信度為γ 的可靠度R 單側置信下限RL，γ由下式求得

5 算例

為了與真值進行比較，下面給出一仿真算例。設某機電產品壽命遵循形狀參數α0＝3.8 的兩參數Weibull 分布，電流應力Ι 是導致其失效的主要因素。 現以電流應力作為加速應力對其開展小樣本加速壽命試驗。 設加速模型為lnβ=15-4lnI。 現選取兩個加速應力水平分別為I1=9mA，I2=12mA， 每個應力水平下進行樣本數n=5 的完全壽命試驗，仿真結果如表2 所示。下面采用本文方法對該產品在正常使用應力水平I=5mA 下的可靠性進行評估。

表2 某機電產品加速壽命試驗仿真結果

首先，分別求得該產品在加速應力水平I1和I2下置信度為0.9、 可靠度為0.99 的可靠壽命單側置信下限tRL1,γ和上限tRU2,γ分別為

根據式（38），可以求得正常使用電流應力水平I 下該產品置信度至少為0.9、 可靠度為0.99 的可靠壽命單側置信下限tRL為

根據式（21），精確計算式（57）中tRL的置信度為

進一步調整置信度γ 取值為γ**=0.8193， 使得γ*=γ，最終求得該產品在I=5mA 正常使用電流應力下置信度為0.9、可靠度為0.99 的可靠壽命單側置信下限tRL，γ為

可以看到，tRL，γ=1090.2h 高于tRL=871.2h， 但二者均低于可靠壽命真值tR=1558.8h，工程上可以安全使用。 并且tRL，γ比tRL具有更高精度，而tRL計算簡單。

6 結論

針對工程上常用的線性加速模型， 建立了正常使用應力水平下可靠壽命的單側置信下限與兩個加速應力水平下的可靠壽命置信限之間的數學關系式。

提出的小樣本加速壽命試驗設計與評估方法，只需在兩個加速應力水平下進行加速壽命試驗，即可對產品在正常使用應力水平下高置信度、高可靠度的可靠壽命進行評估。

對工程上常見的指數分布、兩參數Weibull 分布（形狀參數已知）和對數正態分布（標準差已知）的定數截尾加速壽命試驗情況進行了詳細討論， 給出了相應的正常使用應力水平下高置信度、 高可靠度的可靠壽命單側置信下限計算公式。

工程實際中，通常有S2〉S1≥S，對于S2≥S≥S1的特殊情況，只需將本文定理中的上限tRU2，γ和tRU2，γ**換成下限tRL2，γ和tRL2，γ**即可。

加速壽命試驗中，應力水平越高，壽命分散性往往越小。但是傳統的加速壽命試驗方法通常假設方差相同，這必然帶來誤差，而本文方法對方差相同、不相同、已知或未知情況均適用，很好地克服了傳統方法的不足。