具有層級結構集體影響力的多數投票模型*

陳奕多 韻雨婷 關劍月2)? 吳枝喜2)3)?

1)(蘭州大學物理科學與技術學院,蘭州 730000)

2)(蘭州理論物理中心,蘭州 730000)

3)(蘭州大學,量子理論及應用基礎教育部重點實驗室,蘭州 730000)

1 引言

隨著信息化進程的加快,整個社會充斥著爆炸般的信息,令人應接不暇,觀點的傳播逐漸成為復雜網絡科學中倍受關注的研究方向.近期的研究中: Calvelli 等[1]研究了具有反從眾性的Sznajd 模型,證明該模型在各個維度上的相變都屬于Ising 模型普適類; Pires 和Crokidakis[2]研究了考慮個體的激活(activation)與停用(deactivation)的觀點動力學,證明在這種動力學下系統存在三種轉變,相變行為分別屬于Ising 模型普適類與接觸過程(contact process)普適類; Khalil 和Galla[3]研究了Voter 模型中的狂熱者,分析了各種影響因素下多模態(multimodel)和單模態(unimodel)的轉換; Liu 等[4]研究了協同演化網絡中極化的出現,通過理論分析預測了3 個不同極化階段的相變,不僅可以解釋實驗觀測的標度率,還可以定量預測標度指數.在觀點動力學的常用模型中,多數投票模型是一個具有上下對稱性的非平衡態模型[5–14],隨著噪聲參數的增大,該模型呈現出有序-無序相變,且在低維度的規則晶格上,多數投票模型的相變屬于Ising 模型普適類[7].

在復雜網絡的研究中,中心性是判斷網絡中節點重要性的指標,可以量化節點在網絡中的重要程度,從而找出整個網絡中更具影響力的個體[15,16].傳統的多數投票模型中個體觀點的翻轉概率主要考慮了自身節點的觀點值與周圍多數觀點值的對齊程度,這里周圍鄰居對該節點的影響程度是相同的.但是在現實生活當中每個人的影響力是不同的,所以不僅需要考慮鄰居節點自身的影響力,還要考慮鄰居節點在近鄰、次近鄰與次次近鄰……的輻射圈中的影響力.也就是說,影響力的作用具有間隔性,節點并不只對與自身有直接聯系的節點產生作用.考慮到被高度中心節點包圍的低度節點仍可能對網絡的動力學產生較大影響,個體的影響力不僅與自身的度有關,還與周邊節點的度有很大的關系,常用的度中心性不一定能正確地描述節點的影響力.對于網絡中這樣的問題,Wang 等[17]研究了如何向無標度網絡中添加新邊以增強同步,Morone 和Makse[18]提出了集體影響力的概念,個體不再只受周圍鄰居的影響,也可能會受其次近鄰、次次近鄰……的影響,更真實地刻畫了如今信息化網絡的情況.

本工作使用節點周圍深度為l的球面上的節點的度定義中心節點的集體影響力,并將其引入到多數投票模型中,構建了具有集體影響力的多數投票模型.通過蒙特卡羅模擬對系統演化到穩態后的磁化強度M(q,N)、四階賓德累計矩U(q,N) 進行統計,在ER (Erdos and Rényi)隨機網絡和無標度網絡上對比了原始的多數投票模型和具有集體影響力的多數投票模型的相變行為,觀察了相變臨界點之間的差距,并對造成該差距的原因進行了分析.最后通過分析臨界指數,證明具有集體影響力的多數投票模型的相變類型為Ising 模型普適類.

2 模型與方法

多數投票模型的動力學規則如下.對于具有N個個體的系統,每個個體由網絡中的一個節點代表,且每個個體賦予觀點值xi滿足xi∈{+1,?1}.在每一個時間步中,等概率隨機選擇一個節點i;計算節點i相鄰所有節點觀點值之和:

其中,

之后計算出觀點翻轉概率:

其中,

最后取 [0,1]區間隨機數a,若a＜ε(xi),個體i的觀點xi翻轉為?xi,否則個體i觀點不變.

本文在多數投票模型中引入了集體影響力的概念,節點i的集體影響力定義如下:

其中j為節點外延半徑l的球面上的個體,ki為節點i的度,kj為節點j的度.此處所取簡化度(ki?1)代表節點i選取位于半徑l的球面上節點j時,不考慮此路徑上連邊,故對度ki取?1,(kj?1) 同理.l=0 時,只考慮節點對近鄰節點的影響;l/=0 時,則要考慮節點通過周邊層級結構上節點圈的影響力,即此時節點的影響力與節點自身以及層級結構上所有節點的度(簡化度)相關,此處l不應超過 3,否則容易超出系統尺寸.

為了使用集體影響力描述觀點在傳播過程中的作用,假設集體影響力參數為

其中 CIl(i) 為節點i在深度l上的集體影響,CIl為網絡中所有節點在深度l上集體影響的最大值.當l=0 時,有ωi=ki/kmax,kmax為網絡所有節點中最大的度.

具有分層集體影響力的多數投票模型的動力學規則如下.在每一個時間步中,等概率隨機選擇一個節點i; 計算節點i相鄰所有節點觀點值與集體影響力參數乘積之和:

其中aij與ωj如(2)式與(6)式所示,之后計算出觀點翻轉概率ε(xi) 如(3)式與(4)式所示,取[0,1] 區間隨機數a,若a＜ε(xi),個體i的觀點xi翻轉為 ?xi,否則個體i觀點不變.

蒙特卡羅模擬過程中,每完成N個時間步記作一個單位時間,即在單位時間內每個節點都有機會進行一次意見變更判斷.在蒙特卡羅模擬時間序列穩定后,統計序參量m、磁化強度M、磁化率χ、四階賓德累計矩U[19]等物理量以研究系統的觀點演化與相變行為,表達式如下:

以上所用〈...〉c為系綜平均,〈...〉t為系統時間序列到達穩態后取時間平均.序參量m描述系統的有序程度,當m=1 時,系統觀點值全部為 +1 或者?1,代表系統處于完全有序狀態; 當m=0 時,系統觀點值為 +1 和?1 的個體各占一半,代表系統處于完全無序的狀態.磁化強度M(q,N) 是對序參量求時間平均和系綜平均的物理量,磁化率χ(q,N)是反映系統序參量漲落的物理量,通過有限尺寸標度法[20]利用這兩個物理量可以精確計算系統相變的臨界指數,即精確研究系統相變的臨界現象.不同系統尺寸的四階賓德累積矩U(q,N) 曲線會在臨界點處相交,可以確定系統相變的臨界點.

本工作所使用的網絡結構構建方法為配置模型(configuration model),使用已知的度序列進而構建網絡[21,22].在使用配置模型構建網絡過程中,需要保證“抓手”總數為偶數,若按照度分布總“抓手”數為奇數時,給第一個節點度加 1.

本文的工作中,通過不同尺寸系統的四階賓德累計矩U(q,N) 曲線交點得到臨界點精確值,所有臨界指數的計算通過有限尺寸標度法完成.表達式如下:

其中ε=(q?qc),qc為觀點有序-無序轉變臨界點,為通用標度函數,β,γ,分別為磁化強度、磁化率、相關體積的臨界指數.

3 結果與討論

本文通過大量的蒙特卡羅模擬,研究了原始的與具有集體影響力的多數投票模型的觀點演化.模擬的初始狀態為整個系統中觀點值均勻分布,即+1與?1 的個體各占一半,此時系統處于完全無序狀態.如前文所述,本文時間單位為蒙特卡羅時間,即進行N次翻轉實驗,每個節點平均有一次嘗試更新觀點的機會.對于每個數據點,首先讓系統演化 105蒙特卡羅時間,確保在所有參數下系統演化到了穩定狀態,之后再繼續模擬 105蒙特卡羅時間,對統計量做時間平均,同時對每一個數據點做50次系綜平均.ER 隨機網絡度分布滿足泊松分布P(k)=〈k〉ke?〈k〉/k!.無標度網絡度分布滿足冪律分布p(k)～k?λ,λ為度分布指數.在下面的蒙特卡羅模擬中,設置所有網絡的平均度〈k〉=10.

3.1 ER 隨機網絡

圖1(a),(b)分別為ER 隨機網絡中磁化強度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數q的變化曲線.所有情況中磁化強度M(q,N) 均會呈現從有序到無序的相變行為,l=0 與原始多數投票模型情況下曲線重合且均在較大q值下發生相變,l/=0時3 條曲線幾乎重合,均在q值較小時發生相變,U(q,N)隨q變化的行為與M(q,N) 一致.證明了在觀點傳播過程中,考慮了層級結構的集體影響力后,如果集體影響力不僅僅只作用于最近鄰的節點(l=0),系統會在更小的擾動因子q下發生相變,即系統更容易趨于無序狀態.

圖1 (a),(b)分別表示在 ER 隨機網絡中磁化強度 M(q,N)、四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數 q 的變化曲線,網絡平均度〈k〉=10,節點數N=10000Fig.1.(a),(b) The variation curves of magnetization M(q,N) and Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in ER random network,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10,and the number of nodes is N=10000.

圖2(a),(b)分別為l=0,l=1 時不同系統尺寸的四階賓德累計矩U(q,N) 隨噪聲參數q的變化曲線,通過重合點可以看出l=0時臨界點qc0≈0.301,l=1時臨界點qc1≈0.283,l=0 時臨界點相較l=1 大0.018.為了分析l=0 與l0 時相變臨界點的差異,對N=10000,l=0,l=1,l=2,l=3 時的ωi值的分布情況進行統計,如圖3(a)所示.原始多數投票模型中有Si=∑aijxj,度大的節點連接了更多節點就會產生更大的影響力,反之度小的節點影響力較小.對于l=0 的情況,ωi=ki/kmax,同一網絡中kmax為定值,ωi分布與ki一致,為泊松分布,同樣由度的大小直接決定節點的影響力,所以兩種情況的相變臨界點幾乎重合.l0時,可以發現ωi整體呈“長尾”分布趨勢,在0.17附近達到峰值,隨著ωi的增大,頻率遞減.這樣的分布相較于l=0時,更多節點ωi值變小,加和到Si上的權重也變小,在整個網絡中的影響力減弱.此時網絡中仍存在部分節點具有較大的ωi值,在Si上有更大的權重,對 sgn(Si) 有更大的影響,在較小q值時只要少數ωi值較大節點觀點狀態不一,其余小ωi值的節點便會追隨相連大ωi值節點的觀點值,系統更易趨于無序狀態.表1 為不同l時ωi的均值和方差.可以看出l=0時,ωi均值與方差均較大,大部分節點較為集中但不同節點ωi值仍有較大差異.l0時,ωi均值大幅減小且方差也減小,證明了ωi更為密集地分布在較小值,此時也使具有大ωi值的個體權重增大.圖3(b)為不同l值下ωi平均值與ki的變化關系,l=0 時二者為線性關系,而l0 時,大部分節點度都較小且此時ωi值較小,影響力更小,少數ωi值較大的節點的影響力效應則會變大,在較小的噪聲參數q時,sgn(Si) 與ωi值較大的節點觀點狀態保持一致,只要大ωi值節點趨于無序,整個系統也會趨于無序.此時,利用以上求得的臨界值對磁化強度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數q的變化曲線做有限尺寸標度處理,可得l=0與l=1 時模型的臨界指數,如圖4所示.l=0時=0.49(6),=0.23(5),=0.49(5);l=1 時=0.47(5),=0.23(6),=0.50(5).這些臨界指數值與平均場Ising 模型的臨界指數值(平均場Ising 模型臨界指數:γ=1,β=1/2)十分接近,l=0 時更加貼合,即具有集體影響力的多數投票模型在ER 網絡上的相變類型屬于Ising 模型普適類.

圖2 (a),(b)在 ER 網絡中,當 l=0 和 l=1時四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數 q 的變化曲線.網絡平均度〈k〉=10Fig.2.(a),(b) l=0 and l=1 of the Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in the ER network,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10.

圖3 (a),(b)分別為ER 隨機網絡中 ωi 分布情況與不同度 ki 的 ωi 平均值大小統計情況Fig.3.(a) The distribution of ωi and (b) the statistics of the average value of ωi of different degrees ki in ER random network.

圖4 (a),(b)分別為ER 網絡在 l=0 時磁化強度 M(q,N) 與磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標度圖;(c),(d)分別為ER 網絡在l=1 時磁化強度 M(q,N) 與磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標度圖Fig.4.(a),(b) The finite size scaling graphs of the magnetization M(q,N) and the susceptibility χ(q,N) of the ER network at l=0,respectively; (c),(d) the finite size scaling graphs of the magnetization M(q,N) and the susceptibility χ(q,N) of the ER network at l=1,respectively.

3.2 無標度網絡

3.2.1 模擬結果與現象

在不同度分布指數λ的無標度網絡中,同樣對不同l的集體影響力多數投票模型進行蒙特卡羅模擬,并加入原始多數投票模型形成對照.所有網絡平均度均為〈k〉=10,度分布指數λ分別取了 2.5,3,4.圖5 為系統演化到穩態后,磁化強度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數q的變化曲線.由圖5 可得,系統演化的結果在無標度網絡中與ER 網絡所呈現的趨勢一致,磁化強度M(q,N)均從有序狀態變為無序狀態,在l=0 時與原始的多數投票模型幾乎重合,四階賓德累積矩U(q,N)的變化趨勢與磁化強度一致,即當集體影響力參數ωi與自身度直接相關時,具有集體影響力的多數投票模型與原始的多數投票模型的相變臨界點差距不大.引入l0(l=1,l=2,l=3)的集體影響力后相變行為發生改變,三者曲線幾乎重合且相變臨界點整體變小.l0 時與原始多數投票模型及l=0 時相比,相變臨界點的減小分別為:λ=2.5時 0.011,λ=3 時 0.012,λ=4 時0.014.對l=0以及l=1 的具有集體影響的多數投票模型在N=5000,10000,20000,40000 的網絡尺寸進行蒙特卡羅模擬,如圖6 所示.所得臨界點準確值分別為:λ=2.5 時qc0=0.3035,qc1=0.292,差值為0.0115;λ=3 時qc0=0.30,qc1=0.2875,差值為0.0125;λ=4 時qc0=0.295,qc1=0.2805,差值為0.0145.由此可得,隨著無標度網絡度指數λ的增大,l0 的集體影響力對整個動力學系統相變行為的影響也會增大.使用上述臨界點值,對磁化強度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數q的變化曲線進行有限尺寸標度處理,計算相變臨界指數,所得λ=2.5時圖像為圖7,λ=3 與λ=4的情況使用相同方式計算.可以看出磁化強度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數q的變化曲線都發生了有序到無序的相變過程,所得臨界指數如下.λ=2.5:l=0 時=0.45(5),=0.23(1),=0.49(2);l=1 時=0.44(6),=0.22(3),=0.51(5).λ=3:l=0 時=0.46(1),=0.23(5),=0.49(2);l=1 時=0.46(5),=0.23(1),=0.51(5).λ=4:l=0時=0.48(5),=0.23(5),=0.49(5);l=1 時=0.47(5),=0.23(5),=0.51(2).以上所有情況臨界指數值都與平均場Ising 模型類似,即在λ=2.5,λ=3與λ=4 的無標度網絡中,具有集體影響力的多數投票模型的相變類型屬于平均場Ising 模型普適類.

圖5 (a),(b)λ=2.5; (c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4 無標度網絡中磁化強度 M(q,N)、四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數q的變化曲線.網絡平均度〈k〉=10,節點數N=10000Fig.5.The variation curves of magnetization M(q,N) and Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in scale-free networks with (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10,and the number of nodes is N=10000.

圖6 (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4 無標度網絡中 l=0 和 l=1 時四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數 q 的變化曲線.網絡平均度〈k〉=10Fig.6.The variation curves of the Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with the noise parameter q when l=0 and l=1 in a scale-free network with (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10.

圖7 λ=2.5時無標度網絡磁化強度 M(q,N) 和磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標度圖 (a),(b)l=0;(c),(d) l=1Fig.7.The finite-size scaling graphs of magnetization M(q,N) and susceptibility χ(q,N) of scale-free networks with λ=2.5:(a),(b)l=0;(c),(d)l=1.

上文以λ=2.5,λ=3,λ=4 的無標度網絡為例,對l=0 以及l=1 時的相變臨界點值進行了準確的計算.為方便觀察,將這些相變臨界點值列入表格中,如表2 所示.表2 中第2 列為 ER 網絡,第3—7 列為無標度網絡不同度分布指數λ所對應的值.可以看出在無標度網絡中,隨著度分布指數λ的增大,臨界點值qc會逐漸減小,而|qc0?qc1| 的值卻逐漸增大,接近ER 隨機網絡對應的值,為了更直觀觀察,將其繪制成圖像為圖8,可以看出l=0與l=1 的曲線均趨于下降,但l=1 的曲線下降更快.滿足無標度網絡分布指數λ越大,小度的節點越多,大度的節點越少,越趨近于隨機網絡的特點.

表2 不同網絡對應的 qc0,qc1 以及|qc0?qc1|Table 2.qc0,qc1 and |qc0?qc1| of different networks.

圖8 l=0 和 l=1 的具有集體影響力的多數投票模型中,無標度網絡不同度分布指數 λ 對應的相變臨界點qcFig.8.In the majority-vote model with collective influence of l=0 and l=1,the phase transition critical point qc with different degree distribution index λ of the scale-free network.

3.2.2 影響因素分析

以λ=2.5 的無標度網絡為例,對無標度網絡中ωi的分布情況進行統計,結果為圖9(a).當l=0時,ωi與ki的分布情況一致,均為冪律分布.ωi從0.45 處開始,頻率處于峰值,在0.25左右.隨著ωi的增大,頻率值也逐漸減小.也就是說,節點本身的度值決定了在網絡中的影響力,與原始多數投票模型一致,所以l=0 時的相變臨界點與原始多數投票模型的相變臨界點幾乎一致.當l0(l=1,l=2,l=3)時,ωi呈現“長尾”分布的趨勢.起始點降到了0.17附近,更多的節點ωi值變小,節點觀點的權重加和到Si中也會變小.網絡中仍然存在部分節點擁有較大的ωi值,相較于l=0 時,這些大ωi值節點數目變少,觀點權重會大幅增大,直接影響了周圍節點 sgn(Si) 的取值.當系統處于一個較小q時,這些具有大ωi值的個體一旦趨于無序就會導致整個系統的無序,所以系統在一個較小q時就發生相變.在λ=2.5 的無標度網絡中,不同l時ωi的平均值和方差統計如表3 所示.同ER 網絡一樣,在l=0 時節點的ωi值均較大,且方差較小;l0時ωi的均值明顯減小且方差增大,說明大部分節點ωi值減小,但是ωi之間差異變大,小ωi值節點的觀點權重降低,大ωi值節點的觀點權重增大.λ=2.5 的無標度網絡中,不同l值下ωi平均值與ki的變化關系如圖9(b)所示,l=0 時二者為線性關系,而l0時,所有度ki對應ωi都減小,總體呈現非線性變化,的最小值從l=0時的0.2 降低到 0.03 附近,減少到約 1/6.ki=20 時仍為最大,從l=0時的 1降低到0.856 附近,減小了約0.17 倍.大部分節點的ωi不同程度減小,觀點權重也減小,少數ωi值較大的節點的觀點權重則會變大,在較小的噪聲參數q時系統就會出現有序到無序的相變.

表3 ωi 均值和方差Table 3.Mean and variance of ωi.

圖9 N=10000,λ=2.5的無標度網絡中 (a)ωi的分布情況; (b)不同度ki的ωi 平均值統計情況Fig.9.In scale-free network when N=10000 and λ=2.5: (a) Distribution of ωi in scale-free networks; (b) the statistics of the average value of ωi of different degrees ki.

為了探究無標度網絡中隨著度分布指數λ的增大,|qc0?qc1| 值也隨著增大的原因.對l=0 以及l=1時,λ=2.5以及λ=4的無標度網絡ωi的分布情況進行對比,如圖10 所示.由于無標度網絡隨著度指數λ的增大,會有更多的節點度減小,更少節點擁有較大的度,分布曲線也會更加陡峭.l=0時,ωi的分布情況與ki一致.λ=2.5時ωi在0.45處頻率達到峰值,約為0.25;λ=4 時ωi也在0.45處頻率達到峰值,約為0.35.可見隨著λ的增大,更多的節點處于一個較小ωi值,所以具有較大ωi值的節點觀點權重增大,對Si的影響也增大.ωi大節點的減少,也使得系統更容易在一個較小q值時趨于無序,進而使得臨界相變點qc值減小.l=1時,無論λ=2.5還是λ=4,整體ωi的分布呈現“長尾”分布趨勢,但ωi在0.17 附近的節點最多,頻率處于峰值.相較l=0時,小ωi值與大ωi值相差幅度增大,由于度分布指數λ的增大,ωi小的節點增多,會加劇大ωi值節點的影響力,進而使得|qc0?qc1| 值增大.不同l時ωi均值和方差的統計如表4 所示,可以看出λ=2.5和λ=4時都在l=0時ωi有較大均值和較小方差,當l0時,ωi均值變小,方差增大,證明此時ωi整體變小且差異性增大.λ=4相較λ=2.5時,ωi方差更小,即差異性較小,更多節點處于較小ωi值,更少節點擁有較大ωi值即這些節點的觀點權重會增大.

表4 ωi 均值和方差Table 4.Mean and variance of ωi.

圖10 ωi的分布情況圖,λ=2.5的無標度網絡在l=0和 l=1時的分布情況與λ=4的無標度網絡在l=0 和l=1時的分布情況Fig.10.Distribution of ωi,l=0,l=1 of scale-free networks with λ=2.5 and λ=4.

為更加細致地分析無標度網絡中系統的相變臨界行為,本文對不同度分布指數λ,不同l的系統在不同系統尺寸下相變臨界點qc處的磁化強度進行了統計,如圖11 所示.l與λ越大時,相變臨界點qc處的磁化強度值M(q,N) 也越大.l=1 時,ωi之間的差距會被拉大,大ωi值的節點變少,導致ωi值較大的節點會擁有更大的觀點權重,大ωi值節點周圍大量小ωi值的節點會跟隨這些大ωi值節點的觀點.如果此時擁有某一種觀點值的大ωi值節點較多,則這種觀點會占上風,也會導致此時磁化強度值M(q,N) 增大.在相變臨界點qc附近,由于大ωi值節點本身數量較少,只需要很小一部分大ωi值節點改變觀點,整個系統磁化強度值M(q,N)就會趨于無序.在無標度網絡中,λ較大的網絡擁有大度節點的比例降低,也就加大了大度節點的觀點權重.在l與λ均較小時,整個網絡會擁有更多的大ωi值節點,想讓整個系統趨于無序,就要讓更多大ωi值節點的觀點翻轉,也就需要不斷提高擾動參數q來實現,進而磁化強度M(q,N) 隨擾動參數q變化的曲線也會趨于平緩.

圖11 相變臨界點處的磁化強度值.橫坐標為系統尺寸大小Fig.11.The magnetization M(q,N) value at the critical point of phase transition.The abscissa is the size of the system.

3.3 臨界指數

l=0 與l=1 時,ER 網絡及不同度分布指數λ的無標度網絡下模型相變的臨界指數總結如表5所列.可以看出,無標度網絡中λ值越大,臨界指數越接近于ER 網絡的臨界指數值,對應于無標度網絡λ值增大時網絡中更多節點度變小、隨機性增強的性質.具有集體影響力的多數投票模型在ER 網絡與無標度網絡中模型的相變臨界指數都與平均場Ising 模型接近,相比較而言,l=0 時會更加貼合.以往的研究表明,在ER 網絡以及無標度網絡中系統相變的臨界指數均與平均場Ising 模型相同[23,24].文獻[24]中所用多數投票模型在其參數α=0時與本文的原始多數投票模型完全一致,故本文引用文獻[24]中所得臨界指數作為原始多數投票模型對照參考,如表5 所列,不同度分布指數的相變臨界指數由某特定情況代表且認為在同區間內相變情況相同.可以看出原始多數投票模型在ER 隨機網絡與一定度分布指數條件下的無標度網絡中的相變屬于Ising 模型普適類,在加入具有層級結構的集體影響力因素后,本文所用的ER 隨機網絡與λ=2.5,3,4 的無標度網絡上的相變均屬于Ising 模型普適類.

表5 臨界指數實驗結果與引用數據對照Table 5.Results of critical exponents and reference data for comparison.

4 結論

本工作將具有分層結構的集體影響力引入到多數投票模型中,通過蒙特卡羅方法模擬ER 隨機網絡和不同度分布指數下的無標度網絡中的觀點演化.ER 網絡與無標度網絡在l=0 時的相變臨界點值都與原始多數投票模型相近,原因是l=0 時節點的集體影響力和度分布直接相關,詳細對比為: 原始多數投票模型中度大的節點連接了更多節點,也就是具有更大的影響力; 加入l=0 的集體影響力后,度大的節點同樣具有與度直接相關的大集體影響力,仍然對周圍節點有更大的影響.l0時,ωi的分布均會出現“長尾”分布的特點,大部分節點的ωi值都會降低,具有大ωi值的節點數量減少且觀點權重增大,此時少數大ωi值的節點觀點發生翻轉就會導致周圍小ωi值的節點的觀點產生跟隨,使整個系統產生有序到無序的相變.即l0 相比原始多數投票模型與l=0 的情況,系統隨著噪聲參數的增大更容易趨于無序,相變臨界點更小.對于無標度網絡,度分布指數λ增大導致更多的節點度減小,相變臨界點也會變小,且在有限尺寸內l的增大以及λ的增大會使臨界點處磁化強度M(q,N)也增大,對應于無標度網絡度分布指數越大隨機性越強、越趨近于隨機網絡的性質.對ER 隨機網絡與度分布指數分別為λ=2.5,λ=3,λ=4的無標度網絡在l=0與l=1 時的磁化強度M(q,N)與磁化率χ(q,N) 進行有限尺寸標度分析,得出上述網絡中具有集體影響力的多數投票模型的臨界指數均與平均場Ising 模型的臨界指數類似,相變類型屬于Ising 模型普適類.后續工作可以進一步通過理論推導佐證上述結論,或修改集體影響力參數的定義(如通過深度l的球面內所有節點的度定義集體影響力),也可以將集體影響力參數擴展到其他網絡結構(如動態網絡等)或其他動力學模型中進行研究.