兩級變幅應變疲勞本征損傷耗散壽命預測模型研究1)

李文奇 向 忠 李浩然,2) 任忠凱 王嘉棟

* (浙江理工大學機械工程學院,杭州 310018)

? (太原理工大學機械與運載工程學院,太原 030024)

引言

隨著科技進步以及國民經濟的發展,人們對機械裝備的安全性、耐久性和經濟性提出了更高的要求.疲勞裂紋廣泛存在于各類工程材料及結構中,對安全性和耐久性產生了嚴重影響[1].由疲勞破壞導致的金屬構件失效約占現代構件失效的50%～90%[2],是工程失效的最主要的原因之一[3],危及機械構件的安全運行.低周疲勞破壞,廣泛存在于石油、化工、航天等重要的工程領域[4-5].在這些領域,關鍵構件一旦發生疲勞失效,后果不堪設想.事實上,構件低周疲勞破壞與其承載歷史密切相關[6],如變幅載荷、多軸非比例載荷以及疊加平均應變載荷等.所謂變幅載荷,指的是構件所受載荷譜的特征參數(如應變比、應變幅和平均應變等)處于變化之中.對于實際工程結構件而言,常面臨多種服役工況,變幅載荷是其受載的典型特征.基于此,開展變幅低周疲勞壽命預測理論研究,吻合構件受載特征,具有重要的工程應用價值.

變幅低周疲勞載荷,一般由多段不同幅值載荷構成.諸多實驗研究表明,不同幅值載荷路徑之間的交互作用,使得變幅低周疲勞破壞呈現載荷順序效應[7],對構件的疲勞壽命產生影響.變幅低周疲勞壽命預測理論,核心問題在于構建描述載荷順序效應的損傷累積模型.自從19 世紀中葉,德國科學家Wohler闡明了疲勞壽命與交變載荷之間的關系后,人們深入理解了載荷順序效應對低周疲勞壽命的顯著影響,并相應地提出了多種變幅低周疲勞損傷累積模型.從宏觀角度看,這些損傷累積模型主要可分為兩大類: 線性損傷累積模型和非線性損傷累積模型.線性累積損傷模型基于材料損傷與循環比例的正比關系,通過線性疊加各段損傷,并規定當累積循環比達到1 時,材料便宣告失效,例如Palmgren-Miner 準則[8]和Shamsaei 準則[9].后來,Jiang 等[10]、Wang 等[11]以及Li 等[12]認為線性累積循環比無法刻畫變幅加載的順序效應,提出了損傷與循環比非線性關系模型.以上研究成果,為變幅低周疲勞壽命預測研究奠定了重要基礎,但一直不存在一個廣泛接受的損傷累積模型.

損傷力學法是一個新興的研究方法,近年來得到了快速的發展和廣泛的認同,被認為具有巨大的發展前景.這種方法結合了唯象學和不可逆熱力學理論,推導出損傷演化方程,為構建疲勞壽命預測模型提供了重要的理論支持.從不可逆熱力學而言,損傷可視為一不可逆熱力學過程,伴隨能量耗散,且這一能量耗散不全是材料循環穩態應力應變遲滯洄線包圍面積[13].損傷力學,基于不可逆熱力學,并結合內變量理論,給出了與損傷構成一一映射的本征損傷耗散描述,為揭示疲勞破壞的熱力學本質提供了理論基礎.近年來,Ferreira 等[14]、Nie 等[15]和Song 等[16]基于Lemaitre 損傷演化方程,建立了變幅低周疲勞壽命預測模型,預測結果較好.但從本質上來說,他們建立的模型大多數以損傷內變量定義壽命耗竭條件,無法刻畫低周疲勞破壞的熱力學本質,制約了預測穩定性.

考慮到本征損傷耗散與疲勞損傷構成一一映射,且刻畫低周疲勞破壞的熱力學本質,因此,以等同本征損傷耗散作為損傷轉換條件,構建變幅低周疲勞損傷累積模型,具有明確的物理和力學意義.為此,本文基于連續介質損傷力學和不可逆熱力學理論,推導了本征損傷耗散功演化模型D型描述,并以等同本征損傷耗散作為損傷轉換條件,構建了一種考慮載荷順序效應的變幅低周疲勞壽命預測模型并與Manson 模型[17]、Kwofie 模型[18]和Peng 模型[19]進行了對比,為變幅低周疲勞壽命精確預測提供了一種方法.

1 本征損傷耗散低周疲勞損傷累積模型

1.1 本征損傷耗散的金屬學意義

眾所周知,所有材料均由原子組成,原子有序的排布離不開原子鍵的維持.材料受載荷作用后,原子鍵會產生位移,進而產生位錯移動.這種原子鍵?位錯滑移機制是造成塑性應變行為的細觀原因,但該過程中原子鍵并不一定會分離.然而,當材料存在微缺陷時,如夾雜,原子鍵位移將被暫停,進而產生脫鍵[20]行為,導致疲勞損傷累積.考慮到材料中微缺陷的存在,脫鍵行為無法避免,使得材料在循環載荷下的疲勞損傷演化不可避免.

彈性模量是材料的宏觀力學性能,與原子鍵能緊密相關.多位學者[21-23]通過實驗發現脫鍵行為將導致彈性模量隨疲勞損傷演化而退化.由此可知,宏觀尺度上的彈性模量的降低是由微觀尺度上的脫鍵行為導致.同時,脫鍵行為作為一不可逆過程,必然伴有能量耗散,該能量耗散在損傷力學理論框架下被定義為本征損傷耗散[24].綜合所述,本征損傷耗散與疲勞損傷演化一一映射,揭示了疲勞損傷演化的熱力學本質.采用本征損傷耗散開展低周疲勞壽命預測,具備提升預測效果的基礎條件.

1.2 本征損傷耗散表征模型

疲勞損傷是一個不可逆的熱力學過程,伴隨著塑性流動和損傷演化,關聯著熱量產生與流動.對于該過程,根據不可逆熱力學理論,受損微元體需滿足熱力學自洽性,一般包括熱力學第一定律和第二定律.熱力學第一定律,即能量守恒定律,表述如下[25]

式中,σij是應力張量,是彈性應變張量,是彈性應變率張量,是塑性應變率張量,ρ 是材料密度,是熱通量對i(i=x,y,z) 取偏導數,是溫度變化率,D是損傷內變量,是損傷內變量變化率,g是Helmholtz 自由能,通常認為自由能與無關.張行等[26]視材料損傷演化為一等溫過程,受損材料Helmholtz 自由能表述如下

式中,Sijkl是柔度張量,h是裂紋閉合因子,一般取0.2[20].σ1和 σ3分別是第一主應力和第三主應力.損傷力學中,定義損傷驅動力Y為單位時間所釋放的彈性應變能,不考慮材料各向異性,由彈性力學可知損傷驅動力Y為

式中,T,j是溫度梯度,是熱通量對時間的導數,表示塑性耗散率,Y表示本征損傷耗散率.根據本征損傷耗散率表述形式,本征損傷耗散的增量形式為

式中,dD為損傷內變量的增量,可結合Lemaitre 損傷耗散函數[27]和廣義損傷流動法則給出

式中,f? 為Lemaitre 損傷耗散函數,p是等效塑性應變,S0,S1為材料常數.針對受單軸低周疲勞載荷,循環本構關系可由Ramberg-Osgood 公式給出,式(6)需改寫為

式中,K是循環強度系數,n′是循環應變硬化指數,εp是單軸疲勞載荷下塑性應變.值得注意的是,考慮到在壓縮應力作用下的損傷驅動力遠低于拉應力作用下的,因此在推導式(6)和式(7)的過程中,并沒有考慮壓縮應力作用下的損傷累積.此外,考慮低周疲勞中彈性應變幅微小,用塑性應變幅近似代替總應變幅,并結合式(6)和式(7),推導對稱拉壓應變疲勞載荷下的損傷演化模型N型表述為

式中,DN表示材料循環N次對應的損傷累積,Nf表示恒對稱拉壓塑性應變幅下材料疲勞壽命.

損傷演化模型,描述了損傷內變量隨循環周次演化歷程.在此歷程,伴隨本征損傷耗散累積.本征損傷耗散表征可聯合式(5)和式(6)及單軸低周疲勞載荷下循環本構關系Ramberg-Osgood 公式推得

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式中,B是縮并材料參數,[2n′(S1+1)+1]?1.由微分理論可知,聯合式(8) 和式(10)可將本征損傷耗散演化方程的N型表述改寫成D型表述

由式(11)可導出材料循環N次對應的累積本征損傷耗散為

式(12)描述了累積本征損傷耗散與損傷內變量之間的作用規律,此規律亦可通過式(9)并結合一階近似給出累積本征損傷耗散與循環周次間的近似關系

1.3 變幅低周疲勞壽命預測模型

載荷順序效應對疲勞壽命影響已在多數學者研究中得以體現[28-29].載荷順序效應通過改變損傷累積速率對疲勞壽命施加影響.以兩級應變疲勞損傷為例(如圖1 所示): 由式(9)可知,對于對稱常幅應變疲勞而言,損傷與循環壽命比N/Nf關系唯一,與應變幅值無關,損傷?循環壽命比曲線唯一(如圖1紅線所示).而當高?低應變幅兩級加載時(如圖1(b)紅線所示),較等同常幅應變疲勞損傷增大了第二段損傷累積速率,疲勞壽命降低;反之低?高應變幅兩級加載時(如圖1(a)紅線所示),較等同常幅應變疲勞損傷減小了第2 段損傷累積速率,疲勞壽命提高.變幅疲勞壽命預測常根據某一等效準則,如等損傷準則,將前級循環周次當量折算到后級載荷工況下,以此類推,實現多級變幅疲勞壽命預測向常幅疲勞壽命預測的轉變.

圖1 兩級應變載荷下損傷累積示意圖Fig.1 Schematic of damage accumulation under two levels of strain loading

考慮到本征損傷耗散靶向材料疲勞損傷演化,且其臨界值界定了材料失效判據,關聯原子屬性和結構,與載荷順序無關.基于此,可將前級循環載荷作用下的本征損傷耗散等量換算到后級循環載荷下,推導前后級當量循環周次,以期實現多級向常幅疲勞壽命預測轉變.對于兩級應變疲勞加載,根據式(13),將第1 級載荷循環N1次所累積的本征損傷耗散等量換算到第2 級載荷工況下,有

式中,Neq,2為一級載荷循環周次當量折算到二級載荷下,Nf2為二級載荷作用下的常幅疲勞壽命,Nf1為一級載荷作用下的常幅疲勞壽命,N1為一級載荷下的循環周次,分別為一級和二級對稱應變載荷.由式(14)可將兩級變幅疲勞壽命預測轉換為第2 級載荷作用下的常幅疲勞壽命預測,而在第2 級載荷作用下材料常幅疲勞壽命必然滿足

將式(14)代入式(15)導出兩級應變疲勞損傷累積模型為

從式(16)可知,Palmgreen-Miner 損傷累積準則認為兩級載荷作用下循環壽命比之和達至1,宣告材料壽命耗竭.而根據多數學者實驗研究表明,載荷順序對兩級載荷作用下循環壽命比之和施加影響.以300 CVN 合金鋼[30]和纖維材料CFR PEEK[31]為例(如圖2 所示),Palmgreen-Miner 損傷累積直線恰將兩級變幅疲勞實驗數據分為了兩類(高低加載和低高加載).當高低加載時,Palmgreen-Miner 損傷累積量即循環壽命比之和大于1,而當低高加載時,循環壽命比之和又小于1,Palmgreen-Miner 損傷累積量與載荷順序密切相關.新建損傷累積模型,描述載荷順序效應,可由式(16)給出Palmgreen-Miner 損傷累積量的兩種載荷情形

圖2 兩級載荷作用下循環壽命比之和與載荷順序關聯Fig.2 Sum of cycle life ratios under two levels of loading as a function of loading sequence

由式(18)可知,新建損傷累積模型描述載荷順序效應,吻合現有考慮載荷順序效應的實驗規律.實際上,在預測兩級變幅疲勞壽命的過程中,主要依賴于損傷累積模型來估算第2 級載荷作用下的剩余壽命.然后,將這個剩余壽命與第1 級載荷作用下已消耗的壽命相加,以此獲得完整的預測壽命.基于該預測思路,并結合式(16),給出兩級應變疲勞載荷作用下材料預測全壽命為

預測模型計算流程如圖3 所示.

圖3 變幅低周疲勞壽命預測模型計算流程圖Fig.3 Calculation flowchart of variable amplitude low circumference fatigue life prediction model

2 模型驗證

為進一步對比驗證新建變幅應變疲勞壽命預測模型先進性,本文收集兩種金屬材料P355NL1 結構鋼[32]和Ti-6Al-4V 鈦合金[33-34]在兩級變幅對稱應變疲勞載荷下的實驗數據開展了對比驗證,其中對比預測模型包括考慮載荷順序效應的Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型.兩種實驗材料疲勞性能屬性及實驗應變載荷下常幅中值疲勞壽命分別如表1 和表2 所示.P355NL1 鋼和Ti-6Al-4V 鈦合金低周疲勞實驗均通過制備光滑試樣在應變載荷控制模式下進行,具體載荷工況如表3 所示.

表1 兩種材料的疲勞性能參數Table 1 Fatigue performance parameters of the two materials

表2 兩種材料在應變載荷下常幅疲勞壽命Table 2 Experimental strain loaded normal amplitude fatigue life for both materials

表3 兩種材料的具體實驗載荷工況Table 3 Specific experimental loading conditions for both materials

新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型對兩種材料的預測結果如圖4 和圖5 所示,圖中兩條藍色實線組成1.5 倍公差帶.從圖中可以觀察到,本研究構建的疲勞壽命預測模型對于兩種金屬材料在單軸兩級變幅載荷下的疲勞壽命預測與實驗結果具有良好的一致性,所有數據點都在1.5 倍誤差范圍內.相比之下,Manson 模型、Kwofie模型和Peng 模型的預測結果都存在部分數據點超出了1.5 倍的誤差帶.預測結果表明,對于單軸兩級變幅載荷下疲勞壽命的預測,新建模型預測效果最優.此外,新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型對P355NL1 結構鋼預測結果數據點分別有5/8,6/8,5/8 和4/8 落入虛線右側,對Ti-6Al-4V鈦合金預測結果數據點分別有3/5,5/5,4/5 和4/5 落入虛線右側.預測結果數據點相對虛線位置表明,新建模型、Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型的預測結果均偏保守估計.

圖4 P355NL1 結構鋼預測結果誤差分散圖Fig.4 Dispersion graph of prediction errors for P355NL1 structural steel

圖5 Ti-6-Al-4V 鈦合金模型預測誤差分散圖Fig.5 Dispersion of model prediction errors for Ti-6-Al-4V titanium alloy

3 結論

(1) 基于連續介質損傷力學及其不可逆熱力學框架,以本征損傷耗散功法開展變幅載荷下的低周疲勞壽命預測,具有明確的物理和力學意義.

(2) 通過對P355NL1 結構鋼和Ti-6Al-4V 鈦合金的兩級變幅低周疲勞壽命預測結果表明,新模型的預測結果與試驗結果較為吻合,且優于Manson 模型、Kwofie 模型和Peng 模型.

(3) 由于本文所建的變幅壽命預測模型針對的載荷工況為對稱應變循環載荷,對于其他載荷工況,需要利用相應的應變等效準則實施壽命評估,但其評估效果需要進一步研究.

(4) 本文模型依據等效損傷的思想,借助本征耗散模型將兩級變幅應變載荷中第1 級載荷損傷等效到第2 級載荷損傷,從而建立疲勞壽命預測模型.使用該方法可以將兩級變幅應變疲勞推廣到多級變幅應變疲勞,以建立多級變幅應變疲勞下疲勞壽命預測模型,但此項內容尚需進一步探究與論證.

(5) 由于材料在應力控制和應變控制下低周疲勞失效的主要原因不同,本文所提出的預測模型是基于應變控制下低周疲勞失效,該模型在應力控制下低周疲勞壽命預測是否準確,其評估效果待進一步研究.