散斑場的隨機(jī)波數(shù)及其參量非線性效應(yīng)

楊春林

(中國工程物理研究院激光聚變研究中心,綿陽 621900)

1 引言

隨著激光輸出功率的不斷增加,光在傳輸過程中的各種非線性現(xiàn)象也越來越突出.常見的受激布里淵散射(SBS)、受激拉曼散射(SRS)、克爾效應(yīng)等非線性效應(yīng)對光束的傳輸特性會有影響,因此,在高能量激光的實際應(yīng)用中,需要對非線性過程進(jìn)行抑制.

相干性與非線性相關(guān)[1],散斑場具有消相干的作用,雖然在NIF 為代表的激光系統(tǒng)中都采用隨機(jī)位相板產(chǎn)生的散斑場來抑制非線性[2],但從理論上如何描述這一過程還需要更詳細(xì)的分析.Goodman[3]從統(tǒng)計光學(xué)的角度完整地研究了散斑場的線性傳輸和統(tǒng)計特性,但只局限于線性光傳輸范圍.

在非線性參量過程研究方面,很少包括散斑泵浦的情況.Froula 等[4],Neumayer 等[5]和項江等[6]分別使用線性理論模型討論了等離子體中的平面波入射條件的參量過程,這種分析方法僅適用于弱非線性階段的工作條件,分析的側(cè)重點主要是散射光的增長特性.王瑩等[7]討論了高斯光束在等離子體中的非線性傳輸特性.如果非線性介質(zhì)存在一定的不均勻性,這就會導(dǎo)致在某些區(qū)域滿足共振條件產(chǎn)生明顯的散射光,在其他區(qū)域又會發(fā)生共振失諧,從而抑制散射光的增長.Roseenbluth[8],Liu 等[9]和汪衛(wèi)星等[10]分別在三波耦合模型的基礎(chǔ)上,對弱不均勻介質(zhì)的影響進(jìn)行了研究.

與非線性過程SRS,SBS 類似,在交叉束能量傳遞過程(CBET)[11,12]、等離子體振子衰變(TPD)[13]等參量過程中也都涉及了散斑泵浦的問題.Follett等[14]針對疊加位相板和束勻滑條件下的CBET進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)利用位相板生成的散斑場分析模型能夠更好的對能量交換過程進(jìn)行預(yù)測.但該文中只有某些條件下的數(shù)值模擬的結(jié)果,實際上仍然缺乏詳細(xì)的散斑非線性理論分析及相關(guān)討論.

本文針對散斑這種非均勻泵浦激光的情況,開展了理論研究,對其抑制非線性增長的能力(主要是針對SBS)進(jìn)行了研究模擬.

2 散斑場的分布和特性

本文討論的散斑的非線性效應(yīng)主要針對小信號增益條件,此時非線性效應(yīng)對散斑泵浦光影響小,因此,可以單獨計算其線性傳輸?shù)牟糠植⒈恢苯右?

如圖1 所示,連續(xù)位相板(CPP)光學(xué)元件在焦平面上產(chǎn)生散斑場,對一個確定的CPP 元件而言,散斑光場是穩(wěn)態(tài)的,它在橫向和縱向都存在隨機(jī)結(jié)構(gòu).經(jīng)線性傳輸?shù)姆颇苌涔接嬎?可以得到縱向散斑的結(jié)構(gòu),即光軸附近某處散斑場的縱向振幅u0,位相分布?和波數(shù)k.這里引入的散斑波數(shù)為,即是對散斑位相做微分運算,結(jié)果如圖2 所示.由于菲涅耳衍射公式中的周期性因子并沒有在圖2 中體現(xiàn),因此這里的位相和波數(shù)都是與基礎(chǔ)位相和波數(shù)k0之差值.也就是說散斑將引入額外的位相和波數(shù)變化.

圖1 CPP 產(chǎn)生散斑的光路示意圖和CPP 面型Fig.1.The speckles generated light path by CPP and the Surface shape of a CPP.

圖2 散斑場的縱向振幅和波數(shù)(差)變化.藍(lán)色虛線是散斑場的振幅,紅色實線是波數(shù)(差)Fig.2.Amplitude and wavenumber of speckles in longitudinal.The blue dot line is amplitude and the red solid line is wavenumber.

散斑光場引入了振幅和位相的隨機(jī)起伏,也可反映為波數(shù)的起伏,這為抑制非線性效應(yīng)提供了契機(jī).接下來將從散斑波數(shù)失配的方面來模擬這個效應(yīng).

散斑場的振幅和位相分布雖然有明顯的起伏,似乎波數(shù)并非固定值.但實際上因為相位的連續(xù)分布,也將導(dǎo)致光場在某些局部小范圍能夠滿足位相匹配條件,從而引發(fā)非線性增益.要系統(tǒng)地理解散斑非線性效應(yīng),需要對這種局部的相位匹配問題進(jìn)行研究,從而對散斑所包含的各種位相和振幅條件都進(jìn)行研究和分析.

3 散斑的非線性參量方程組及其求解

在一維傳輸條件下,散斑的參量非線性過程可以使用下面的三波耦合方程來研究[1].這個方程組簡化了非線性介質(zhì)中的驅(qū)動機(jī)制,但其中所包含的參數(shù)Δk可用于描述散斑條件.或者可以直接把圖2的波數(shù)函數(shù)代入方程組(1)中的Δk.一般而言方程組中的Δk是常數(shù),而圖2 中的波數(shù)是函數(shù).為了解決這個問題,本文還引入了分段處理.也就是說,把坐標(biāo)軸z分成很多段,每一個分段內(nèi)的Δk(z)是常數(shù),則仍可以應(yīng)用方程組(1).

其中u0,us,uv分別是泵浦光、散射光(decay light),等離子波(電子波或離子聲波)的振幅.Δk=k1?k2?k3是對應(yīng)三波波矢之差.γ1,γ2,γ3是耦合系數(shù),z是坐標(biāo)變量.在本文中,泵浦光同時也是散斑光場.

其中C1,C2是待定系數(shù).小信號增益系數(shù)

若b為實數(shù),要求

此時方程的解(2)式和(3)式隨z增大而增大,也就是存在非線性增益,反之b為虛數(shù),則(2)式和(3)式表示的復(fù)振幅將不會隨z 增大而增大.(4)式就是含有波數(shù)失配的參量過程的閾值條件.當(dāng)Δk=0,也就是k1=k2+k3的情況,稱為參量過程的位相匹配條件,這時的非線性增益最大.

接下來將詳細(xì)討論待定系數(shù)C1,C2及其物理意義.利用邊界條件確定(2)式和(3)式中的待定系數(shù),可得到:

其中us(0),uv(0) 就是散射波和等離子體波在z=0邊界上的復(fù)振幅.如果在邊界上的這兩個場振幅都不為0,即 |us(0)|0 或者 |uv(0)|0,則C1和C2是復(fù)振幅的加權(quán)平均,(5)式實際上表述了邊界位相匹配會影響實際的非線性增益.如果進(jìn)一步簡化,令Δk=0,則(5)式簡化為

此時C1,C2是兩個復(fù)振幅的直接平均,它們的最大值出現(xiàn)在兩個復(fù)振幅位相相同或者相反的時候,這時可以稱為滿足邊界位相匹配.

引入圖2 所示的散斑光場,散斑光場的波數(shù)(復(fù)振幅也是)在z軸傳播方向上存在隨機(jī)起伏,其隨機(jī)變化規(guī)律可以用相關(guān)長度[3]來表示,在相關(guān)長度內(nèi)散斑復(fù)振幅的變化較小.在具體計算時,將散斑光場沿z軸分成若干單元,每段長度小于散斑相關(guān)長度即可保證分段內(nèi)散斑光場分布是近似均勻.根據(jù)Goodman 文獻(xiàn)[3]的相關(guān)長度計算公式Δz=6.7λ(f/D)2,可得知圖2 所示散斑場的相關(guān)長度為235.17 μm,在具體分段計算時,每一段長度小于該值即可滿足要求.

在計算中,后一個分段的輸入場是前一個分段的輸出場,且每一個分段的邊界條件和待定系數(shù)C1,C2都不相同.

由于每個分段的波數(shù)差Δk不同,根據(jù)(2)式和(4)式可知,對應(yīng)的增益也不同.若在某些分段Δk2＞g2,則b是虛數(shù),令=?ib是實數(shù),則散射光滿足的公式是

通過分析可知,即使某一個分段滿足增益條件,存在非線性增益,如果入射的兩個波不滿足邊界位相匹配,則通過該分段之后的光場可小于入射時的光振幅.由于散斑光場是隨機(jī)起伏的,因此大多數(shù)情況都不滿足邊界位相匹配條件.因此,從理論上證明了散斑場可以通過破壞非線性積累的方式,實現(xiàn)抑制非線性效應(yīng)增長這一結(jié)論.

4 計算結(jié)果與討論

如第3 節(jié)所討論的那樣,可以把波數(shù)失配函數(shù)分段計算.當(dāng)然也可以直接對耦合波方程組(1)做差分模擬計算,兩者是完全等效的.計算使用的參數(shù)包括:

入射激光參數(shù)λ0=0.351×10?6m,k0=2π/λ0,I0=1×1015W/cm2;

非線性參數(shù)g=5×103/m 或者g=2×104/m,γ2u0=g/2;

邊界條件us(0)=1×10?11u0,=0.

使用圖2 的散斑波數(shù)ksp和光振幅u0來模擬計算非線性增益.也就是把k1=k0+ksp代入(1)式中的 Δk,得到

其中k0是基礎(chǔ)波數(shù);ksp就是圖2 中的散斑波數(shù),是函數(shù);k0?k2?k3是常數(shù).當(dāng)k0?k2?k30的時候,相當(dāng)于上下平移ksp函數(shù)曲線.這種情況不影響分析方法.且一般而言,k0?k2?k30 會導(dǎo)致 Δk2增大,根據(jù)(2)式和(4)式,可以預(yù)計SBS增益減少.為簡單計,這里采用k0?k2?k3=0 的條件,也就是 Δk=ksp.

圖3 給出了SBS 反向散射光在z 軸上的增益情況.同時給出了散斑波數(shù)變化的情況,兩者具有對應(yīng)關(guān)系.

圖3 散斑的波數(shù)差(a)和增益曲線(b)對比Fig.3.The wavenumber difference of speckles (a) vs.the gain curve (b) of parametric process.

根據(jù)SBS 的位相匹配條件和等離子體色散關(guān)系,SBS 散射光通常是與入射光反向的,即使在稍微偏離位相匹配條件的時候也是如此.所以圖3 中散射光振幅us是向z軸的負(fù)方向增大的.

增益曲線與Δk曲線有對應(yīng)關(guān)系.當(dāng)Δk局部平直且接近0 的時候,獲得增益.比如圖3 中z=–0.6 mm,z=–3 mm,z=–4.8 mm 附近.當(dāng)|Δk|劇烈變化的時候,會引入的隨機(jī)邊界位相,對應(yīng)增益為負(fù),這樣非線性過程就沒法積累.從而實現(xiàn)了散斑對SBS 的抑制.

圖3 條件的增益系數(shù)g=5×103/m.進(jìn)一步對未使用散斑和使用散斑泵浦的情況進(jìn)行對比,得到的結(jié)果如圖4(a)所示.散斑泵浦條件下,散射光振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于泵浦光振幅,從而完美地實現(xiàn)了對非線性效應(yīng)的抑制.而未使用散斑泵浦的情況,總增益接近 1×1011,散射光振幅與泵浦光振幅相當(dāng)接近.圖4(a)中的棕色虛線使用的計算條件是不考慮波數(shù)失配,只考慮振幅變化起伏,則未能抑制非線性增長.這個結(jié)果證實并強(qiáng)調(diào)了波數(shù)或位相失配的關(guān)鍵作用.

圖4 SBS 后向散射光沿z 軸的增長 (a) 增益系數(shù)g=5×103/m 的情況; (b) 增益系數(shù)g=2×104/m 的情況Fig.4.Gain curves of SBS backscatter light along axis z:(a) Gain coefficient g=5×103/m; (b) gain coefficient g=2×104/m.

下面對較大增益系數(shù)的情況,即g=2×104/m,對未使用散斑泵浦和使用散斑泵浦的情況分別進(jìn)行計算,得到的結(jié)果如圖4(b).

結(jié)合圖3,這時增益系數(shù)g已經(jīng)大于幾乎所有位置的 |Δk(z) |,完全不滿足閾值(4)式,這時散斑就不能很好地抑制非線性增長了.計算的結(jié)果參見圖4(b).紅色實線表示的散斑泵浦的情況,仍然存在非線性增益,與未使用散斑的情況相比,總增益較小一些.

如果要抑制這種情況下的SBS,需要使用 |Δk| 更大的散斑,也就是使用強(qiáng)聚焦的CPP 來實現(xiàn).

另外,散射種子光可能帶來任意的 Δkseed,從抑制SBS 的角度來看,最壞的情況是 Δkseed=,即合成波數(shù) Δk的平均值為0.假設(shè)隨機(jī)量 Δk具有對稱概率密度,則此時 max(|Δk|) 最小,因而較為不利.本文已經(jīng)模擬的情況就是這種最壞的情況.其他情況 |Δk| 更大,對抑制SBS 更為有利.

5 結(jié)論

本文從理論和數(shù)值模擬兩個方面研究了散斑的參量非線性特征.對于散斑泵浦條件下SBS 的增益和增益受抑制的情況進(jìn)行了研究.由于散斑波數(shù)在空間上隨機(jī)變化,因此分析散斑條件下的非線性耦合波傳輸需要分段處理.各段的增益特性由閾值條件決定.分段界面還需要引入邊界位相匹配,對應(yīng)微分方程的解的待定系數(shù).如果不滿足邊界位相匹配,即使有增益的分段也可能降低散射光的振幅.散斑場的波數(shù)差隨機(jī)變化,多數(shù)情況下都不滿足邊界位相匹配,因此具有抑制非線性增益的作用.

如果增益系數(shù)g增大,則散斑的作用也會下降,除非采用 |Δk| 更大的散斑光場.散射種子光也會帶來任意的初始波數(shù)失配,最差的情況是它導(dǎo)致 |Δk| 變小了,對應(yīng)總的波數(shù)差 Δk的平均值為0,即=0 的情況.散射種子光還可以出現(xiàn)在z軸上的任意位置,由于散斑光場的隨機(jī)平穩(wěn)性,即隨機(jī)光場在不同的位置z的統(tǒng)計特性相同,這個對本文結(jié)論沒有影響.